Lista - Transformada Z
1. Mostre que
Z{kx(k)}=−zdX(z)
dz ,
em que X(z) = Z{x(k)}.
2. Encontre a transformada Zdas seguintes sequências:
(a) x(k) = kak−1, k ≥0
(b) x(k) = k2, k ≥0
(c) x(k) = 9k2k−1−2k+ 3, k ≥0
3. (a) Calcule X(z) = Z{x(k)}, em que x(k)é descrita por:
x(k) = ½k+ 1, k = 0,1,2,3
0, k ≥4.
(b) Seja, agora, y(k) = x(k),0≤k≤3ey(k) = y(k−4),k≥4ey(k) = 0,k < 0,
em que x(k)foi definida no item (a). Calcule Y(z) = Z{y(k)}.
(c) Seja x(k)uma sequência limitada de comprimento n, isto é, x(k) = 0 para k≥n
e defina y(k) = x(k),0≤k≤n−1ey(k) = y(k−n),k≥n. Note que y(k)é
uma sequência periódica com período igual a n. Mostre que se X(z) = Z {x(k)},
então
Y(z) = Z{y(k)}=X(z)
1−z−n.
4. Define-se a convolução discreta entre duas sequências f(k)eg(k)como
h(k) = f(k)? g(k) =
∞
X
n=0
f(n)g(k−n),
que pode também ser expressa como:
h(k) = f(k)? g(k) =
k
X
n=0
f(n)g(k−n),
quando f(k) = g(k) = 0, k < 0.
(a) Suponha que
f(k) = ½k, k = 0,1,2,3, . . .
0, k < 0,
g(k) = ½2k, k = 0,1,2,3, . . .
0, k < 0.
Calcule h(k) = f(k)? g(k),k= 0,1,2,3.
(b) Demonstre que se f(k)↔F(z)eg(k)↔G(z), então h(k) = f(k)? g(k)↔
H(z) = F(z)G(z).
(c) Utilizando o resultado do item (b), encontre h(k)para as sequências f(k)eg(k)
definidas em (a)e compare com os resultados obtidos em (a).
5. Obtenha a transformada Zinversa das seguintes funções:
