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Tipologia: Notas de aula
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADA
Prof. WELLIANDRE
Suponha que temos uma população formada pelos seguintes elementos:
Representação Gráfica
A transformação utilizada é
n
σ
X μ σ
X μ Z X
X X
= − X^ = −
que fornece o número de desvios-padrão que X está distante de μ (^) X.
Notação: Z ~ N ( 0, 1 ) (Lê-se: a variável Z segue distribuição normal com média 0 e variância 1 – chamada de normal padrão)
Questão: Qual a relação entre μ (^) X e μ (^) X? E entre σ (^2) X e σ^2 X
x P(^ X=^ x) x^ .P(^ X=x) x 2 .P(X=x)
μμ^ μμ^ - 3σσσσ^ μμμμ^ - 2σσσσ^ μμμμ^ - 1σσσσ^ μμμμ^ μμμμ^ + 1σσσσ^ μμμμ^ + 2σσσσ^ μμμμ^ + 3σσσσ
2 (^2) X X
2 2
Logo, o desvio-padrão é:
Exemplos de Estimativas pontuais e intervalares:
Parâmetro Populacional Estimativa Pontual^ Estimativa Intervalar
MÉDIA
A expectativa média de vida dos moradores de certa região é de 70 anos.
A expectativa média de vida desses moradores está entre 68,2 e 71,8 anos.
A proporção de peças defeituosas em um lote é de 5%.
A proporção de peças defeituosas em um lote está entre 4% e 6%.
O desvio padrão da duração de vida de uma lâmpada é de 200 horas.
O desvio padrão da duração de vida dessa lâmpada está entre 190 e 210 horas.
; ~ N(0,1) n
σ Z X μ X
(^) X^2 X (^) n X~ N μ , σ
P ( −1,96≤Z≤+ 1 , 96 ) =0,
X
Esse é um intervalo com 95% de confiança (IC) para a média populacional μ
Outra forma de representar:
( ) (^)
= ^ − + n
; X 1,96σ n
IC μ;σ ;0,9500 X 1,96σX X X
Uma expressão mais simples para se definir um intervalo de confiança (IC) para μ é
( ) (^)
n ;X z σ n IC μ;σ; 1 - α X z σ X 2 α
X 2 α
Exercício 1: Para estimar o tempo médio de atendimento aos clientes em uma agência bancária, onde estudos anteriores revelam uma variância de 36 (minutos)^2 , um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 20 minutos. Suponha que o tempo de atendimento se distribua normalmente. a) Qual a estimativa pontual do tempo médio para o atendimento na agência; b) Determine um intervalo com 95% de confiança para tempo médio de atendimento; c) Caso o pesquisador desejasse a estimativa com um erro de 5 minutos, com 95% de confiança, qual deveria ser o tamanho da amostra a ser selecionada na agência.
Logo, o desvio-padrão é:
Questão: Constuir um intervalo de confiança para P, sabendo que a distribuição da proporção amostral segue uma distribuição normal? Assim,
n ; pˆ ~N p, pq n pˆ ~N p, pq^2
(^) e Z p^ p pq n
Seja o caso particular: Basta, então, substituir Z na expressão abaixo e desenvolver as operações, isolando P no centro das desigualdades, que se chegará à expressão final (mesmo procedimento das médias amostrais)
Vamos definir
P = Proporção de uma característica populacional desconhecida (q = 1 - p)
pˆ = fr =Proporção da característica populacional na amostra (q ˆ = 1 - pˆ)
Pelo Teorema Central do Limite
n ;pˆ ~Np, pq n pˆ ~N p, pq^2
^ quando n for suficientemente grande
Regra prática: np ≥ 5 e n(1-p) ≥ 5
e assim, Z p^ pqp n
= $^ − tem distribuição N(0, 1)
Então a expressão que representa um intervalo com (1-α)% de confiança para a proporção populacional P é
1 α n
P pˆ z pˆqˆ n
P pˆ z pˆqˆ α 2 α 2 = −
− ≤ ≤ +
onde:
z n
2 α (^2) ˆ (^) − ˆ
Uma expressão mais simples para se definir um intervalo de confiança (IC) para P é
( ) (^)
α 2 α 2
(N 1)e z pq
z pqN n (^22)
2
− +
=
Em que: n = tamanho amostral; N = tamanho da população z = nível de confiança escolhido, expresso em número de desvios-padrão. Usa- se um valor determinado pela forma da distribuição de Gauss (Distribuição Normal). Os valores mais frequentes são: Nível de confiança 90%, implica em z=1, Nível de confiança 95%, implica em z=1,96 (na prática o mais utilizado em pesquisas de opinião púlbica e organizacionais) Nível de confiança 99%, implica em z=2, p = proporção populacional de um fenômeno a ser pesquisado (proporção conhecida previamente, em que 0 ‹ p ‹ 1). Como p é desconhecido na prática, neste caso, será estimada pela proporção amostral, Pˆ^. Uma sugestão é usar p = 0,5, que fornece o maior tamanho da amostra para a confiança e erro de estimativa definidos (1-p) = q = complemento de p: p + (1 – p) = 1 e = erro amostral (estimativa)
Os testes de hipóteses são técnicas estatísticas que apresentam, com base em informações amostrais, uma regra de decisão que permite “aceitar” ou rejeitar uma hipótese (afirmação) alegada sobre um parâmetro (característica populacional).
Alguns exemplos de afirmações que podem ser testadas: a) O tempo de médio de atendimento em uma agência bancária é μ = 30 minutos; b) O percentual de clientes satisfeitos com o atendimento bancário é P=70%; c) O percentual de agricultores inadimplentes por causa da seca é de 30%; d) Uma marca de gasolina A apresenta mais rendimento (Km/l) do que uma marca de gasolina B; e) Um medicamento A é melhor que um medicamento B, na cura de uma doença; f) O tempo médio para a aprovação de projetos ligados a incentivos agrícolas é de 20 dias.
O ponto central no teste de hipótese é se a diferença entre o valor alegado de um parâmetro populacional e o valor de uma estatística amostral pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade amostral, ou se a discrepância é demasiado grande para ser encarada dessa forma, isto é, se a diferença é significativamente grande.
5.1 Alguns Conceitos Importantes
