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Lista de Exerc´ıcio - Probabilidade e
Estat´ıstica
Universidade Federal do Cear´a - Campus Sobral Curso de Engenharia El´etrica Professor: Josefran Bastos
1 L´ogica B´asica
- Escreva a tabela verdade das express˜oes abaixo.
(a) A ∩ B ∩ C ∩ D (b) A ∪ B ∪ C (c) A ∩ B ∪ C (d) A ∩ (B ∪ C) (e) A¯ ∩ B ∪ A (f) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B¯) (g) (A ∩ B) → (B ∪ C) ∩ A¯
- Transforme as express˜oes abaixo em express˜oes l´ogicas. Lembre de explicitar o que significa cada vari´avel e utilize as vari´aveis na forma mais atˆomicas poss´ıveis.
(a) Pedro e Maria v˜ao para a escola. (b) A rua est´a molhada, pois choveu. (c) O resultado dos lan¸camentos da moeda foram cara e coroa. (d) Pedro vai a escola e maria n˜ao. (e) Os n´umeros da mega-sena foram 2, 4,12, 34, 51, 59.
- Escreva A → B apenas usando ¬, ∩ e ∪? Fa¸ca o mesmo para o “ou exclusivo”.
2 Revis˜ao Conjuntos
- Em sala foram introduzidas algumas formas de representarmos conjun- tos. Utilize ao menos duas formas distintas para descrever o conjunto dos n´umeros pares.
- Considere os seguintes conjuntos:
A ={vermelho, preto, azul}, B ={Pedro, Jos´e, Joaquim}, C ={ 1 , 2 ,... , 10 }, D ={ 2 , 4 ,.. .}, E ={ 0 , 4 , 8 ,.. .}.
Realize as seguintes opera¸c˜oes.
(a) Determine o tamanho de cada um dos conjuntos acima. (b) Para quaisquer dois pares de conjuntos acima, calcule a suas in- tersec¸c˜oes e conjunto uni˜ao. (c) Determine a rela¸c˜ao dentre os conjuntos acima (cont´em, est´a con- tido, n˜ao cont´em, n˜ao est´a contido). (d) Utilizando os conjuntos acima, escreva ao menos 5 senten¸cas ver- dadeiras que utilizem os operadores ∈ e ∈/. (e) Descreva 2A, 2B^ e 2D. (f) Dado um conjunto M ⊆ N, considere a fun¸c˜ao
g(n, M ) =
|M ∩ Zn | n
Calcule limn→∞ g(n, C), limn→∞ g(n, D) e limn→∞ g(n, E).
- Os conjuntos abaixo s˜ao todos diferentes. Logo a rela¸c˜ao entre eles s´o pode ser da forma ⊂ ou ⊃. Assim, diga qual a rela¸c˜ao entre os conjuntos listados e dˆe algum exemplo de algum elemento que mostra essa rela¸c˜ao restrita ´e v´alida. Por exemplo, N ⊂ Z, pois − 1 ∈/ Z.
- Gr´afico de pontos para os itens a e b;
- Histograma sem ser por intervalos para os itens a e b;
- Histograma por intervalo para todos os itens.
(a) 8 14 11 1 3 5 2 6 6 1 11 11 7 14 3 15 12 12 2 5 13 13 4 4 15 6 1 15 9 14 3 1 12 14 1
(b) 4 3 2 11 1 6 3 10 12 2 9 10 13 13 2 12 4 2 8 13 2 1 4 10 13
(c)
8 , 18 7 , 23 6 , 84 4 , 80 0 , 17 3 , 10 9 , 88 4 , 07 7 , 67 4 , 27 7 , 23 6 , 75 4 , 06 8 , 08 8 , 65 2 , 10 9 , 11 8 , 13 5 , 93 2 , 54 9 , 47 3 , 39 7 , 07 4 , 64 1 , 89 9 , 05 5 , 84 2 , 85 4 , 46 6 , 24 4 , 57 2 , 64 3 , 46 1 , 41 7 , 34 3 , 53 4 , 41 7 , 22 7 , 51 2 , 08 1 , 49 4 , 73 8 , 74 5 , 45 2 , 81 7 , 39 7 , 45 1 , 91 5 , 52 3 , 38 4 , 35 4 , 98 6 , 67 1 , 42 9 , 53 8 , 47 0 , 46 5 , 36 1 , 32 4 , 83 1 , 59 5 , 80 7 , 38 4 , 96 7 , 11 4 , 72 8 , 40 1 , 52 1 , 93 5 , 90 3 , 51 3 , 33 0 , 63 2 , 24 8 , 68 3 , 34 9 , 54 6 , 13 5 , 16 5 , 05 9 , 42 9 , 42 9 , 94 6 , 08 0 , 83 9 , 46 4 , 55 1 , 20 4 , 81 5 , 77
(d)
00 , 21 81 , 26 68 , 96 41 , 74 20 , 50 11 , 46 04 , 71 60 , 65 19 , 08 62 , 46 92 , 41 80 , 54 34 , 92 50 , 02 22 , 55 35 , 29 29 , 62 95 , 24 01 , 79 56 , 66 30 , 90 55 , 43 20 , 48 05 , 43 06 , 05 18 , 36 44 , 83 49 , 28 24 , 81 56 , 81 56 , 07 24 , 92 38 , 07 25 , 02 66 , 57 58 , 47 36 , 38 71 , 19 19 , 12 55 , 37 33 , 64 11 , 53 35 , 91 68 , 47 61 , 45 58 , 36 03 , 76 90 , 97 53 , 59 05 , 46 47 , 63 56 , 59 60 , 79 68 , 01 61 , 92 66 , 75 86 , 27 06 , 75 16 , 03 11 , 08 63 , 47 72 , 00 35 , 91 01 , 53 96 , 93 02 , 47 59 , 91 33 , 31 73 , 56 78 , 93 88 , 58 07 , 20 90 , 36 24 , 48 75 , 58 51 , 80 82 , 74 79 , 24 42 , 77 36 , 33
- Agora que vocˆe j´a est´a profissional em descrever as representa¸c˜oes de dados. Pesquise a altura de 30 pessoas pr´oximas (fam´ılia, amigos, etc) e suas idades. Para estes dados, construa um histograma.
- Cada pontua¸c˜ao do conjunto de notas de um exame a seguir est´a nas dezenas 60, 70, 80 ou 90. Um diagrama de caule e folha com apenas os quatro caules 6, 7, 8 e 9 n˜ao forneceria uma descri¸c˜ao muito detalhada da distribui¸c˜ao das pontua¸c˜oes. Nessas situa¸c˜oes, ´e desej´avel usarmos caules repetidos. Aqui podemos repetir o caule 6 duas vezes, usando 6L para pontua¸c˜oes na parte inferior da dezena dos 60 (folhas 0, 1, 2, 3 e 4) e 6H para as pontua¸c˜oes na parte superior da dezena dos 60 (folhas 5, 6, 7, 8 e 9). De forma similar, os outros caules podem ser repetidos duas vezes para obtermos um diagrama consistindo em oito linhas. Construa esse diagrama para as pontua¸c˜oes fornecidas. Que caracter´ıstica dos dados ´e real¸cada por ele? 74 89 80 93 64 67 72 70 66 85 89 81 81 71 74 82 85 63 72 81 81 95 84 81 80 70 69 66 60 83 85 98 84 68 90 82 69 72 87 88
- Os transdutores de temperatura de um determinado tipo s˜ao enviados em lotes de 50. Uma amostra de 60 lotes foi selecionada e o n´umero de transdutores fora das especifica¸c˜oes em cada lote foi determinado, resultando nos dados a seguir: 2 1 2 4 0 1 32 0 5 3 3 1 3 2 4 7 0 2 3 0 4 2 1 3 1 13 4 1 2 3 2 2 8 4 5 1 3 1 5 0 2 3 2 1 6 4 2 1 6 0 3 3 3 6 1 2 3
(a) Determine as frequˆencias e frequˆencias relativas dos valores obser- vados de x = n´umero de transdutores fora das especifica¸c˜oes em um lote. (b) Que propor¸c˜ao de lotes na amostra possui no m´aximo cinco trans- dutores fora das especifica¸c˜oes? Que propor¸c˜ao tem menos de cinco? Que propor¸c˜ao possui no m´ınimo cinco unidades fora das especifica¸c˜oes?
- Suponha que vocˆe possui uma popula¸c˜ao de 30 valores e sabe que a m´edia da popula¸c˜ao ´e 15. Vocˆe faz uma amostra de 5 objetos e nota que a m´edia amostral ´e 15. O que vocˆe pode concluir da m´edia amostral dos outros 25 objetos?
- Em uma empresa, 55% dos empregados s˜ao do sexo masculino e a m´edia aritm´etica dos sal´arios de todos os empregados da empresa ´e igual a R$ 3.000,00. Sabe-se que a m´edia aritm´etica dos sal´arios dos empregados do sexo masculino ´e igual a m´edia aritm´etica dos sal´arios dos empre- gados do sexo feminino e que a raz˜ao da variˆancia populacional pelo desvio padr˜ao da popula¸c˜ao ´e de 0, 1 para os homens e 0, 15 para as mulheres. Calcule o desvio padr˜ao do sal´ario de todos os empregados.
- O que acontece com a variˆancia de uma popula¸c˜ao se multiplicarmos todos os dados por 2? E se somarmos 2?
- Foram realizadas medidas das temperaturas m´aximas noturnas de 5. 000 munic´ıpios de algumas regi˜oes, gerando-se uma amostra de variˆancia V. No entanto, descobriu-se que todos os termˆometros utilizados sub- tra´ıram 4 graus em todas as medidas. Qual a variˆancia correta?
- Um produtor de caf´e irrigado em Minas Gerais recebeu um relat´orio de consultoria estat´ıstica, constando, entre outras informa¸c˜oes, o desvio padr˜ao das produ¸c˜oes de uma safra dos talh˜oes de sua propriedade. Os talh˜oes tˆem a mesma ´area de 30. 000 m^2 e o valor obtido para o desvio padr˜ao foi de 90kg/talh˜ao. O produtor deve apresentar as informa¸c˜oes sobre a produ¸c˜ao e a variˆancia dessas produ¸c˜oes em sacas de 60kg por hectare (10. 000 m^2 ). Quanto ´e a variˆancia das produ¸c˜oes dos talh˜oes expressa em (sacas/hectare)^2?
- Os dados a seguir foram obtidos em indiv´ıduos contaminados pelo ve- neno de um certo tipo de inseto e submetidos a tratamento. A vari´avel de interesse Recup ´e definida como o tempo (em horas) entre a admi- nistra¸c˜ao do tratamento e a recupera¸c˜ao do indiv´ıduo. Os valores de
Recup s˜ao os seguintes:
3 90 23 46 2 42 47 37 12 51 11 1 3 3 45 3 4 11 2 8 56 39 22 16 5 52
(a) Determine a m´edia, mediana, quartil e desvio padr˜ao. (b) Separe o conjunto de dados em trˆes grupos denominados cura r´apida, com valor de Recup menor ou igual a 12, cura normal, se o valor de Recup for maior do que 12 e menor ou igual a 45, e cura lenta, se o valor de Recup estiver acima de 45. Compare a variabilidade desses trˆes grupos atrav´es de seus coeficientes de varia¸c˜ao.
6 Probabilidade, contagem, probabilidade
condicional e independˆencia
- Defina Evento e Espa¸co Amostral.
- Quais s˜ao os Axiomas da Probabilidade e porque fazem sentido?
- Descreva o processo de dedu¸c˜ao dos Axiomas da Probabilidade a partir da Frequˆencia Relativa, conforme feito em sala de aula.
- Qual o espa¸co amostral para o experimento que consiste em analisar o lan¸camento de 3 moedas?
- Qual o espa¸co amostral para o experimento que consiste em analisar o lan¸camento de 2 dados?
- Em uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 pretas. Vocˆe tira 2 bolas da caixa sem olhar. Descreva o espa¸co amostral deste experimento.
- Selecione aleatoriamente um estudante em uma deter minada univer- sidade e represente por A o evento de ele possuir um cart˜ao de cr´edito
- Uma caixa cont´em quatro lˆampadas de 40-W, cinco de 60-W e seis de 75-W. Se as lˆampadas forem selecionadas uma a uma em ordem aleat´oria, qual ´e a probabilidade de ao menos duas serem selecionadas para obter uma de 75 W?
- Use os axiomas para mostrar que, se um evento A estiver contido em outro evento B (ou seja, A ´e um subconjunto de B), ent˜ao P (A) ≤ P (B).
- Uma instala¸c˜ao de produ¸c˜ao emprega 20 oper´arios no turno diurno, 15 oper´arios no noturno e 10 oper´arios no da madrugada. Um consultor de controle de qualidade deve selecionar 6 desses oper´arios para entre- vistas detalhadas. Suponha que a sele¸c˜ao seja feita de tal forma que qualquer grupo espec´ıfico de 6 oper´arios tenha a mesma possibilidade de ser selecionado que qualquer outro grupo (escolha de 6 nomes sem reposi¸c˜ao entre 45).
(a) Quantas escolhas contˆem 6 oper´arios do turno diurno? Qual ´e a probabilidade de os 6 oper´arios selecionados serem do turno diurno? (b) Qual ´e a probabilidade de os 6 oper´arios selecionados serem do mesmo turno? (c) Qual ´e a probabilidade de pelo menos dois turnos diferentes terem representantes entre os oper´arios selecionados? (d) Qual ´e a probabilidade de pelo menos um dos turnos n˜ao ter re- presentante na amostra de oper´arios?
- Trˆes casais compraram ingressos de teatro e est˜ao sentados em uma fileira que consiste em apenas seis assentos. Se eles se sentarem de uma forma totalmente aleat´oria (ordem aleat´oria), qual ser´a a probabilidade de Jim e Paula (marido e mulher) se sentarem nos dois assentos da esquerda? Qual ´e a probabilidade de Jim e Paula se sentarem um ao lado do outro? Qual ´e a probabilidade de que ao menos uma das esposas se sente ao lado de seu respectivo marido?
- Suponha que um indiv´ıduo seja selecionado aleatoriamente da popula¸c˜ao de todos os homens adultos que vivem nos Estados Unidos. Sejam A o evento em que o indiv´ıduo selecionado tem mais de 1,80m de altura e
B o evento em que o indiv´ıduo selecionado ´e um jogador profissional de basquete. Qual vocˆe pensa ser maior: P (A|B) ou P (B|A)? Por quˆe?
- Uma caixa cont´em seis bolas vermelhas e trˆes verdes e uma segunda caixa cont´em sete bolas vermelhas e trˆes verdes. Uma bola ´e retirada da primeira caixa e colocada na segunda. Ent˜ao uma bola ´e retirada da segunda caixa e colocada na primeira.
(a) Qual ´e a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira caixa e outra bola vermelha na segunda? (b) No fim do processo de sele¸c˜ao, qual ´e a probabilidade de o n´umero de bolas vermelhas e verdes da primeira e da segunda caixas ser idˆentico ao do in´ıcio?
- Uma empresa que fabrica cˆameras de v´ıdeo produz um modelo b´asico e um modelo luxo. No ano passado, 40% das cˆameras vendidas foram do modelo b´asico. Dos clientes que compraram o modelo b´asico, 30% compraram uma garantia estendida, enquanto 50% dos compradores do modelo luxo a compraram. Se vocˆe souber que um cliente selecionado aleatoriamente possui uma garantia estendida, qual a probabilidade de ele ter o modelo b´asico?
- Duas bombas ligadas em paralelo falham independentemente uma da outra em um determinado dia. A probabilidade de que apenas a bomba mais antiga apresente falha ´e de 0, 10 e a probabilidade de que apenas a bomba mais nova o fa¸ca ´e de 0, 05. Qual ´e a probabilidade de que o sistema de bombas apresente uma falha em um determinado dia (que acontece se houver falha em ambas as bombas)?
- Calcule a probabilidade de que em uma sala com 50 pessoas duas pes- soas tenham nascido no mesmo dia do ano.
- Suponha que vocˆe tem uma moeda desonesta no qual a probabilidade de dar cara ´e 15. Como vocˆe faria para simular um sorteio tal que a probabilidade de vencer fosse justa, i.e., a probabilidade de vencer seja 1 2? Mostre que de fato seu sorteio possui esta probabilidade.
- Seja P um probabilidade e Ω seu espa¸co amostral. Utilizando os Axi- omas da Probabilidade, mostre as seguintes propriedades
- Algumas partes da Calif´ornia s˜ao particularmente propensas a terre- motos. Suponha que em tal ´area, 30% de todos os moradores tenham seguro contra danos por terremotos. Quatro moradores s˜ao seleciona- dos aleatoriamente. Seja X o n´umero dos que possuem seguro contra danos por terremotos, entre os quatro.
(a) Determine a distribui¸c˜ao de probabilidades de X. (b) Qual ´e a probabilidade de que ao menos dois dos quatro moradores selecionados tenham seguro?
- Depois que todos os estudantes sa´ıram da sala de aula, um professor de estat´ıstica observa que quatro c´opias do livro foram deixadas sob as mesas. No come¸co da pr´oxima aula, o professor distribui os quatro livros de forma completamente aleat´oria para cada um de quatro alunos (1, 2, 3 e 4) que dizem ter esquecido os livros. Um resultado poss´ıvel ´e que 1 receba o livro de 2, 2 receba o livro de 4, 3 receba o seu livro e 4 receba o livro de l. Esse resultado pode ser abreviado como (2, 4, 3, 1).
(a) Relacione os outros 23 resultados poss´ıveis; (b) Seja X o n´umero de estudantes que receberam o pr´oprio livro. Determine a f.d.p. de X.
- Seja X o dano (em valor monet´ario) incorrido por um determinado tipo de acidente em um ano. Os valores poss´ıveis de X s˜ao 0, 1000 , 5000 e 10000, com probabilidades 0. 8 , 0. 1 , 0 .08 e 0.02 respectivamente. Uma empresa oferece uma ap´olice dedut´ıvel de R$ 500. Se quiser que o seu lucro seja de R$ 100, que valor de prˆemio deve cobrar?
- Escreva a regra geral para E(X − c) onde c ´e uma constante. O que acontece quando vocˆe assume c = E[X]?
- Suponha que vocˆe est´a jogando dado de forma apostada. Seja X re- sultado de um dado lan¸cado uma vez. Se antes de lan¸car o dado, oferecessem a vocˆe ou ( (^31). 5 ) d´olares independente do valor que sair no dado ou h(X) = 1/X d´olares, vocˆe aceitaria a quantia garantida ou faria a aposta?
- Suponha que 90% de todas as pilhas de certo fabricante tenham vol- tagens aceit´aveis. Um determinado tipo de lanterna necessita de duas
pilhas tipo D, e ela s´o funciona se as duas pilhas tiverem voltagem aceit´avel. Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual ´e a pro- babilidade de pelo menos nove funcionarem? Que hip´otese vocˆe fez no decorrer da resposta `a pergunta proposta?
- Uma ponte cobra um ped´agio de R$ 1,00 para carros de passeio e de R$ 2,50 para outros ve´ıculos. Suponha que, durante o dia, 60% de todos os ve´ıculos sejam carros de passeio. Se 25 ve´ıculos cruzarem a ponte durante um determinado per´ıodo do dia, qual ser´a a receita esperada resultante?
- Uma limusine de aeroporto pode acomodar at´e quatro passageiros em qualquer corrida. A empresa aceitar´a um m´aximo de seis reservas e os passageiros devem ter reservas. Pelos registros anteriores, 20% de todos os que fazem reservas n˜ao aparecem para a corrida. Responda as seguintes perguntas, assumindo independˆencia quando apropriado.
(a) Se forem feitas seis reservas, qual ´e a probabilidade de ao menos um indiv´ıduo com reserva n˜ao poder ser acomodado na corrida? (b) Se forem feitas seis reservas, qual ´e o n´umero esperado de lugares dispon´ıveis quando a limusine parte? (c) Suponha que a distribui¸c˜ao de probabilidade do n´umero de reser- vas feitas seja dada na tabela a seguir. N´umero de reservas 3 4 5 6 Probabilidade 0.1 0.2 0.3 0. Seja X = n´umero de passageiros de uma corrida selecionado ale- atoriamente. Calcule a f.d.p. de X.
- Uma fam´ılia decide ter filhos at´e ter trˆes do mesmo sexo. Assumindo P (H) = P (M ) = 0, 5, qual ´e a f.m.p. de X = n´umero de filhos na fam´ılia?
- Trˆes irm˜aos e suas esposas decidem ter filhos at´e que cada fam´ılia tenha duas meninas. Qual ´e a fmp de X = n´umero total de filhos homens nascidos nas fam´ılias? Qual ´e E(X) e como pode ser comparada ao n´umero esperado de filhos nascidos em cada fam´ılia?
sangue, misture-as e fa¸ca um ´unico teste. Se ningu´em tiver a doen¸ca, o resultado ser´a negativo e apenas um teste ter´a sido necess´ario. Se ao menos um indiv´ıduo tiver a doen¸ca, o teste da amostra misturada resultar´a positivo e nesse caso ser˜ao processados os n testes individuais. Se p = 0, .1 e n = 3, qual ser´a o n´umero esperado de testes usando esse procedimento? Qual ser´a o n´umero esperado quando n = 5?
- Seja X uma v.a. com Distribui¸c˜ao Binomial b(x; n, p). Calcule a es- peran¸ca de e a variˆancia de X, i.e., mostre que E[X] = np e V [X] = np(1 − p).
- Seja X uma v.a. com Distribui¸c˜ao Hipergeom´etrica hyp(x; n, M, N ). Calcule a esperan¸ca e a variˆancia de X.
- Seja X uma v.a. com Distribui¸c˜ao Binomial Negativa nb(x; r, p). Cal- cule a esperan¸ca e a variˆancia de X.
- Mostre que a distribui¸c˜ao de Poisson ´e derivada de um caso particular da distribui¸c˜ao binomial e conclua qual esperan¸ca e a variˆancia de uma com distribui¸c˜ao de Poisson.
- Clientes chegam a uma loja segundo um processo de Poisson X com taxa α = 20 por hora. Encontre o n´umero esperado de vendas reali- zadas durante um dia de trabalho (a loja fica aberta 8 horas por dia), supondo que a probabilidade de um cliente comprar algo ´e 0, 3.
- Admita que autom´oveis passem por determinado trecho de uma estrada de acordo a um processo de Poisson com taxa α = 3 carro por minuto.
(a) Suponha que uma pessoa decida atravessar esse mesmo trecho com os olhos vendados. Qual ´e a probabilidade de ele conseguir escapar ileso, se a referida travessia demorar s segundos: Considere s = 2, 5 , 10 , 20. (b) Suponha agora que a mesma pessoa ´e suficientemente ´agil para conseguir escapar ileso de um autom´ovel, n˜ao acontecendo o mesmo, se durante a travessia surgirem dois ou mais autom´oveis. Calcule a probabilidade de esta pessoa n˜ao ser ferida, caso a travessia demore s = 5, 10 , 20 , 30 segundos.
- Em cada domingo, 15 unidades de um determinado produto s˜ao postas em estoque para venda no restante da semana. As encomendas desse produto ocorrem de acordo a um processo de Poisson de taxa igual a 3 unidades por dia. Note-se que uma encomenda n˜ao resulta numa venda caso n˜ao haja unidades em estoque. Admita ainda que devido `a natureza do produto s˜ao destru´ıdas em cada domingo todas as unidades que n˜ao tenham sido vendidas na semana anterior.
(a) Calcule a probabilidade de n˜ao haver unidades para venda a partir das 0 horas de ter¸ca-feira; (b) Determine a probabilidade de terem sido vendidas todas as uni- dades em estoque at´e as 24 horas de s´abado; (c) Obtenha a express˜ao do n´umero esperado de unidades destru´ıdas em cada semana.
- Clientes chegam em um banco de acordo com um processo de Poisson com taxa α. Suponha que dois clientes cheguem durante a primeira hora. Qual ´e a probabilidade que:
(a) Ambos tenham chegado durante os primeiros 20 minutos? (b) Pelo menos um tenha chegado durante os primeiros 20 minutos.
8 Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas
- Quais restri¸c˜oes uma f.d.p. de uma v.a. deve satisfazer?
- Sejam c uma constante e a, b ∈ R fixos. Diga quais condi¸c˜oes a, b e c devem satisfazer para que a fun¸c˜ao f definida como
f (x) =
c, se a ≤ c ≤ b 0 , cc.
- Dado uma v.a. X, mostre que P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) para quaisquer a e b.
- Considere a seguinte f.d.p. relacionada a uma v.a. obtida atrav´es da medida de uma corrente em um circuito
f (x) =
- 075 x + 0. 2 , se 3 ≤ x ≤ 5 0 , cc.
- Atrav´es de uma experimento vocˆe percebeu que uma v.a. X ´e tal que
P (X ≤ c) = 1 −
c
para todo c > 1. Encontre a f.d.p. de X.
- Seja X ∼ N (μ, σ) para μ e σ > 0 fixos. Mostre que Z = X−σ μ possui de fato uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao. (Dica: Use um racioc´ınio parecido com o utilizado em sala para construir a f.d.p. da lognormal).
- Para os itens abaixo, considere que Z tem distribui¸c˜ao normal padr˜ao, X tem distribui¸c˜ao normal com μ = 15 e σ = 1.25 e c uma constante fixa. Resolva
- P (0 ≤ Z ≤ 2 .17)
- (P − 2. 5 ≤ Z ≤ 0)
- P (Z ≤ 1 .37)
- P (|Z| ≤ 2 .5)
- P (Z ≥ c) = 1. 21
- P (|Z| ≥ c) = 0. 016
- P (X ≤ 15)
- P (X ≥ 10)
- P (|X − 15 | ≤ 3)
- P (|X| ≤ c) = 0. 5
- Mostre a propriedade de falta de mem´oria da distribui¸c˜ao exponencial.
- Mostre que Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1) para todo α > 1.
- Para os itens abaixo, considere X ∼ Γ(7, 1) e Z ∼ Γ(6, 7).
- Γ(7)
- Γ(9.5)
- P (X ≤ 5)
- P (X ≤ 8)
- P (X < 12)
• P (|X| < 4)
• P (Z < 50)
• P (30 < Z < 43)
• P (Z ≤ 2)
- Se X tem uma distribui¸c˜ao exponencial com parˆametro λ > 0. Deduza uma express˜ao geral para seu (100p)-percentil.
- Seja X uma v.a. com distribui¸c˜ao de Weibull com parˆametros α e β. Calcule a f.d.c. de X.
- Deduza a express˜ao da f.d.p. da lognormal e calcule sua esperan¸ca e variˆancia.
- Considerando α, β > 1 e inteiros. Calcule a esperan¸ca de uma v.a. X com distribui¸c˜ao beta e parˆametros α e β.
