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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM
INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS - ICEˆ
PROGRAMA DE P OS-GRADUAC´ ¸ AO EM MATEM ˜ ATICA´
Nome: Vanessa Souza dos Santos
Disciplina: Probabilidade
Exerc´ıcios (Magalh˜aes, Se¸c˜ao 3.4)
Quest˜ao 1 Sendo X e Y vari´aveis aleat´orias em (Ω, =, P ), mostre que min(X, Y ) e max(X, Y ) tamb´em s˜ao. Inicialmente, vamos demonstrar que
{T 1 = min{X, Y } > t} = {X > t}
{Y > t} Tome T = (X, Y ) e T 1 = min{X, Y }, onde
T 1 : Ω −→ < w −→ T 1 (w) T 1 (w) = min{X(w), Y (w)} Seja w, tal que {T 1 = min{X(w), Y (w)} > t} ⇒ {X(w) > t}
{Y (w) > t}. Ainda, por absurdo, suponha que {X(w)}
{Y (w)} ≤ t, ter´ıamos
{X(w)}
{Y (w)} ≤ t < min{X(w), Y (w)} (Absurdo) Se w ∈ {X(w)}
{Y (w)}, ent˜ao w ∈ min{X, Y }.
Conclu´ımos que min(X, Y ) e a interse¸c˜ao de X e Y est˜ao na mesma =. Logo min(X, Y ) ´e vari´avel aleat´oria.
Para Tn = max{X, Y }, mostrar que
{Tn = max{X, Y } ≤ t} = {X ≤ t}
{Y ≤ t} Demonstra¸c˜ao:
Tn : Ω −→ < w −→ Tn(w) Tn(w) = max{X(w), Y (w)} Por defini¸c˜ao Tn(w) ≤ max{X(w), Y (w)} e por hip´otese max{X(w), Y (w)} ≤ t, ent˜ao
Tn(w) ≤ max{X(w), Y (w)} ≤ t =⇒ w ∈ {X ≤ t}
{Y ≤ t} Ainda, se w ∈ {X ≤ t}
{Y ≤ t}, ent˜ao w ∈ max{X, Y } ≤ t. Analogamente `a demonstra¸c˜ao para o min(X, Y ), o max(X, Y ) e a interse¸c˜ao de X e Y est˜ao na mesma =, ent˜ao o max(X, Y ) tamb´em ´e vari´avel aleat´oria.
Quest˜ao 2 Mostre que A 1 , A 2 ,... , An s˜ao eventos independentes se e s´o se IA 1 , IA 2 ,... , IAn forem vari´aveis aleat´orias independentes.
Demonstra¸c˜ao Se IAi ´e uma vari´avel aleat´oria em (Ω, =) e se w ∈ Ai, ent˜ao IAi = 1, implica que P (IAi =
- = P (Ai). Dessa forma, se w ∈
Ai, ent˜ao
∏n i=1 IAi = 1, logo^ P^ (
∏n i=1 IAi = 1) =^ P^ (
Ai) Supondo que IA 1 , IA 2 ,... , IAn s˜ao vari´aveis aleat´oria independentes, ent˜ao
P
( (^) n ⋂
i=
IAi = 1
= P (IA 1 = 1)P (IA 2 = 1)... P (IAn = 1)
P
( (^) n ⋂
i=
Ai
= P (A 1 )P (A 2 )... P (An)
A 1 , A 2 ,... , An s˜ao independentes. Supondo que A 1 , A 2 ,... , An s˜ao eventos independentes, logo
P
( (^) n ⋂
i=
Ai
= P (A 1 )P (A 2 )... P (An)
= P (IA 1 = 1)P (IA 2 = 1)... P (IAn = 1) = P
( (^) n ⋂
i=
IAi = 1
Ent˜ao A 1 , A 2 ,... , An s˜ao eventos independentes.
Quest˜ao 3 Seja X P oisson(2). Defina Y pelo truncamento de X que impede valores supe- riores a 2. Assim, Y tem o valor 2 sempre que X ≥ 2. Obtenha a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de Y.
Solu¸c˜ao Seja X ∼ P oisson(2) e Y o trucamento de X < 2. Ent˜ao a vari´avel aleat´oria Y ´e definida por
Y =
0 , x < 0 X, x = 0, 1 2 , x ≥ 2 onde a fun¸c˜ao de probabilidade de X ´e da forma p(x) = 2 x xe−! 2. Dessa forma, a fun¸c˜ao de probabilidade de Y fica
fY (y) =
0 , y < 0 2 y^ e−^2 y! ,^ y^ = 0,^1 1 −
y= 2 y^ e−^2 y! ,^ y^ ≥^2 Portanto, a Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao ser´a
P (X + Y = z) =
∑^ n^1
x
n 1 x
n 2 z − x
px(1 − p)n^1 −xpz−x(1 − p)n^2 −(z−x)
∑^ n^1
x
n 1 x
n 2 z − x
px+z−x(1 − p)n^1 +n^2 −x−z+x
∑^ n^1
x
n 1 x
n 2 z − x
pz^ (1 − p)n^1 +n^2 −z
= pz^ (1 − p)n^1 +n^2 −z
∑n^1
x
n 1 x
n 2 z − x
n 1 + n 2 z
pz^ (1 − p)n^1 +n^2 −z
Ent˜ao X + Y ∼ Binomial(n 1 + n 2 , p).
b. A distribui¸c˜ao condicional de X, dada a soma X + Y , ´e Hipergeom´etrica com parˆametros que n˜ao dependem de p.
Verifica¸c˜ao Por defini¸c˜ao, a condicional de X dado X + Y fica
P (X = x|X + Y = z) = P (X = x, X + Y = z) P (X + Y = z) = P (X = x, Y = z − x) P (X + Y = z) = P (X = x)P (Y = z − x) P (X + Y = z)
n 1 x
px(1 − p)n^1 −x
n 2 z − x
pz−x(1 − p)n^2 −(z−x) ( n 1 + n 2 z
pz^ (1 − p)n^1 +n^2 −z
n 1 x
n 2 z − x
n 1 + n 2 z
) px+z−x−z^ (1 − p)n^1 −x+n^2 −z+x−n^1 −n^2 +z
n 1 x
n 2 z − x
n 1 + n 2 z
Ent˜ao X|X + Y ∼ Hgeo(n 1 , n 2 , z).
