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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica
C´alculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 3
- Com rela¸c˜ao `as propriedades do limite de seq¨uˆencias, responda os seguintes ´ıtens:
a) Suponha que an → a e que bn → b. Se an < bn, para todo n ∈ N, pode acontecer que
a = b? Justifique sua resposta.
b) Suponha que an → a, onde a > 0 e que
an = 2 +
an− 1
Calcule o limite a e justifique sua resposta.
c) Determine o limite da seq¨uˆencia (an), onde
an =
n + 2
2 n
- Vamos calcular a soma dos termos da progress˜ao geom´etrica infinita com raz˜ao r = 1/2.
A soma dos n primieros termos ´e dada por
sn = 1 + r + r
2
n− 1 .
a) Verifique que
sn+1 = sn + r
n e rsn = sn+1 − 1.
Utilizando essas duas equa¸c˜oes, conclua que
rsn = sn + r
n − 1
e ent˜ao mostre que
sn =
r
n − 1
r − 1
b) Mostre por indu¸c˜ao que n < 2 n e conclua que
2 n^
n
, para todo n ∈ N.
Utilizando o Teorema do Sandu´ıche, verifique que
r
n
n
c) Utilizando os ´ıtens anteriores e as propriedade do limite de seq¨uˆencias, calcule o lim-
ite da seq¨uˆencia (sn). Por defini¸c˜ao, este limite ´e a soma dos termos da progress˜ao
geom´etrica infinita com raz˜ao r = 1/2.
p´agina 1 de 2
3) [1.
o /2007] Em rela¸c˜ao aos conceitos de limite de seq¨uˆencias e de fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao,
considere a fun¸c˜ao
n(ε) = 1 o natural >
ε
e responda os ´ıtens abaixo.
a) Preencha a tabela abaixo, calculando o valor de n(ε) para trˆes valores de margens de
erro ε > 0.
ε n(ε)
0,
1/
b) Pela defini¸c˜ao de n(ε), caso n > n(ε), temos que
n
< ε? Justifique sua resposta. Neste
caso, ´e verdade que
0 − ε <
n
< 0 + ε?
Isso mostra que n(ε) ´e tamb´em uma fun¸c˜ao tempo de espera para
n
c) Utilizando o item anterior, caso n > n(ε), ´e verdade que
2 − ε < 2 +
n
< 2 + ε?
Isso mostra que n(ε) ´e tamb´em uma fun¸c˜ao tempo de espera para 2 +
n
- Julgue os ´ıtens abaixo e justifique suas respostas.
a) A seguinte fun¸c˜ao
n(ε) = 1 o natural >
ε
pode ser utilizada como tempo de espera de qual das seguintes seq¨uˆencias
(a)
n
(b)
n^2
(c)
n
Sugest˜ao: verifique o que acontece quando ε = 1/100.
b) A seguinte fun¸c˜ao
n(ε) = 1 o natural >
ε^2
n˜ao pode ser utilizada como tempo de espera de qual das seguintes seq¨uˆencias
(a)
n
(b)
n^3
(c)
3
n
Sugest˜ao: verifique o que acontece quando ε = 1/10.
c) Qual das seguintes fun¸c˜oes pode ser utilizada como tempo de espera de 1/
n → 0
(a) 1 o natural >
ε
(b) 1 o natural >
ε 2
(c) 1 o natural >
ε
Sugest˜ao: verifique o que acontece quando ε = 1/100.
p´agina 2 de 2
