Lista de Exercícios de Transformação linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista de Exercícios de Transformação linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará Licenciatura em Matemática - 2024.1 Álgebra Linear - Transformação Linear Professora: Rachel Brito 1. Determine quais das funções abaixo são lineares: (a) T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x, z) (b) T : R4 → R4 definida por T (v) = −v (c) T : R3 → R3 definida por T (v) = v + (0,−1, 0) (d) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (2x+ y, y) (e) T : R2 → R definida por T (x, y) = xy. 2. Decida quais das afimações abaixo são verdadeiras quais são falsas. Justifique suas respostas. (a) Seja T : V → V uma transformação linear. Se T (v) = 0 então v = 0. (b) Se T (w) = T (v) + T (u) então w = u+ v. (c) Se u é combinação linear dos vetores v1, ..., vn então T (u) é combinação dos vetores T (v1), ..., T (vn). (d) Existe uma transformação linear T : R2 → R3 sobrejetiva. (e) Existe uma transformação linear T : R4 → R3 injetiva. (f) O núcleo de toda transfomação linear T : R5 → R3 tem dimensão maior ou igual a 3. 3. Mostre que as transformações lineares de R3 em R3 abaixo são invert́ıveis e determine a transformação linear inversa. (a) T (x, y, z) = (x− 3y − 2z, y − 4z,−z); (b) F (x, y, z) = (x, x− y, 2x+ y − z). 4. Sejam T : R3 −→ P2(R) e G : P2(R) −→ R3 transformações lineares tais que [T ]BC =  1 2 −1 1 0 −1 0 1 0  e [G]CB =  1 1 2 1 −1 0 −1 1 2  onde B e C são as bases B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e C = {1, 1 + x, 1 + x2}. (a) Determine bases para NucT e ImT . (b) Determine bases para Nuc(G ◦ T ) e Im(G ◦ T ) (c) Determine a matriz de H = 3(T ◦G) + IP2(R) com relação à base canônica de P2(R). 5. Seja T : R3 −→ R3 uma transformação linear cuja a matriz em relação a base canônica é  1 1 0 −1 0 1 0 −1 −1 . (a) Determine T (x, y, z) (b) Qual a matriz do operador em relação à base B = {(−1, 1, 0), (1,−1, 1), (0, 1,−1)}? (c) O operador T é invert́ıvel? Justifique. 1