Probabilidade , Notas de estudo de Estatística

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IEE201- Probabilidade I

Aula 6 : Probabilidade Condicional

e Independência

ESTATÍSTICA (ICE)

Universidade Federal do Amazonas

20-24 de novembro de 2006

Edijane Paredes Garcia

Definição Definição

Consideremos um espaço amostral Ω com N eventos simples, que

suporemos igualmente possíveis. Seja A um evento de Ω

composto de n eventos simples. A probabilidade de A , denotada

por P( A ), é definida por

( ). (3.1)

N

n

P A =

Observe: a probabilidade é uma Observe função

definida na classe dos subconjuntos do

espaço amostral.

Nos exemplos apresentados até aqui, pequena dificuldade

foi encontrada para calcular n e N. Mas existem situações

em que necessitamos utilizar alguns procedimentos

sistemáticos de contagem ou enumeração.

Exemplo 1 Exemplo 1

Considere uma classe com 23 alunos. O conselho de classe

é formado por três estudantes: um presidente , um

secretário e um tesoureiro. Ao escolhermos uma amostra

de três estudantes para formarem o conselho, deveremos

considerar as amostras ordenadas, pois ainda que duas

amostras sejam formadas pelas mesmas pessoas, se elas

executam tarefas distintas, devem ser consideradas como

diferentes.

número de amostras

Conjunto C

formado por N

elementos

Subconjunto

formado por n

elementos

retirados de C

O número de amostras ordenadas sem reposição de tamanhotamanho nn , de

um conjunto com nn elementoselementos, é dado por

número de amostras

P n! n

( N ) = N ( N − 1 ) ( N − 2 ) ( N − ( n − 1 )) n



Exemplo 3 Exemplo 3

abc acb bac bca cab cba

Considere o conjunto das três primeiras letras do alfabeto

{ a , b , c }. O número de amostras ordenadas de tamanho 3 é

número de amostras

As amostras ordenadas de tamanho 3, com reposição, do conjunto

{ a , b , c , d } incluem:

cba dba dca dcb

cab dab dac dbc

bca bda cda cdb

bac bad cad cbd

acb adb adc bdc

abc abd acd bcd

(i) As amostras sem reposição; (ii) As amostras onde há pelo

menos duas repetições.

aad

aac ada daa

aab aca caa

aaa aba baa

bbd

bbc bdb dbb

bba bcb cbb

bbb bab abb

ccd

ccb cdc dcc

cca cbc bcc

ccc cac acc

ddc

ddb dcd cdd

dda dbd bdd

ddd dad add

Caso ( i )

Caso ( ii )

aad

aac ada daa

aab aca caa

aaa aba baa

cba dba dca dcb

cab dab dac dbc

bca bda cda cdb

bac bad cad cbd

acb adb adc bdc

abc abd acd bcd

número de amostras

( N ) = N ( N − 1 ) ( N − 2 ) ( N − ( n − 1 )) n



Solução - Exemplo 5 Solução - Exemplo 5

Para determinar o número de jogos, precisamos calcular o

número de amostras não ordenadas de tamanho 2 de um

conjunto com 6 elementos.

6 , 2

C =