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Solu¸c˜oes (se¸c˜ao 8.4 - Anton e Rorres)
Thais Clara da Costa Haveroth
1. Seja T : P 2 −→ P 3 a transformac¸˜ao linear definida por T ( p ( x ) = xp ( x ). _(a) Encontre a matriz de T em rela¸c˜ao as bases canˆonicas B_ { _u_ 1 _, u_ 2 _, u_ 3 } _e B_ ′^ = { _v_ 1 _, v_ 2 _, v_ 3 _, v_ 4 } _onde u_ 1 = _v_ 1 = 1 _, u_ 2 = _v_ 2 = _x, u_ 3 = _v_ 3 = _x_^2 _, v_ 4 = _x_^3_._ **Soluc¸˜ao:** Basta escrever a transforma¸c˜ao para os vetores da base _B_ em rela¸c˜aoa B ′:
T ( u 1 ) = T (1) = x · 1 = x = 0 + 1 · x + 0 · x^2 + 0 · x^3 = 0 · v 1 + 1 · v 2 + 0 · v 3 + 0 · v 4 ; T ( u 2 ) = T ( x ) = x · x = x^2 = 0 · 1 + 0 · x + 1 · x^2 + 0 · x^3 = 0 · v 1 + 0 · v 2 + 1 · v 3 + 0 · v 4 ; T ( u 3 ) = T ( x ) = x^2 · x = x^3 = 0 · 1 + 0 · x + x · x^2 + 0 · x^3 = 0 · v 1 + 0 · v 2 + 0 · v 3 + 1 · v 4 ;
Logo, temos
[ T ] B ′ ,B =
(b)Mostre que a matriz [ T ] B ′ ,B obtida na parte (a) satisfaz a F´ormula (4a) para qualquer vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x^2 em P 2_._ Soluc¸˜ao: Tomamos p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 em P 2 que pode ser reescrito como p ( x ) = a 0 · 1 + a 1 · x + a 2 · x^2 (um vetor qualquer com cordenadas em B ). Logo, em forma matricial
[ T ] B ′ ,B [ x ] B =
a 0 a 1 a 2
a 0 a 1 a 2
Reescrevendo o resultado acima, temos:
T ( p ( x )) = 0 · 1 + a 0 · x + a 1 · x^2 + a 2 · x^3 = a 0 · x + a 1 · x^2 + a 2 · x^3 = x ( a 0 + a 1 x + a 2 x^2 ) = xp ( x )
2. Seja T : P 2 −→ P 1 a transformac¸˜ao linear definida por T ( a 0 + a 1 x + a 2 x^2 ) = ( a 0 + a 1 )−(2 a 1 +3 a 2 ) x. (a) Encontre a matriz de T em relac¸˜ao `as bases canˆonicas B = { 1 , x, x^2 } e B ′^ = { 1 , x } de P 2 e P 1. Soluc¸˜ao: Tomamos a transforma¸c˜ao dos vetores na base B em rela¸c˜ao aos vetores em B ′:
T (1) = 1 · 1 + 0 · x T ( x ) = 1 · 1 − 2 · x T ( x^2 ) = 0 · 1 − 3 · x.
Escrevendo em forma matricial, temos
( 1 1 0 0 − 2 − 3
(b) Idem 1(a) Soluc¸˜ao:
[ T ] B ′ ,B [ x ] B =
a 0 a 1 a 2
a 0 + a 1 − 2 a 1 − 3 a 2
14. Mostre que se T : V −→ W ´e a transformac¸˜ao nula, ent˜ao a matriz de T em relac¸˜ao a quaisquer bases de V e W ´e a matriz zero. Soluc¸˜ao: Suponha que B = { x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn } seja base de V e que B ′^ = { y 1 , y 2 , y 3 , ..., ym } seja base para W. Escrevendo a transforma¸c˜ao dos vetores de B em rela¸c˜ao aos de B ′, temos
T ( x 1 ) = a 11 y 1 + a 21 y 2 + a 31 y 3 + ... + am 1 ym ; T ( x 2 ) = a 12 y 1 + a 22 y 2 + a 32 y 3 + ... + am 2 ym ; .. . T ( xn ) = a 1 ny 1 + a 2 ny 2 + a 3 ny 3 + ... + amnym.
Como sabemos que a transforma¸c˜ao ´e nula, ent˜ao
T ( x 1 ) = a 11 y 1 + a 21 y 2 + a 31 y 3 + ... + am 1 ym = 0; T ( x 2 ) = a 12 y 1 + a 22 y 2 + a 32 y 3 + ... + am 2 ym = 0; .. . T ( xn ) = a 1 ny 1 + a 2 ny 2 + a 3 ny 3 + ... + amnym = 0_._
Os vetores de B ′^ formam uma base, ent˜ao eles s˜ao LI. Isso implica que uma combina¸c˜ao linear destes vetores resulta em zero somente se todos os coeficientes forem nulos. Dessa forma:
a 11 y 1 + a 21 y 2 + a 31 y 3 + ... + am 1 ym = 0 ⇔ a 11 = a 21 = ... = am 1 = 0; .. . a 1 ny 1 + a 2 ny 2 + a 3 ny 3 + ... + amnym = 0 ⇔ a 1 n = a 2 n = ... = amn = 0_._
Isso implica que a matriz da transforma¸c˜ao em rela¸c˜ao as bases B e B ′^ ser´a nula, pois todos os termos ser˜ao nulos.
