Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a Licenciatura em Matem´atica - 2024. Algebra Linear - Transforma¸´ c˜ao Linear Professora: Rachel Brito

Determine quais das fun¸c˜oes abaixo s˜ao lineares:

(a) T : R^3 → R^2 definida por T (x, y, z) = (x, z) (b) T : R^4 → R^4 definida por T (v) = −v (c) T : R^3 → R^3 definida por T (v) = v + (0, − 1 , 0) (d) T : R^2 → R^2 definida por T (x, y) = (2x + y, y) (e) T : R^2 → R definida por T (x, y) = xy.

Decida quais das afima¸c˜oes abaixo s˜ao verdadeiras quais s˜ao falsas. Justifique suas respostas.

(a) Seja T : V → V uma transforma¸c˜ao linear. Se T (v) = 0 ent˜ao v = 0. (b) Se T (w) = T (v) + T (u) ent˜ao w = u + v. (c) Se u ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 , ..., vn ent˜ao T (u) ´e combina¸c˜ao dos vetores T (v 1 ), ..., T (vn). (d) Existe uma transforma¸c˜ao linear T : R^2 → R^3 sobrejetiva. (e) Existe uma transforma¸c˜ao linear T : R^4 → R^3 injetiva. (f) O n´ucleo de toda transfoma¸c˜ao linear T : R^5 → R^3 tem dimens˜ao maior ou igual a 3.

Mostre que as transforma¸c˜oes lineares de R^3 em R^3 abaixo s˜ao invert´ıveis e determine a transforma¸c˜ao linear inversa.

(a) T (x, y, z) = (x − 3 y − 2 z, y − 4 z, −z); (b) F (x, y, z) = (x, x − y, 2 x + y − z).

Sejam T : R^3 −→ P 2 (R) e G : P 2 (R) −→ R^3 transforma¸c˜oes lineares tais que [T ]BC =

e [G]CB =

 (^) onde B e C s˜ao as bases B = {(1, 1 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} e C = { 1 , 1 +

x, 1 + x^2 }.

(a) Determine bases para N ucT e ImT. (b) Determine bases para N uc(G ◦ T ) e Im(G ◦ T ) (c) Determine a matriz de H = 3(T ◦ G) + IP 2 (R) com rela¸c˜ao `a base canˆonica de P 2 (R).

Seja T : R^3 −→ R^3 uma transforma¸c˜ao linear cuja a matriz em rela¸c˜ao a base canˆonica ´e

(a) Determine T (x, y, z) (b) Qual a matriz do operador em rela¸c˜ao `a base B = {(− 1 , 1 , 0), (1, − 1 , 1), (0, 1 , −1)}? (c) O operador T ´e invert´ıvel? Justifique.

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear injetiva. Mostre que se {v 1 , ..., vm} ⊂ V ´e um conjunto LI ent˜ao {T (v 1 ), ..., T (vm)} ⊂ W tamb´em ´e LI.
Sejam V e W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre R e L(V, W ) o conjunto de todas as trans- forma¸c˜oes lineares de V para W. Dadas A, B ∈ L(V, W ) e α ∈ R definimos as opera¸c˜oes adi¸c˜ao e produto por escalar das seguintes formas: - A + B : V −→ W como (A + B)(v) = A(v) + B(V ); - αA : V −→ W como (αA)(v) = α · A(v).

Mostre que com essas opera¸c˜oes o conjunto L(V, W ) ´e um espa¸co vetorial sobre R.

Seja A, B ∈ L(V, V ) mostre que AB, isto ´e, A composta com B ´e uma transforma¸c˜ao linear.
Dados A, B ∈ L(R^2 , R^2 ) dados por A(x, y) = (x + y, 0) e B(x, y) = (−y, x), obtenha as express˜oes das transforma¸c˜oes A + B, AB, BA, A^2 eB^2 (A^2 = AA).
Seja T : R^3 −→ R^3 dado por T (x, y, z) = (ax + by, cz, 0), com a, b, c ∈ R. Mostre que T 3 = 0.
Sejam Rθ, Rα : R^2 −→ R^2 respectivamente as rota¸c˜oes de ˆangulos θ e α em torno da origem. Mostre que RθRα ´e a rota¸c˜ao do ˆangulo θ + α.
Ache uma transforma¸c˜ao linear T : R^4 → R^4 tal que KerT = [(1, 0 , 1 , 0), (− 1 , 0 , 0 , 1)] e ImT = [(1, − 1 , 0 , 1), (0, 1 , − 1 , 0)].
Seja T : R^3 → R^3 dada por

T (x, y, z) = (x − y + 2z, 2 x + y − z, 2 y − 2 z).

Sejam U e V espa¸cos vetoriais sobre R de dimens˜oes n e m e com bases B e B′^ fixadas, respecti- vamente. Considere a fun¸c˜ao ϕ : L(U, V ) −→ Mm×n(R) dada por ϕ(T ) = [T ]B,B′^ e fa¸ca o que se pede.

(a) Mostre que ϕ ´e uma transforma¸c˜ao linear. (b) Mostre que ϕ ´e um isomorfismo. (c) Conclua, utilizando o item anterior, que dimL(U, V ) = m · n.

Encontre todos os valores a, b, c, d tais que T ∈ L(R^2 ) dado por T (x, y) = (ax + by, cx + dy) tenha como n´ucleo a reta y = 3x.