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Solu¸c˜oes (se¸c˜ao 5.6 - Anton e Rorres)
4. Em cada parte use a informac¸˜ao da tabela para encontrar as dimens˜oes do espac¸o linha de A , do espac¸o coluna de A , do espac¸o nulo de A , e do espac¸o nulo de AT (a) Tamanho de A = 3 × 3 ; Posto de A = 3. Soluc¸˜ao: Vamos denominar posto de A por r , a nulidade de A por nul ( A ), o n´umero de linhas e colunas de A por m e n , respectivamente. Logo r = 3; m = 3; n = 3_._ Sabemos que a dimens˜ao dos espa¸cos linha e coluna de A ´e igual ao seu posto. Ent˜ao
dim (espa¸co linha de A) = 3; dim (espa¸co coluna de A) = 3_._
Al´em disso, demotamos por Ker ( A ), o espa¸co nulo de A. Ent˜ao
dim ( Ker ( A )) = n − r = 3 − 3 = 0; dim ( Ker ( AT^ )) = m − r = 3 − 3 = 0_._
(d) Tamanho de A = 5 × 9 ; Posto de A = 2. Soluc¸˜ao: Temos r = 2; m = 5; n = 9_._
Ent˜ao
dim (espa¸co linha de A) = 2; dim (espa¸co coluna de A) = 2_._
Al´em disso,
dim ( Ker ( A )) = n − r = 9 − 2 = 7; dim ( Ker ( A )) = m − r = 5 − 2 = 3_._
5. Em cada parte, encontre o maior valor poss´ıvel para o posto de A e o menor valor poss´ıvel para a nulidade de A. (b) A (^) ´e 3 × 5. Soluc¸˜ao: Sabemos que o posto de uma matriz ´e o n´umero de linhas n˜ao nulas da matriz escalonada correspondente. Como A possui 3 linhas (e 5 colunas; 5 > 3), ent˜ao o n´umero m´axima de linhas n˜ao nulas que a matriz escalonada pode ter ´e 3. Logo, posto ( A ) ≤ 3. Agora, a nulidade corresponde ao n´umero de colunas de A menos o posto. Logo,
nul ( A ) = n − posto ( A ) ≤ 5 − 3 = 2_._
6. Se A ´e uma matrix m × n , qual ´e o maior valor poss´ıvel para posto de A e o menor valor poss´ıvel para a nulidade de A.
Soluc¸˜ao: Novamente, o posto de A ´e n´umero de linhas n˜ao nulas da matriz escalonada correspondente. Primeiro, suponha que m ≥ n. Neste caso, o posto de A ser´a no m´aximo m , que ´e o n´umero de linhas de A e portanto o n´umero m´aximo de linhas n˜ao nulas da matriz escalonada. Agora, suponha que m < n. Nesse caso, devemos nos lembrar que a dimens˜ao do espa¸co das linhas ´e igual a dimens˜ao do espa¸co das colunas de A. Como o posto corresponde a dimens˜ao destes espa¸cos, e o n´umero de colunas ´e maior que o n´umero de linhas, ent˜ao o posto deve ser no m´aximo n. Considerando as duas possibilidades mostradas acima, temos que:
posto ( A ) = max( m, n ).
A nulidade ´e obtida por conseguinte:
nul ( A ) = n − max( m, n ).
10. Seja. ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23
Mostre que A tem posto 2, se e somente se, um ou mais dos determinantes das matrizes abaixo ´e n˜ao nulo: ( a 11 a 12 a 21 a 22
a 11 a 13 a 21 a 23
a 12 a 13 a 22 a 23
Soluc¸˜ao: Primeiramente consideramos que a 11 ´e n˜ao nulo, logo podemos realizar a alimina¸c˜ao Gaussiana: [ a 11 a 12 a 13 0 a^22 a^11 a^ − 11 a^21 a^12^ a^23 a^11 a − 11 a^21 a^13
]
Aqui vemos que para o posto de A ser 2, a ´ultima linha da matriz acima deve ser n˜ao nula. Logo,
a 22 a 11 − a 21 a 12 a 11
= 0 ⇔ a 22 a 11 − a 21 a 12 6 = 0 , a 23 a 11 − a 21 a 13 a 11
= 0 ⇔ a 23 a 11 − a 21 a 13 6 = 0_._
Agora, se a 11 = 0 (ou a 21 = 0) n˜ao podemos realizar a elimina¸c˜ao gaussiana usual. Neste caso basta verificar se o determinante da submatriz ( a 12 a 13 a 22 a 23
´e n˜ao nulo para garantir que as linhas s˜ao LI.
