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TEMA III
DALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Distribuições Discretas Distribuição Binomial Se uma experiência aleatória fornece apenas dois resultados possíveis mutuamente exclusivos e colectivamente exaustivos “sucesso” e “ insucesso”, se p é a probabilidade de sucesso numa única prova, então a distribuição do número de k sucessos em n provas independentes é chamada de Distribuição Binomial , e a sua função de probabilidade é dada por: pq para k n k n k n Pn k C nnpk qnk k nk 0 , 1 , 2 ,..., !( )! ! ( ) Propriedades da distribuição binomial Possui apenas dois resultados possíveis: sucesso (A) e insucesso ( A ) , ou seja,
A ; A
O sucesso ocorre com probabilidade P^ (^ A ) p e O insucesso ocorre com a probabilidade P^ ( A )^ q ^1 p A probabilidade de ocorrência de um acontecimento estudado em cada prova é constante As provas realizadas são independentes Características da Distribuição Binomial
E(X) = np
Var(X) = ^2 npq Exemplo 3.2 : Um estudante conhece bem 60% da matéria dada. Num exame com cinco perguntas sorteadas ao acaso sobre toda a matéria, qual é a probabilidade de este estudante responder acertadamente: a) Quatro perguntas b) Pelo menos uma pergunta c) A mais de metada das perguntas. d) Não mais que 4 perguntas; Utilizando a fórmula acima com n = 5; p = 0.6 e q = 1-0.6=0.4, teremos:
a) (^0.^6 ) (^10.^6 )^0.^2592 4 !( 5 4 )! 5! 5 (^4 )^4 ^54 P O mesmo resultado pode ser obtido utilizando a formula em Excel dada por =Binomdist(k;n;p,false) = Binomdist(4;5;0.6,false)=0. b) (^0.^6 ) (^10.^6 )^0.^98976 0 !( 5 0 )! 5! 5 (^1 )^15 (^0 )^0 ^50 P P c) P 5 (^3 ) P 5 (^3 ) P 5 (^4 ) P 5 (^5 ) d) ( 4 ; 5 ; 0. 6 ; ) 1 ( 5 ) ( 4 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 5 5 5 5 5 5 5 Binomdist True P P P P P P P Distribuição de Poisson A variável aleatória X diz-se seguir a distribuição de Poisson se for descrita pela seguinte função de probabilidades: 0 ; 1 ;... ! ( ) para k k e P k k n ^ Onde é qualquer número com ^0 e ^2.^71828 Características mais importantes da distribuição de Poisson
Se a v.a. X segue uma distribuição de Poisson com 0 , então
E ( X ) e Var ( X ) Exemplo 3.3 : Admita que o número de camiões cavalo que por hora atravessa a portagem de Maputo segue uma distribuição de Poisson com média igual a 5. a) qual é a probabilidade de que numa hora, passem pela portagem 4 camiões?
- 175467 4! 5 2. 718282 ( 4 ) 4 5 P n (^) ou +Poisson(4;5;False)=0. b) Qual é a probabilidade de que, numa hora, pelo menos 1 camião cavalo atravessem a portagem? 1 0. 00674 0. 99326 0!
- 718282 ( 1 ) 1 ( 0 ) 1 0 5 Pn P n
Curva Normal O gráfico da densidade de distribuição normal chama-se curva normal (de Gaus) X
- x + x- 68.26% x+ x-2 98.84% x+2 x-3 99.74% x+3 Figura 8. Áreas abaixo da curva normal
1 / 2 [( )/\ ]
P a x b = fxdx e dx
x
b
a
Características da Distribuição Normal A função de densidade de probabilidade de uma v.a. com distribuição normal tem a forma de sino;
É simétrica em relação a média x
A função de densidade de distribuição é máxima no seu valor médio, mas achatada nos seus extremos. Isto é, a probabilidade de obter um valor de uma v.a. normalmente distribuída à média que nos afastamos da sua média, torna-se cada vez mais pequena. Aproximadamente 68% da área abaixo da curva de distribuição normal está entre
x
2 x
, aproximadamente 95% da área esta entre
x ^ ^
2
2 x
, e
aproximadamente 99.7% por centos da área esta entre x
2
3 x como indica
a Fig 8. f(x)
A distribuição normal é completamente descrita pelos seus parâmetros, x e
2 x. A combinação linear de dois ou mais variáveis aleatórias normalmente distribuídas, é em si também normalmente distribuída. Exemplo 3.4 : Sabe-se que X, a venda diária de pão numa padaria, segue a distribuição normal com média 70 pães e variância 9, isto é, X ~ N (70, 9). Qual é a probabilidade de que num dado dia, a venda de pão seja maior que 75 pães? Uma vez que X segue a distribuição normal com média 70 e variância 9, segue que
- 67 3 75 70 X Z Segue a distribuição normal padrão. Queremos saber P(Z>1.67) A função de distribuição cumulativa (FDC) da distribuição normal padrão pode-se encontrar na Tabela da área abaixo da curva de distribuição normal para valores de Z entre 0 e 3.99. Por exemplo, esta Tabela mostra que a probabilidade de que Z se encontre entre 0 e 1.3 é 0.4032 (ou 40.32%). A probabilidade de que Z se encontre no intervalo entre 0 e 2.5 é o.4938 (ou 49.38%). Uma vez que a distribuição normal é simétrica, a probabilidade de que Z se encontre -1. e 0 é também igual a 0.4032, ou a probabilidade de que se encontre entre -2.5 e 0 é igual a 0.4938. Por causa da simetria, a Tabela da distribuição normal padrão é dada para valores positivos de Z. As áreas à direita de Z = 0 e à esquerda de Z = 0 são ambas iguais a 0.5, e em conjunto são iguais à unidade. No nosso exemplo, queremos saber a probabilidade de que Z>1.67 o que é muito simples, porque sabemos a partir da Tabela de Distribuição normal Padrão de que: P ( 0 Z 1. 67 ) 0. 4525 P ( Z 1. 67 ) 0. 5000 0. 49525 0. 0475 Assim, a probabilidade de que a venda diária de pão exceda 75 pães é 0.0475 ou 4.75%. Exemplo 3.5 : Continue com o exemplo anterior. Mas suponha que queremos agora saber a probabilidade de venda diária de pão de 75 ou menos. Pode facilmente verificar que a probabilidade procurada é 0.5000 – 0.4525 = 0.
AULA PRÁTICA - FICHA 3
- O número de ovos postos por minuto em certo aviário tem a distribuição Poisson com média igual a um. a) Determine a probabilidade do número de ovos postos por minuto ser superior ao dobro da variância. b) Qual a probabilidade de em 5 minutos serem postos menos de 3 ovos?
- Depois de um período de 30 minutos uma dada máquina é inspeccionada, necessitando de ser afinada (em média) uma em cada 20 vezes. Calcule: a) A média do número de afinações, numa semana em que a máquina trabalha 20 horas; b) A probabilidade de, em 8 horas de trabalho, Se fazer pelo menos uma afinação
- O tempo do primeiro serviço de uma viatura num agente é uma variável normalmente distribuida com média de 70 minutos e variância de 81 minutos^2 a) Se um carro for levado ao seu primeiro serviço neste agente, qual é a probabilidade de que este estaria pronto dentro de uma hora. b) Qual é a percentagem do primeiro serviço que será concluído entre 50 e 60 minutos. c) O agente de serviços tem uma política de oferecer aos seus clientes desconto de 15% no custo do primneiro serviço se este não for concluido dentro de 80 minutos. De uma amostra de 80 clientes que trouxeram suas viaturas para o primeiro serviço, quantos são prováveis de receber o desconto de 15%.
- O número de carros vendidos semanalmente num stand tem a distribuição binomial de parâmetro n e p. Se a média do número de carros vendidos semanalmente é 1.25 e a variância é 0.9375, qual a percentagem de semanas em que as vendas são inferiores a 2 unidades?
- O número de nascimentos, por hora, numa certa maternidade é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não haver nascimentos durante uma hora é de 0.368, determine a probabilidade de ocorrerem pelo menos 3 nascimentos, numa hora qualquer.
- Um banco recebe em média 3 cheques sem cobertura por dia. Achar a probabilidade de receber:
a) Pelo menos 2 cheque sem cobertura num dia qualquer? b) Menos que 2 cheques sem cobertura num dia qualquer? c) Nenhum cheque sem cobertura num dia qualquer?
- Um técnico de Biologia Marítima está interessado em analisar o tempo de sobrevivência de peixes de águas tropicais, quando são transferidos para águas mais frias. Depois de uma longa série de experiencias, verificou que a vida média deste tipo de peixes em águas de temperaturas mais baixas é de 90 dias com variância de 100 dias^2 de acordo com uma distribuição normal. Qual é a probabilidade de que possa sobreviver: a. Menos de 120 dias b. Mais de 100 dias
- Um processo produz fios para uma companhia de telefone local. Quando o processo opera corretamente, o diâmetro do fio segue a distribuição normal com média 27. polegadas e variância 9 polegadas^2. Qual é a probabilidade de que uma peça escolhida ao acaso, apresente um diâmetro superior a 26.8 polegadas?
- A probabilidade de que um bilhete de lotaria ganhe sendo igual a P=0.075, determinar o número de bilhetes que se deve adquirir para que com uma probabilidade P não inferior a 0.95 esperar que pelo menos um ganhe. Admite que o número de bilhetes segue a distribuição de Poisson.
- Suponha que X tem uma distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabendo que E(X) = 5 e Var(X) = 4, determine n e p.
- Um departamento de polícia recebe em média 5 participações por dia. Qual a probabilidade de receber: a. Pelo menos 1 participação num dia qualquer? b. Três participações num dia, sabendo que no dia anterior recebeu 2? c. Não mais que 4 participações num dia qualquer?
- Uma empresa produz lâmpadas cuja vida segue uma distribuição normal com média 1200 horas e desvio padrão 250 horas. Se uma lâmpada é escolhida aleatoriamente da produção da empresa, qual é a probabilidade de que a sua vida útil esteja entre 900 horas e 1300 horas?
- O tempo (em segundos) que um concorrente a emprego seleccionado leva para realizar certa tarefa é uma variável normalmente distribuída com média 120 e desvio padrão igual a 16. Determine a probabilidade de um candidato seleccionado aleatoriamente: a. Completará a tarefa entre 100 e 150 segundos;
vezes num determinado ano, calcule a probabilidade de: a) obter lucro exactamente 25 vezes; b) obter lucro pelo menos 24 vezes; c) obter lucros não mais que 2 vezes.
- A taxa de desemprego numa certa cidade é de 10%. É obtida uma amostra aleatória de 100 pessoas. Qual a probabilidade de a amostra ter, pelo menos, 3 pessoas desempregadas.
- Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora seleccionada aleatoriamente?
- A experiência passada indica que uma média de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora? b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora? c) Qual é o valor esperado e o desvio padrão para esta distribuição?
- Sabendo que o tempo gasto pelos indivíduos para resolver um teste é normalmente distribuído com média de 20 minutos e desvio-padrão de 4 minutos, determine a probabilidade de que uma pessoa gaste para resolver um teste: (a) entre 16 e 22 minutos; (b) entre 22 e 25 minutos; (c) mais do que 23 minutos; (d) menos que 16 minutos.
- Numa pesquisa salarial, verificou-se que o salário de determinada categoria segue uma distribuição normal com média de 15.000 u.m. e desvio-padrão de 2.000 u.m. Determine: (a) a probabilidade de que um empregado tenha salário entre 17.000 u.m. e 18.000 u.m.; (b) quantos empregados entre 1.000, tem salário superior a 18. u.m.?
- Os prazos da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio padrão de 15 dias. Com base nessa informação, determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais.
- Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal com média igual a 48.000 Km e desvio padrão de 2.000 Km. Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) durar mais que 46.000 Km; b) durar entre 45.000 e 50.000 Km.
