MAT0313 Álgebra III
Lista 3
2008
1. Determine condições em aebpara que um corpo de raízes Lde f=x3+ax +b∈Q[x]
tenha grau 3 sobre Q. Sob que condições em aebtem-se [L:Q] = 6?
(Sugestão: Escreva f= (x−r1)(x−r2)(x−r3)∈L[x]. Calcule o discriminante Dde f,
D= [(r1−r2)(r2−r3)(r3−r1)]2=−4a3−27b2. Verifique que [L:Q] = 3 se, e somente
se, fé irredutível sobre Qe√D∈Q.)
2. Seja Luma extensão qualquer de Q. Mostre que o polinômio f=x3−3x+1 ou é irredutí-
vel em L[x]ou Lcontém um corpo de raízes de fsobre Q.
3. Mostre que os corpos Q(√2)eQ(√3)não são isomorfos. Mostre que se αeβsão raízes
do mesmo polinômio irredutível f ∈K[x], então K(α)∼
=K(β).
4. Mostre que se [L:K] = 2 então L/Ké normal.
5. Seja f∈Q[x]um polinômio irredutível de grau ímpar maior que 1 e que possua apenas
uma raiz real α. Mostre que Q(α)/Qnão é uma extensão normal.
6. Seja L=Q(r)com r3+r2−2r−1=0. Verifique que s=r2−2 também é uma raiz de
x3+x2−2x−1=0. Conclua que L/Qé uma extensão normal.
7. Seja F=Q(√2)eL=Q(4
√2). Mostre que L/Fé normal e F/Qé nomal, mas L/Qnão é
normal.
8. Seja L/Kuma extensão finita. Mostre que L/Ké normal se, e somente se Lé corpo de
raízes de um polinômio f∈K[x].
9. Seja L/Kuma extensão finita e seja Fum corpo intermediário, isto é, K⊂F⊂L. Mostre
que se L/Ké normal então L/Ftambém é normal.
10. Seja L/Kuma extensão algébrica e seja Fum corpo intermediário. Mostre que se L/Ké
separável então L/FeF/Ksão separáveis.
11. Seja Kum corpo de característica p>0 e seja a∈K. Mostre que xp−x−anão tem raízes
múltiplas e é irredutível em K[x]se, e somente se, a6=cp−cpara todo c∈K.