Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a
Licenciatura em Matem´atica- 2023.2
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Algebra Linear - Transforma¸c˜ao Linear (Parte 1)
Professora: Rachel Brito
1. Determine quais das fun¸c˜oes abaixo s˜ao lineares:
(a) T:R3→R2definida por T(x, y, z ) = (x, z)
(b) T:R4→R4definida por T(v) = −v
(c) T:R3→R3definida por T(v) = v+ (0,−1,0)
(d) T:R2→R2definida por T(x, y) = (2x+y , y)
(e) T:R2→Rdefinida por T(x, y) = xy.
2. Decida quais das afima¸c˜oes abaixo s˜ao verdadeiras quais s˜ao falsas. Justifique suas respostas.
(a) Seja T:V→Vuma transforma¸c˜ao linear. Se T(v) = 0 ent˜ao v= 0.
(b) Se T(w) = T(v) + T(u) ent˜ao w=u+v.
(c) Se u´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1, ..., vnent˜ao T(u) ´e combina¸c˜ao dos vetores T(v1), ..., T (vn).
(d) Existe uma transforma¸c˜ao linear T:R2→R3sobrejetiva.
(e) Existe uma transforma¸c˜ao linear T:R4→R3injetiva.
(f) O n´ucleo de toda transfoma¸c˜ao linear T:R5→R3tem dimens˜ao maior ou igual a 3.
3. Seja T:V→Wuma transforma¸c˜ao linear injetiva. Mostre que se {v1, ..., vm} ⊂ V´e um conjunto
LI ent˜ao {T(v1), ..., T (vm)} ⊂ Wtamb´em ´e LI.
4. Sejam VeWespa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre ReL(V , W ) o conjunto de todas as trans-
forma¸c˜oes lineares de Vpara W. Dadas A, B ∈ L(V, W ) e α∈Rdefinimos as opera¸c˜oes adi¸c˜ao e
produto por escalar das seguintes formas:
•A+B:V−→ Wcomo (A+B)(v) = A(v) + B(V);
•αA :V−→ Wcomo (αA)(v) = α·A(v).
Mostre que com essas opera¸c˜oes o conjunto L(V , W ) ´e um espa¸co vetorial sobre R.
5. Seja A, B ∈ L(V, V ) mostre que AB, isto ´e, Acomposta com B´e uma transforma¸c˜ao linear.
6. Dados A, B ∈ L(R2,R2) dados por A(x, y)=(x+y, 0) e B(x, y)=(−y, x), obtenha as express˜oes
das transforma¸c˜oes A+B , AB, BA, A2eB2(A2=AA).
7. Determine o n´ucleo e a dimens˜ao da imagem das seguintes transforma¸c˜oes lineares.
(a) T:R2→R2dada por T(x, y) = (2x+y , y)
(b) T:R3→R2dada por T(x, y, z ) = (x−y, x −z)
(c) T:M2(R)→M2(R) dada por T(A) = M A −AM onde M=2 0
1−1
8. Seja T:R3−→ R3dado por T(x, y, z ) = (ax +by, cz, 0), com a, b, c ∈R. Mostre que T3= 0.
9. Ache uma transforma¸c˜ao linear T:R4→R4tal que KerT= [(1,0,1,0),(−1,0,0,1)] e ImT=
[(1,−1,0,1),(0,1,−1,0)].
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