Singularidades de funções complexas e transformações conformes, Notas de aula de Física

Baixe Singularidades de funções complexas e transformações conformes e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity!

Aula 4

Singularidades e zeros de fun¸c˜oes complexas;

transforma¸c˜oes conformes.

Rafael Rabelo

Departamento de F´ısica da Mat´eria Condensada Instituto de F´ısica “Gleb Wataghin”

Singularidades e zeros de fun¸c˜oes

complexas

Singularidades isoladas

Se f (z) tem um ponto singular em z = z 0 , mas ´e anal´ıtica em todos os pontos na vizinhan¸ca de z 0 , este ponto ´e chamado de singularidade isolada.

P´olos

Se f (z) ´e da forma

f (z) = g (z) (z − z 0 )n^

onde n ´e natural, g (z) ´e anal´ıtica em todos os pontos na vizinhan¸ca de z 0 e g (z 0 ) 6 = 0, ent˜ao f (z) possui um p´olo de ordem n em z = z 0.

Singularidade essencial

Se nenhum valor de n pode ser encontrado tal que

zlim→z 0 [(z − z 0 )nf (z)] = a

seja satisfeita, ent˜ao z = z 0 ´e chamado singularidade essencial.

Exemplo

Encontre as singularidades da fun¸c˜ao

f (z) =

1 − z

1 + z

f (z) =

1 − z −^

1 + z =^

2 z (1 − z)(1 + z). A fun¸c˜ao f (z) tem p´olos de ordem 1 em z = ±1.

Exemplo

Mostre que a fun¸c˜ao f (z) = sin(z)/z tem uma singularidade remov´ıvel em z = 0.

f (z) = sin(z) z =

z

z − z^3 3!

z^5 5!

z^2 3! +^

z^4 5! −^... Assim, limz→ 0 f (z) = 1, independente da dire¸c˜ao em que z → 0.

Comportamento no infinito

O comportamento de f (z) quando z tende ao infinito ´e dado pelo comportamento de f (1/ξ) em ξ = 0, onde ξ = 1/z.

Exemplo

Determine o comportamento no infinito de f (z) = exp(z).

f

ξ

= exp

ξ

∑^ ∞

0

n!ξn^

Portanto, f (z) tem uma singularidade essencial em z = ∞.

Zeros de fun¸c˜oes complexas

Se f (z) ´e da forma

f (z) = g (z)(z − z 0 )n,

onde n ´e natural e g (z 0 ) 6 = 0, ent˜ao f (z) possui um zero de ordem n em z = z 0. Se n = 1, z = z 0 ´e um zero simples de f (z). Corol´ario: se z = z 0 ´e um zero de ordem n de f(z), ent˜ao z = z 0 ´e um p´olo de ordem n de 1/f (z).

Transforma¸c˜oes

Uma transforma¸c˜ao, ou mapa, ´e uma mudan¸ca de coordenadas de uma vari´avel z = x + iy para outra, w = r + is, atrav´es de uma f´ormula

w = g (z) = r (x, y ) + is(x, y ).

O diagrama de Argand da vari´avel z ´e levado a uma regi˜ao do diagrama de Argand da vari´avel w , que pode corresponder a todo plano C ou apenas uma parte, cobertos uma ou mais vezes.

Transforma¸c˜oes conformes

Uma transforma¸c˜ao conforme ´e aquela na qual as vari´aveis z e w s˜ao relacionadas por fun¸c˜oes w = g (z) e z = h(w ), sua inversa, e ambas s˜ao anal´ıticas, exceto, possivelmente, em alguns pontos isolados.

Diagramas

Propriedades 2. e 3.

Os elementos de linha tangentes a z 0 no plano z s˜ao:

z 1 − z 0 = ρeiθ^1 e z 2 − z 0 = ρeiθ^2 ;

e, transformados, no plano w , s˜ao

w 1 − w 0 = ρ 1 ei(φ^1 +δφ^1 )^ e w 2 − w 0 = ρ 2 ei(φ^2 +δφ^2 );

onde δφi → 0 quando ρi → 0.