Universidade Federal de Uberlˆandia (UFU)
Faculdade de Ciˆencias Integradas do Pontal (FACIP)
Trabalho de Equa¸c˜aoe Diferenciais Ordin´arias
A Transformada de Laplace
Alunos: Andr´e Ferreira e Pereira
Professora: Evaneide Alves Carneiro
27/05/2009
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Transformada de Laplace: Definição e Propriedades, Notas de estudo de Cultura
A transformada de laplace, uma transformada integral utilizada para resolver problemas de equações diferenciais. A transformada é definida por meio de uma integral imprópria e se aplica a uma função específica. O texto também discute as propriedades da transformada, incluindo sua linearidade. O documento inclui um exemplo de aplicação da transformada em um problema de equação diferencial.
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 5
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Transformada de Laplace: Definição e Propriedades e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity!
Universidade Federal de Uberlˆandia (UFU)
Faculdade de Ciˆencias Integradas do Pontal (FACIP)
Trabalho de Equa¸c˜aoe Diferenciais Ordin´arias
A Transformada de Laplace
Alunos: Andr´e Ferreira e Pereira
Professora: Evaneide Alves Carneiro
1 Introdu¸c˜ao
Um recursso bastante utilizado para resolver problemas de equa¸c˜oes diferˆenciais s˜ao as transfor-
madas integrais, que ´e dada da seguinte forma
F (s) =
∫ (^) β
α
k(s, t)f (t)dt, (1)
onde K(s, t), α e β s˜ao dados. A fun¸c˜ao k(s, t) ´e dita n´ucleo da transformada, F (s) ´e dita
transformada de f.
Vamos ver aqui um caso particular de transformadas integrais que ´e a transformada
de Laplace.
2 A Transformada de Laplace
Defini¸c˜ao 2.1. Seja f (t) definida no intervalo [0, ∞) uma fun¸c˜ao onde t ≥ 0 , a transformada de
Laplace de f ´e dada por (1) onde k(s, t) = e
−st , β = ∞ e α = 0, i.e.
L[f (t)] = F (s) =
0
e
−st f (t)dt (2)
se a integral impr´opria convergir.
E necess´ario que (2) convirja para que a fun¸c˜oes f (t) possua transformada de laplace,
no entanto sabemos que para algumas fun¸c˜oes isso n˜ao acontece. Por isso vamos nos limitar as
fun¸c˜oes admiss´ıveis, uma fun¸c˜ao ´e dita admiss´ıvel se ela ´e continua por partes no intervalo [0, ∞),
e se existem constantes M e k tais que
|f (t)| ≤ M e
kt para 0 ≤ t < ∞.
Afirmar que uma fun¸c˜ao ´e continua por partes no intervalo [0, ∞), ´e o mesmo que dizer
que podemos subdividir este intervalo em um n´umero finito de subintervalos, onde f ´e continua
no interior destes subintervalos.
Teorema 2.1. Se f (t) ´e deriv´avel em (0, ∞), com f ′ (x) admiss´ıvel, ent˜ao
L[f
′ (t)] = sL[f (t)] − f (0), s > k. (3)
Demonstra¸c˜ao. Considere a integral ∫ A
0
e
−st f
′ (t)dt.
Sejam t 1 , t 2 ,... tn, os pontos de descontinuidade da f
′ no intervalo (0, ∞). A integral pode ser
escrita da seguinte forma
∫ A
0
e
−st f
′ (t)dt =
t 1
0
e
−st f
′ (t)dt +
t 2
t 1
e
−st f
′ (t)dt + · · · +
A
tn
e
−st f
′ (t)dt
onde a segunda igualdade foi obtida usando a Propriedade 2.1, e uma tabela com transformadas
de algumas fun¸c˜oes mais comuns, essa tabela pode ser encontrada em [2].
Usando agora (4), obtemos
s
2 L[y] − sy(0) − y
′ (0) + 4[sL[y] − y(0)] + 5L[y] =
s + 3
(s + 3) 2
- 1
substituindo y(0) = 2 e y
′ (0) = 1,
s
2 Y (s) − 2 s − 1 + 4sY (s) − 8 + 5Y (s) =
s + 3
(s + 3) 2
- 1
isolando Y (s),
Y (s) =
s 2
- 4s + 5
[
2 s + 9 +
s + 3
(s + 3) 2
- 1
]
usando decomposi¸c˜ao em fra¸c˜oes parciais, chegamos em
Y (s) =
9 s + 46
(s + 2) 2
- 1
s + 1
(s + 3) 2
- 1
utilizando novamente a tabela mencionada, obtemos
y(x) =
e
− 2 x (9 cos (x) + 28 sen(x)) +
e
− 3 x ( cos (x) − 2 sen (x)).
Referˆencias
[1] BOYCE, E.B.; DIPRIMA, R.C., Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno, Oitava Edi¸c˜ao, LTC, Rio de Janeiro, 2006.
[2] FIGUEIREDO, D.G.; NEVES, A.F., Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas, Terceira Edi¸c˜ao, impa,
Rio de Janeiro, 2007.