Baixe Lista Resolvida Discreta 1 e outras Exercícios em PDF para Matemática Discreta, somente na Docsity!
Matemá�ca Discreta
Lista de exercícios resolvidos
Parte I: Técnicas de prova e definições indutivas
- Vamos provar a conjectura “ Para um número ser primo não é suficiente que seja ímpar ”. Siga os seguintes passos para prová-la: (a) Desconsidere o não do enunciado e coloque o restante na forma “ se P então Q” (b) Para provar a frase original “ não ( se P então Q)” basta refutar “ se P então Q” (a) Como o enunciado fala em suficiência o P será a segunda parte “o número é impar”. Logo, o enunciado sem a negação será “ se um número é ímpar então ele é primo” (b) para refutar (a) basta encontrar um contra-exemplo. Ora, 9 é ímpar mas não é primo. Logo a conjectura original está provada.
Prove que para um inteiro n, n 3 +5 é ímpar se somente se n é par: a) por contraposição (a parte ‘se’) Temos que provar que Se n é par então n 3 +5 é ímpar por contraposição, ou seja:
. Temos que provar que Se n 3 +5 é par então n é ímpar Se n 3 +5 é par então n^3 +5 = 2k logo n^3 +2.2 + 1 = 2k, logo n^3 tem que ser ímpar pois se fosse par daria 2m+2.2 + 1= 2(m+2) + 1 o que é ímpar. Mas, se n 3 é ímpar, n não pode ser par pois nesse caso n^3 =2r.2r.2r = 2(4r^2 ) que é par.
Logo n tem que ser ímpar. c.q.d.
Temos que provar que Se n não é par então^ n^3 +5 não é ímpar. Como, por hipótese n é ímpar, será da forma n= 2k+1 para algum k. Então n^3 +5= (2k+1) 3 +5= (4k^2 + 4k+1)(2k+1)+5 = 8k 3 +8k+2k+4k^2 +4k+1+5 = 8k^3 +4k 2 +14k+6= 2 (4k^3 +2k 7 14k+3), logo r= 4k 3 +2k 7 14k+3 é um inteiro e temos que n3^ +5= 2r, portanto é par. C.Q.D. b) por absurdo ( a parte ‘somente se’) Temos que provar que Se n 3 +5 é ímpar então n é par por absurdo. Suponhamos que n 3 +5 é ímpar mas^ n^ também é ímpar. Mas, se n é ímpar, é da forma 2k+1, nesse caso teríamos n3^ +5 = (2k+1) 3 = (2k+1) (2k+1) (2k+1) + 5 = (4k^2 + 4k+3)(2k+1) + 5 = 8k^3 + 4k 2 + 8k^2 + 4k + 6k + 3 + 5 = 8k 3 + 12k 2 + 8k + 8 = 2(4k 3 + 6k^2 + 4k + 4) Que é para, em contradição de que n 3 +5 é ímpar. c.q.d.
Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo” a) (^) por contraposição b) por contradição (a) provar que “se x+1 não é positivo então x não é positivo”. Ora, se x+1 ≤ 0, como x<x+1, teremos que x também é negativo; (b) suponha que x ≥ 0 e x+1 < 0. Como x ≥ 0, e x+1 > x, teremos x+1 > 0, contradição com a hipótese.
(a) Mostre, por contradição, que a função inversa de uma função bijetiva f(x), é única. Suponhamos que f(x) tem duas inversas f 1 -1^ (y) e f 2 -1^ (y). Como as duas funções são diferentes existe um y tal que f 1 -1(y)^ ≠^ f^2 -1^ (y). Neste caso, se x^ 1= f 1 -1^ (y) e x 2 = f^2 -1^ (y) temos que, f(x^ 1)=y e f(x2)=y, já que as duas são inversas de f(x). Mas neste caso f(x) não é injetiva e, portanto, não é bijetiva! CONTRADIÇÃO.
(b) Prove, por indução, que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n é divisível por 5. Para n=1 temos 7-2=5 OK Supondo que 7n-2n é divisível por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k. Agora 7(n+1) – 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1). CONFIRMADO
- A seqüência de números triangulares é 1, 3, 6, 10, .. é baseada nos triângulos
Encontre a relação de recorrência e a fórmula fechada desta seqüência. Para encontrar a fórmula fechada use o princípio expandir, supor, verificar. A sequência será 1, 3(=1+2), 6(=3+3), 10(=6+4), 15(=10+5), 21(=15+6),.., logo a relação de recorrência será: S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n. Fórmula fechada: Expandir: S(1) = 1; S(2) = 1 + 2; S(3) = 1 + 2 + 3; S(4) = 1 + 2 + 3 + 4 Supor: S(n) = Σi=1,..,n i Verificar: S(1)=1 = Σ (^) i=1,..,1 i Supondo verdadeiro que S(n) = Σ (^) i=1,..,n i temos que S(n+1) = S(n) + n+1 = Σ (^) i=1,..,n i + n+1 =^ Σ^ i=1,..,n+1 i^ C.Q.D. O
- (^) Mostre, por indução, que para a seqüência de Fibonacci vale a relação
F(n) < 2 n
(N.B. a seqüência de Fibonacci é dada por F(1)=1; F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2)) Hipótese de indução: F(1) = 1 < 2 1 , F(2) = 2 < 2^2 , F(n-1) < 2n-1^ e F(n) < 2 n.
Vamos mostrar que F(n+1) = < 2 n+1^ para n > 2 Por definição temos que F(n+1) = F(n) + F(n-1), substituindo a hipótese de indução, temos que F(n+1) < = 2. 2 n-1^ + 2^ n-1. = 3.2^ n-1^ < 4.2n-1^ = 2^ n+1^ está provada a conjectura. Na prova acima foi usada ‘indução completa’. A prova por indução simples seria: F(n+1) = F(n) + F(n-1), pela definição de F(n) = F(n-1)+F(n-2) + F(n-1), pela hipótese de indução < 2 n^ + F(n-1) como F(n-1) = F(n) – F(n-2) < 2 n^ + 2^ n^ – F(n-2) = 2n+1^ – F(n-2) Então temos F(n+1) + F(n-2) < 2 n+1^ e, como F(n-2) > 0 teremos^ F(n+1) < 2n+
- Mostre, por indução, que n 3 + 2n é divisível por 3 n=1: 1+2= supondo que n 3 .+ 2n é divisível por 3, temos n 3 .+ 2n = 3k agora (n+1) 3 .+ 2(n+1) = (n+1)(n 2 + 2n +1)+2n+2 = n 3 + 2n 2 + n + n^2 + 2n + 1 + 2n +2 = 3k + 3n^2 + 3n +3 = 3(k + n^2 + 3n + 1)
- Prove que “se x e y são ímpares então x+y é par” 8)..a Por contraposição : Se x+y é impar então x ou y é par. Pela hipótese x+y = 2n + 1. Mas, para que isso aconteca, x e y não podem ser ambos ímpares pois, neste caso, teríamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par. Logo x ou y tem que ser par. 8)..b Por contradição Para x e y impares, suponha x+y impar. Mas, se x+y é ímpar, x+y = 2k+1. Nesse caso x e y não podem ser ambos ímpares pois, teríamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par!
R ={(x,y) ∈ B × S tal que x divide y}
(A^ ∩^ B) = {r}, logo (A^ ∩^ B)’ = {p,q,s,t,u,v,w}
{t,u,v,w} – {p,r,s,t,u,v} = {w}
{t,v} × {p,q,r,s} = {(t,p), (t,q), (t,r), (t,s), (v,p), (v,q), (v,r), (v,s)}
(^) {(r,s)}
{(1,1),...,(1,10),(3,3),(3,6),(3,9),(5,5),(5,10)}
Sejam A = {2,4,5,6,8}, B = {1,3,5} e C = {x/x ∈ Z e 3≤ x < 5} subconjuntos de S={0,...,10} Encontre: (c) (A ∩ B)’ (A ∩ B)’ = ({2,4,5,6,8} ∩ {1,3,5})’ = ({5})’ = {0,1,2,3,4,6,7,8,9,10} (d) A’ – (B ∪ C) A’ – (B ∪ C) = {2,4,5,6,8}’ – ({1,3,5}∪{3,4}= {0,1,3,7,9,10} – {1,3,4,5}) = {0,7,9,10} (e) (B-A) × A ({1,3,5} - {2,4,5,6,8}) × {2,4,5,6,8}= {1,3} × {2,4,5,6,8} = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>, <3,2>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<3,8>} (f) R ={(x,y) ∈ B × A tal que x divide y} R = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>, <3,6>,<5,5>}
Sejam: A = {letras do teu primeiro nome} e B = {letras do teu último nome}. a) Encontre (A ∩B’)’ − (B∪A)' Obs. O universo é L={letras do alfabeto} (AF 0C 7 B’)’ – (BF 0C 8 A)’ AF 0C 7 B’ = {U, R} (BF 0C 8 A) = [U,L,R,I,C,H,S,E] (AF 0C 7 B’)’ – (BF 0C 8 A)’ = {A-Z exceto U e R] - {A-Z exceto U L R I C H S E] = {L,I,C,H,S,E}
b) Seja l1 = {das duas primeiras letras de teu primeiro nome} e l2 = {das duas primeira letras de teu último nome}. Encontre (A Χ B) − (l1 Χ l2). l1={U,L} , L2 = {S,C} logo li X l2 = {<U,S>, <U,C> ,<L,S>, <L,C>}. Nesse caso teremos A X B – (l1 X l2) todos os pares de letras de {U,L,R,I,C,H} e {S,C,H,I,E,L} exceto os 4 acima. 8)..c Seja a gramática G = < Σ, L, P>, com Σ = Σ (^) t∪Σ (^) nt , Σt = {0,1}, Σnt = {S }, L= Σt * e as produções P = { S → 0S, S → 1} a) Quais sentenças válidas são produzidas por esta gramática? b) E se acrescentarmos a produção S → S0? (a) As sentenças válidas são 1, 01, 001, 0001, 00001, ... (b) Agora temos 1, 01, 001, 0001, ... e 10, 100, 1000, ... e 010, 0010, 00010, ... Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante ‘0’s.
8)..d a) Qual a diferença entre ∅ ,{∅}, {}? Dê a cardinalidade de cada um e as possíveis relações {⊆, ⊂, ∈ ou =} entre eles. RESP: |∅|=|{}|=0 e |{∅}| = 1. ∅ = {}, ∅ ∈ {∅}, ∅ ⊂ {∅}, ∅ ⊆ ∅ e {∅} ⊆ {∅}.
b) Dados os conjuntos A={a, {a}, {{a}}}, B={a} e C={∅, {a,{a}}}, dê a cardinalidade de cada um e mostre quais afirmações são verdadeiras: C⊆A; B∈A; B⊆C; {a, {a}}∈A; A-B∈C. RESP: |A| = 3, |B| = 1, |C| = 2. C⊆A - falsa; B∈A - verdadeira; B⊆C - falsa; {a, {a}}∈A - falsa; A-B∈C - falsa.
8)..e Dados 3 conjuntos A, B e C, mostre que a) A X (B F 0C 7 C) = (A X B) F 0C 7 (A X C). Parte 1: A X (B F 0C 7 C) F 0C D (A X B) F 0C 7 (A X C)
Se <x,y> F 0C E A X (B F 0C 7 C) então x F 0C E A e y F 0C E (B F 0C 7 C). Nesse caso y F 0C E B e y F 0C E C). Mas, com x F 0C E A e y F 0C E B temos que <x, y> F 0C E (A X B) e com x^ F 0C E A e y^ F 0C E C temos que <x, y>^ F 0C E (A X C). Destes dois fatos deduzimos que < x,y> F 0C E (A X B) F 0C 7 (A X C). Parte 2: O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores.
b) (A Χ B) − (Α Χ C) = A Χ (B−C) Parte 1: (A Χ B) − (Α Χ C) F 0C D A Χ (B−C) Se <x,y> F 0C E (A Χ B) − (Α Χ C) então <x,y> F 0C E A X B e <x,y> F 0C F (A X C). Pela primeira pertinência sabemos que x F 0C E A e y^ F 0C E B. Logo, para valer a relação^ F 0C F só é possível se y^ F 0C F C. Nesse caso temos x F 0C E A, y F 0C E B e y F 0C F C o que caracteriza a situação <x,y> F 0C E (A X (B-C)). c.q.d. Parte 2: similar a anterior 8)..f Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde: Σ = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B o símbolo inicial. R = {B → SIPF, S → +|-| λ I → ID | D P →. F → DD D → 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 }
- Qual a linguagem que esta gramática define? RESP: esta gramática reconhece números com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente ou não. Os números poderão começar com um ou mais dígitos ‘0’. Em outras palavras, reconhece sequencias da forma +nn...n.nn ou –n...n.nn ou nn...n.nn.
- Mostre como ela reconhece o número -459. RESP: para testar, basta seguir, em ordem inversa, as regras até chegar a B. Ou seja, temos: -459.33 → -459.DD →-459.F → -459PF → -45DPF → -4DDPF → -DDDPF → SDDDPF → SIDDPF → SIDPF → SIPF → B (N.B. também pode-se percorrer o caminho inverso)
- Modifique a gramática para que ela reconheça números inteiros, sem frações. RESP:Para reconhecer só números inteiros, deve-se alterar a primeira regra para B→SI e excluir as regras P →. e F → DD Para reconhecer também números inteiros, a primeira regra fica sendo B→SIPF | SI
Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde: Σ = Σ (^) nt ∪ Σ (^) t sendo Σt = {+, -, ., /, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} e Σ (^) nt = {B, EXP, OP, N, D}, com as regras de produção: R = { 1: B → EXP; 2: EXP → ( EXP ) OP N; 3: EXP → N OP N; 4: OP → + | - |. | / ; 5: N → D | ND; 6: D → 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9} )a Qual a linguagem que esta gramática define? Define expressões aritméticas da forma op1 op op2 em que op é um dos operadores +, -,. ou /, op2 é um número inteiro positivo e op1 é ou também um inteiro ou outra expressão da mesma forma entre parêntesis. )b Mostre como ela reconhece a expressão (30-5)+025. Indique qual regra foi aplicada em cada passo. -(1)-: B → EXP -(2)-: ( EXP ) OP N -(4)-: ( EXP ) + N -(5)-: ( EXP ) + ND -(5)-: ( EXP ) + NDD -(5)-: ( EXP ) + DDD -(6)-: ( EXP ) + 025 -(3)-: ( N OP N ) + 025 -(5)-: ( N OP D ) + 025 -(6)-: ( N OP 5 ) + 025 -(5)-: ( ND OP 5 ) + 025 -(5)-: ( DD OP 5 ) + 025 -(5)-: ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)-: ( 30 - 5 ) + 025 )c Modifique a gramática para que ela: )d também reconheça expressões entre parêntesis à direita e Alterar a regra (2) para: 2: EXP → N OP (EXP) | ( EXP ) OP N; )e um número não comece com 0 (zero). Substituir as regras 5: e 6: por 5: N → P | PD; 6: D → DF | F; 7: P → 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9; 8: F → P | 0 | λ E acrescentar aos não-terminais os símbolos P e F.
Resp.: Os que só têm bicicletas são dados por
|B| - |C ∩Β| - |B∩Μ| + |C ∩Β ∩Μ| = = 97 - 53 - 7 + 2 = 41
- Quantos estudantes não têm qualquer dos três?
Resp.: Todos que tê algum veículo são dados por |C ∪Β ∪Μ| = |C| + |B| + |M| - |C ∩Β| - |C ∩Μ| - |B∩Μ| + |C ∩Β ∩Μ| = = 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136 Logo, os que não têm nada, são 150 – 136 = 14
- Você está desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opinião pública para realizar uma pesquisa de mercado para você. A empresa constatou que, em sua pesquisa de 450 consumidores, os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisão de compra de um sabonete: Perfume 425 Fácil produção de espuma 397 Ingredientes naturais 340 Perfume e fácil produção de espuma 284 Perfume e ingredientes naturais 315 Fácil produção de espuma e ingredientes naturais 219 Todos os três fatores 147 Você confiaria nesses resultados? Justifique.
Resp.: Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume; E o conjunto dos que preferem a espuma; e N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais. Temos |C| = 450, |P| = 425, |E| = 397 e |N| = 340 |P+E| = 284, |P+Ν| = 315, |N+E| = 219 e |P+E+Ν| = 147 Supondo que 'Perfume' significa 'Só Perfume', todos conjuntos serão disjuntos. Nesse caso teremos que F 0 |C| = |P| + |E| +|N| + |PC 7 E| + |P+Ν| + |N+E| + |P+E+Ν| = = 425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127, mas |C| = 450!!
Mesmo supondo que 'Perfume' significa 'Também Perfume' teríamos |C| = |P ∪Ε ∪Ν| = |P| + |E| + |N| - |P ∩Ε| - |P ∩Ν| - |E∩Ν| + |P ∩Ε ∩Ν| = 425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491 o que ainda é maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lançados para termos certeza que obtivemos algum par duas vezes? (Sugestão: divida as soluções em dois casos:
- Quando os dados tiverem o mesmo valor
- Quando os valores forem diferentes)
Resp. Como os resultados dos dois dados são independentes e cada dado tem 6 faces há, pelo princípio da multiplicação 6x6=36 possibilidades.
Seguindo a sugestão, consideramos dois casos:
a) Quando os dois dados têm o mesmo valor, há 6 possibilidades;
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades. Para cada par (dado1=n,dado2=m) existe outro lançamento (dado1=m,dado2=n) idêntico. Assim, haverá 15 lançamentos diferentes.
Pelo princípio da adição haverá 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes. Logo, pelo princípio da casa do pombo, após 22 lançamentos, um par terá que se repetir.
OUTRA SOLUÇÃO: Há 6 casos aditivos, dependentes:
- se para o dado-1 cair 1, haverá 6 combinações possíveis com o dado-
- se para o dado-1 cair 2, além de (2,1)., haverá mais 5 combinações possíveis
- se cair 3, haverá mais 4 combinações novas
- para o 4, haverá mais 3 combinações novas
- para o 5 há mais 2 combinações
- (^) para o 6 há mais uma combinação, o (6,6).
Assim, pelo princípio da adição temos, ao todo, 6+5+4+3+2+1 = 21 combinações distintas.
Parte III: Relações
c) Podem ser definidas mais propriedades de relações binárias ρ em um conjunto S: ρ é irreflexiva quando ∀x∈S temos (x,x) ∉ ρ] ρ é assimétrica quando ∀x,y∈S temos [(x, y)∈ ρ ⇒ (y, x) ∉ ρ] a. Construa uma relação binária em S = {1,2,3} que é assimétrica e anti-simétrica. Obtenha o fecho transitivo desta tua relação. b. Analise o conjunto < N , ‘<’>, os naturais com a relação ‘menor que’ em relação às duas propriedades definidas aqui e as outras. (5) R={(1,2), (2,3)}, o fecho transitivo é {(1,2), (2,3), (1,3)} (6) A relação < N , ‘<’> não é reflexiva e é irreflexiva, pois nenhum n<n. É anti-simétrica e assimétrica, pois não existe nenhum para n, m, com n<m e m<n. Pelo mesmo motivo também não é simétrica. É transitiva, pois se n<m e m< u, temos n<u.
d) Seja S={∅,{a}, {a,b},{c}, {a,c},{b}} e a relação de ⊆.
Desenhe o Diagrama de Hasse desta relação
Encontre o fecho transitivo (2) A relação ⊆ já é transitiva
e) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações
(a) Diga se a relação entre números naturais x ρ y ↔ x = y + 1 é um-para-um, um-para-muitos ou muitos-para-muitos. (b) Mostre se a relação entre cadeias de caracteres dada por x ρ y ↔ o comprimento de x é menor ou igual ao comprimento de y, é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva. (c) Crie uma relação qualquer que é reflexiva e simétrica mas não é transitiva; (d) Crie uma relação qualquer que não é reflexiva nem simétrica mas é transitiva; ()a É um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que é igual a x+1, e inversamente, exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1, nunca mais que um. ()b Reflexiva: pois o comprimento de toda cadeia é igual ao seu comprimento, logo é menor ou igual. Simétrico: Não pois se x é mais longo que y não terá comprimento menor. Anti-simétrica pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e vice versa então x=y
- Analise as 3 relações quanto às propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva. Existe uma relação de equivalência? filho(p,q) é anti-simétrica irm(p,q) é reflexiva, simétrica e transitiva parente(p,q) é reflexiva e transitiva
- O que falta para filho(p,q) ser uma relação de ordem parcial? Tente definir um ‘fecho’ para que se torne uma ordem parcial. Chame este fecho de desc(p,q). Ela não é reflexiva nem transitiva. Podemos definir desc(p,q) ó filho(p,q) ∨ irm(p,q) ∨ ∃ r (filho(q,r) ∧ desc(r,q))
- Descreva os elementos maximais e minimais de S max ∈ S é maximal ¬∃p∈ S tal que vale desc(p,max) min ∈ S é maximal ¬∃p∈ S tal que vale desc(min,p) só existirá se for filho único
- O conjunto P pode ser particionado em famílias. Defina uma relação de equivalência baseada nesta partição. Como ninguém tem duas mães, ou seja, filho(p,q1) e filho(p,q2) implica q1=q2, todo elemento de S está relacionado a um único elemento maximal, max, pela relação desc(p,max). Logo, para cada elemento maximal max (^) i ∈ S teremos uma classe de equivalência [max (^) i] = { p∈ S tal que vale desc(p,maxi )}. A relação será mesma-fam(p,q) ó ∃ max ∈ S tal que vale desc(p,max) ∧ desc(q,max)
i) Sejam A = {p,s,t,u}. e B = {p,q,r,s,t,u,v,w}. Encontre a) R ={(x,y) ∈ B × A tal que y é a próxima letra no alfabeto após x} R = {(r,s), (s,t), (t,u)} (para quem leu A× B): R ={(p,q), (s,t), (t,u), (u,v)} b) Encontre R’ o fechos reflexivo de R e R” o fecho transitivo de R’ R’=R ∪ {(r,r), (s,s), (t,t), (u,u)} (para A× B) R’=R ∪ {(p,p),(q,q),(s,s),(t,t),(u,u), (v,v)} R” = R` ∪ {(r,t), (s,u), (r,u)} (para quem leu A× B) R”=R’∪ {(s,u), (t,v),(s,v)} c) R” é uma relação de ordem? parcial ou total? É uma relação de ordem parcial, pois é fechada reflexivamente e transitivamente e é anti-simétrica, pois para todo par (x,y) de R” com x≠y, x será uma letra anterior a y logo é impossível termos (y,x).
j) Sejam o conjunto S = {a, b, c, d} e a relação ρ = {(a,a), (a,b), (b,d), (b,a), (b,b), (c,a)}.
- Determine se a relação ρ é reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica, irreflexiva ou assimétrica e justifique para cada caso. Não é reflexiva pois faltam (c,c) e (d,d). Não é simétrica pois tem (b,d) mas falta (d,b). Não é transitiva pois tem (a,b) e (b,d) mas falta (a,d). Não é anti-simétrica pois tem (a,b) e (b,a) mas a≠b. Não é irreflexiva pois tem (a,a) e (b,b). Não é assimétrica pois tem (a,a) e (a,b) e não deveria ter (a,a) e (b,a).
- Encontre ρ’ o fecho reflexivo de ρ, e ρ“ o fecho transitivo de ρ’. ρ’ = ρ ∪ {(c,c), (d,d)} ρ’’ = ρ' ∪ {(a,d), (c,b), (c,d)}
- (^) Encontre as reduções anti-simétrica e irreflexivas de ρ. Um redução significa retirar elementos da relação até que ela satisfaça a condição. Redução anti-simétrica: ρ − {(b,a)} ou então ρ − {(a,b)} Redução irreflexiva: ρ − {(a,a), (b,b)}
Parte IIIb: Relações – Bancos de Dados
- Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações
filho-de(F,P), filha-de(F,P).
- Obtenha uma relação filho-ou-filha-de(F,P), que contém todos os filhos de cada pessoa;
- A partir da relação de a), obtenha a relação unária filhos-de-joão(F) que contém todos os filhos da pessoa ‘João’.
- Ilustre tudo com um pequeno exemplo OBS: lembre-se que sobre estas relações podem ser aplicadas as operações convencionais sobre conjuntos, como união, intersecção, diferença, assim como as operações relacionais: R’=restrição(R, condição), que elimina de R todas tuplas que não satisfazem a condição, e R’=projeção(R(A, A’)) na qual A’ ⊆ A, o conjunto dos atributos de R, e as tuplas de R são truncadas para os atributos em A’ (a) filho-ou-filha-de(F,P) = filho-de(F,P) ∪ filha-de(F,P) (b) R = restrição( filho-ou-filha-de , P=’João’ ) filhos-de-joão(F) = projeção( R(F)) (c)
- Seja o banco de dados CURSO(Cur, Disc); EST(MatE, NomeE); MON(MatE, Disc); MAT(MatE, Disc); PROF(NomeP, Disc); Obtenha os dados: (g)Os nomes dos professores do curso de ‘Ciência da Computação’ R1 = CURSO[Cur=’Ciência da Computação’] uma relação com a estrutura R1(Cur, Disc) R2 = PROF.P[P.Disc=R1.Disc]R1 uma relação com a estrutura R2(NomeP, Disc, Cur) RESPOSTA = R2[NomeP] (h)Os nomes de todos monitores existentes R1 = EST.E[E.MatE=M.MatE]MON.M uma relação com a estrutura R1(MatE, NomeE, Disc) RESPOSTA = R1[NomeE] (i) Os nomes dos monitores matriculados em ‘Matematica Discreta’ R2 = MAT[Disc=’Matematica Discreta’] [MatE] nesta operação combinada, selecionamos os alunos matriculados em ‘Matematica Discreta’ e projetamos para definir só os números de matricula. A partir do resultado R1 da questão anterior, que contém uma relação de todos monitores, determinamos os monitores de ‘Matematica Discreta’ pela junção com R2: R3 = R1[R1.MatE=R2.MatE]R2 uma relação com a estrutura R3(MatE, NomeE, Disc), e finalmente
- RESPOSTA = R3[NomeE].
Crie um banco de dados de produtos, clientes e vendas. Para o cliente temos um número, o nome e o ano desde quan está cadastrado. Dos produtos temos um código, nome e total em estoque e das vendas é registrado a data, nr. do clie e código do produto, quantidade e preço unitário. Crie operações relacionais para responder às perguntas: ()e Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 1000,00. ()f Dado uma relação R a função count(R) determina o número de tuplas contidas em uma relação. Determine quantos produtos não foram vendidos no ano corrente. Sugestão: calcule quantos produtos já foram vendidos Contando todos produtos existentes, da para determinar quantos não foram vendidos. Temos CLIENTE(NR, NOME, ANO), PROD(CÓD, NOME, ESTOQUE) e VENDAS(DATA, CLIENTE, CÓD, QUANT, PREÇO). .e RESP = VENDAS[QUANT*PREÇO > 1000)[CLIENTE] .f (^) PV = VENDAS V[V.COD=PROD.P]PROD VENDIDOS = PV[COD] RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV: Funções
- Dada uma função f: S → T, seja a relação ρ em SxS dada por x ρ y ⇔ f(x)=f(y). a) Mostre que ρ é uma relação de equivalência
Para tornar a função injetiva, basta reduzir o domínio aos números positivos e o zero, o N. Para torná-la
sobrejetiva, analisemos f(x). Em N, teremos;f(0)=1, f(1)=1; f(2)=5; f(3)=10, f(4)=17 e assim por diante. Então, para tornar f(x) uma bijeção consideramos N* o conjunto dos naturais com o zero e D={x/x=n 2
- 1, para algum n∈N} e f:N → D será uma bijeção. A inversa será f-1^ :D→N tal que f^ -1(y)=^ √(y-1)
f:Z → Q dada por f(x) = 1/x f não é bem definida, pois para 0∈Z, f(0) não está definida. Reduzindo o domínio para Z-{0}, teremos que f é injetiva, pois para quaisquer inteiros x e y, se x≠y certamente 1/x ≠1/y f não é sobrejetiva pois a imagem de qualquer x∈Z-{0} f(x) será um número entre -1 e 1, logo todos número maiores que 1 ou menores que -1 não estão na imagem de f. Para tornar a função bijetiva notamos que a imagem de f(Z-{0}) = {y/ y é um racional que pode ser escrito da forma 1/x com x∈Z- {0}}. Se chamarmos esse conjunto de D, teremos uma bijeção f: Z-{0}→ D. Nesse caso f -1^ (x)=f(x)=1/x.
f:N → N × N dada por f(x) = (x,x^2 ) f será injetiva pois se x≠y, é claro que (x,x 2 ) ≠(y,y^2 ).
f não é sobrejetiva, pois do contradomínio N×N, o primeiro N será todo coberto por f mas no segundo só os quadrados perfeitos serão imagem de f. Logo, para tornar a função uma bijeção definimos D⊂N
×N como D={(y,z)/ z=y^2 }. Temos, então, f:N→^ D, com f(x)=(x,x^2 ) e f^ -1: D^ →^ N, com f-1^ (x,x^2 )=x
- f: N × N →N dada por f(x,y) = (x+y) 2 Esta função está bem definida mas não é injetiva (p.ex. f(1,2)=f(2,1)) e não é sobrejetiva (p.ex. 3 não é imagem de nenhum par (x,y)∈ N × N. Para torná-la injetiva pode-se reduzir o primeiro domínio a um único número, p.ex. 0 (zero) e o contradomínio aos quadrados perfeitos P={0,1,2,4,8,16,..}. Assim teríamos f: {0} × N →P e a inversa f -1:P→ {0}× N tal que f -1^ (z) = (0, √z)
Parte V: Estruturas algébricas
(c) Em cada caso abaixo, mostre se as funções definidas são bijeções, homomorfismos ou isomorfismos. Se for isomorfismo, mostre o homomorfismo inverso. f: <R-{0}, + > F 0A E <R-{0}, + > dada por f(x) = 1/x É bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso. É injetiva pois se xF 0B 9 y também temos 1/x^ F 0B 9 1/y É sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1/x. Nesse caso f(1/x) = x, logo x pertence à imagem f(R-{0}). Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) já que dos dois lados a operação é a soma. A primeira parte é 1/x + 1/y = (y+x)/(x.y) e a segunda será 1/(x+y), logos são diferentes. P.ex. para x=1 e y=2 teríamos (y+x)/(x.y) = 3/2 e 1/(x+y) = 1/3. Concluímos que é bijetora mas não é homomorfismo.
f: <Z, + > F 0A E <P, + > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par. É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2nF 0B 9 2m. É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p. Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y). Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y). Também f -1^ (x)+ f -1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f -1^ (x+y) Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo. f: <Z, +> F 0A E <P,. > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção. Para ser homomorfismo deve valer f(x). f(y) = f(x+y). Temos f(x). f(y) = 2x. 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem isomorfismo (d) Dadas as álgebras de Boole B1 = <{0,1}, +, ·, ‘, 0, 1>, com x+y = max(x,y) e x · y = min(x,y), e B4 = <{F,V}, ∧, ∨, ¬, F, V>, então existe um isomorfismo natural h: B1 → B4 , com h(0) = F e h(1) = V. Resolva, cada expressão a seguir de duas formas: (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e), resolvendo em B4 e aplicando h -1^ ao resultado:
- (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) Forma direta: (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (0+1’)’. ((0+1).0) =(0)’. (1. 0) = 1. 0 = 0 Forma indireta: h(0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = ¬ (F ∨ ¬(V ∨ V) ∧ ((¬¬F∨V) ∧ F) = ¬ (F∨¬V) ∧ ((F∨V) ∧ F)= ¬F∧(V∧F) =V∧F=F finalmente h -1(F) = 0
- 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ Forma direta: 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = 0 · 1 + (1+(0))’= 0+(1)’ = 0+ 0 = 0 Forma indireta: h(1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = ¬V ∧ ¬F ∨ ¬(V∨V∨(V∧F)) = F ∧ V ∨ ¬(V∨F) = F ∨ ¬V = F ∨ F = F, logo h -1^ (F) = 0
(e)Prove que para toda Álgebra de Boole vale a) x = y se e somente se x · y’ + y · x’ = 0 d) se x=y temos x · y’ + y · x’ = x · x’ + x · x’ = 0 + 0 = 0 e) se x · y’ + y · x’ = 0 temos x · y’ = 0 e y · x’ = 0 mas, se x · y’ = 0 y’ é o complemento de x, logo y = x. b) x+y’ = x + (x’ · y + x · y)’ vamos mostrar que y’ = (x’ · y + x · y)’. Mas (x’ · y + x · y)’ = ((x’ + x)·y)’ = (1·y)’ = y’
(f) Dado S = {1,2,3,4,5}, seja o reticulado R=<{<1,2>,<1,3>,
<1,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>},inf,sup>. Porque a estrutura B=<S, inf, sup, ‘, 1, 5>, em que ‘
Comutativa: x ⊗ y = x. y’ + y. x’ = y.x’ + x.y’ = y ⊗ x Neutro: x ⊗ 0 = x. 0’ + 0. x’ = x.1 + 0 = x, logo 0 é o neutro Inverso: x⊗x = x.x’ + x’.x = 0+0 = 0 logo todo elemento é seu próprio inverso. Conclui-se que <B,^ ⊗> é um grupo comutativo.
e) considerando x ⊗ y uma função booleana, dê suas definições tabelar e esquemática. Tabelar: x ⊗ y x y x’ y’ x.y’ y.x’ x.y’+y.x’ 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Esquemático:
(h) Em cada caso determine a estrutura algébrica de <S, *>:
e) S = {1, -1, i, -i} e * é a multiplicação com i = √-1 e i 2 = -1. (sugestão: faça a tabela de multiplicação)
pela tabela vê-se que a operação é fechada. É associativo pois a multiplicação de números complexos é associativa. Tem elemento neutro (1), os inversos são -1’=1, 1’=1, i’=-i e –i’=i; pela associatividade da multiplicação ela também é associativa e é comutativa pois a tabela é simétrica. Logo é um grupo comutativo.
f) S = {1,2,3,4} e * é · 5 o produto modulo 5. É fechado (vide tabela). É associativo pois a multiplicação de números módulo n é associativa. É comutativo pois a tabela é simétrica. O elemento neutro é 1. Inversos 1’=1; 2’=3, 3’=2 e 4’=4. Associativo.
Também é grupo comutativo.
(i) Assim como existe um isomorfismo entre álgebras (que preserva as operações) pode-se definir isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados <S,≤> e <S’,≤’> como uma bijeção f:S→S’ que preserva as ordens, ou seja, se x≤y então f(x)≤’f(y).
- Se S=S’={a,b,c, d} defina 3 ordens parciais em S que são isomorfas entre si.
- Se S tem 4 elementos {a,b,c,d} mostre quantos reticulados distintos (não isomorfos) podem ser formados. (SUGESTÃO: use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens.)
(j) Dado Σ = {a,e,i}, e S = {1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole: L = <Σ^3 , *, +, ‘,λ, “aei”> com Σ^3 sendo todas cadeias de^ Σ^ com 0 a 3 vogais em ordem alfabética;^ λ^ a cadeia vazia; x * y = a cadeia com as letras comuns a x e y, x +y = a cadeia com todas letras de x e y, e x’ = Σ-x, ou seja, a cadeia com todas letras que não estão em x. e S = < P (S), ∩, ∪, ‘,∅, S>
a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |L|=|PS|=8. Defina este isomorfismo; o isomorfismo h: Σ^3 → S é dado pela tabela: x = λ^ a e i ae ai ei aei h(x)= ∅^ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} Para mostrar que é isomorfismo, tem que ser um homomorfismo e ser bijetora. b) dada a expressão (λ’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras: (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS , resolvendo em PS , e convertendo o resultado de volta para L. i) direto: (λ’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’) = (“aei””i”)+(“aei””ei”) = “i”+”ei”= “ei” ii) indireto: h((λ’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’))=(( ∅’ ∩ ({1,3}∩{2,3}) ∪ (S∩{1}’)= ((S ∩ {3}) ∪ (S∩ {2,3}) = {3} ∪ {2,3} = {2,3}, h -1({2,3} = “ei”.
(k) Dados Σ = {a,e,i}, e S = {1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole: L = <Σ 3 , inf, sup, ‘,λ, “aei”> com Σ 3 sendo todas cadeias de Σ com 0 a 3 vogais em ordem alfabética; λ a cadeia vazia; inf(x,y)=a cadeia com as letras comuns a x e y, sup(x,y) = a cadeia com todas letras de x e y, e x’ = “aei”-x, ou seja, a cadeia com todas as letras que não estão em x. e PS = < P (S), ∩, ∪, /, ∅, S> a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |Σ^3 |=|PS|=8. Defina este isomorfismo; Seja h: <Σ 3 -> P(S) dada por:
X λ^ “a”^ “e”^ “i”^ “ae”^ “ei”^ “ai”^ “aei”
h(x) ∅^ {1} {2} { 3} { 1,2} { 2,3} { 1,3} { 1,2,3}
E as funções: h(sup) = ∪; h(inf) = ∩ e h(‘) = ‘ ‘
b ) dada a expressão inf(sup(λ,sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras: (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS , resolvendo em PS , e convertendo o resultado de volta para Σ 3.
Direto: inf(sup(λ, sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’)) = inf(sup(λ ,(“ae”)’), inf("aei" ,“ei”)) = inf(sup(λ,“i”), “ei”) = inf( “i”, “ei”) = “i” Indireto: h(inf(sup(λ, sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’))) = (( ∅^ ∪^ /({1}∪{1,2}))^ ∩^ ({1,2,3}∩/{1})) =(∅^ ∪^ /({1,2}^ )^ ∩^ (({1,2,3}∩{2,3})) = ( ∅ ∪ {3}) ∩ ({2,3}) = ({3}) ∩ ({2,3}) = {3} c) E temos que h -1({3}) = “i” (l) Dado uma Álgebra de Boole <S, +, ., ‘, 0, 1> qualquer, mostrar, justificando cada passo: a) Se definirmos uma nova operação ( ‘ou exclusivo’) ⊕ como sendo: x⊕y=x.y’ + y.x’, vale x⊕y = y⊕x e também x⊕1=x’ x⊕y= x.y’ + y.x’=y.x’+x.y’=y⊕x x⊕1= x.1’ + 1.x’= (^) 1bx.0+x’.1=4b0+x’= (^) 4a x’ b) Propriedades (x.y)+(x.z) = x.[y+(x.z)] e também (x+y.x)’ = x’ x.[y+(x.z)]= (^) 3b x.y+x(x.z)= (^) 2b x.y+(x.x)z=x.y+x.z (x+y.x)’= (^) 3a ((x+y).(x+x))’=6a ((x+y).x)’=^ 7a (x+y)’+x’=^ 1a x’+(x’+y’)=absorção x’ (falta provar a absorção)
(m)Dado uma álgebra <Z, ⊕>, sendo Z os inteiros, defina operações ⊕ tal que: k) Comutativa mas não associativa ⊕(x,y) = (x+y) 2 é comutativa, pois (x+y)^2 = (y+x) 2 e não é associativa pois, p.ex.
<R,+> é grupo comutativo (vale ANIC) e <R,.> é semi-grupo. É fácil mostrar isso. <R,.> além de ser semi-grupo possui neutro, logo é um monóide. <R-{0},.> também possui inverso 1/x para todo x ∈ R-{0}, logo é grupo comutativo. b) Em uma álgebra de Boole <S, +, ., ‘, 0, 1>, <S,+> é um monóíde comutativo Pela propriedade 1a é comutativo pela 2a é associativo, e pela 4a o neutro é 0. A operação ‘ não determina um inverso em relação a +, pois a+a’ = 1 e deveria ser 0.
(p) Em cada caso abaixo, mostre quais das funções definidas são bem definidas, bijeções,
homomorfismos e quais são isomorfismos. Para o isomorfismo, mostre o isomorfismo inverso. c) f: <Z, + > → <Z, + > dada por f(x) = 0 é um homomorfismo pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z). Não é isomorfismo pois não é injetiva nem sobrejetiva. d) f: <Z, + > → <Z, + > dada por f(x) = x + 1 Não é homomorfismo, pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto f(x+y)=x+y+1≠x+y+2. Se não é homomorfismo também não pode ser isomorfismo. e) f: <Z, +> → <Z,. > dada por f(x) = x Não é homomorfismo pois se x+y=z deveríamos ter f(x).f(y)=f(z) ou seja x.y=z Logo também não é isomorfismo. f) f: < R -{0}, + > → < R -{0}, + > dada por f(x) = 1/x É bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso. É injetiva pois se x≠y também temos 1/x ≠ 1/y É sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1/x. Nesse caso f(1/x) = x, logo x pertence à imagem f( R -{0}). Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) já que dos dois lados a operação é a soma. A primeira parte é 1/x + 1/y = (y+x)/(x.y) e a segunda será 1/(x+y), logos são diferentes. P.ex. para x=1 e y=2 teríamos (y+x)/(x.y) = 3/2 e 1/(x+y) = 1/3. Concluímos que é bijetora mas não é homomorfismo. g) f: <Z, + > → <P, + > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par. É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n≠2m. É sobrejetiva , pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p. Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y). Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y). Também f -1^ (x)+ f -1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f -1^ (x+y) Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo. h) f: <Z, +> → <P,. > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção. Para ser homomorfismo deve valer f(x). f(y) = f(x+y). Temos f(x). f(y) = 2x. 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem isomorfismo.
Defina a estrutura algébrica de:
< Σ, ||> com: Σ o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings) || a operação de concatenação de strings É associativo pois, se a=a (^) 1..an, b=b (^) 1..bm e c=c (^) 1..ck, teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a (^) 1..an b1..bm c (^) 1..ck Não é comutativo, pois, por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab Tem neutro , pois para a cadeia vazia λ vale: aλ=a para qualquer a Não tem inverso, pois a concatenação só aumenta uma cadeia, logo para toda cadeia não vazia a não pode existir b tal que a||b=λ Conclui-se que a estrutura é um Monóide.
< Z6, +6,.6> com:
Z (^) 6= {0,1,2,3,4,5} sendo + 6 a soma módulo 6 e. 6 o produto módulo 6 Analisemos cada operação: < Z6, +>, é associativo pois como a soma é associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r. se x+(y+z) = x +(6q (^) 1+r1) = 6q 2 + r 2 e x + 6 (y+ 6 z) = x + 6 r 1 = r 2 com r 2 = r Analogamente mostra-se também que (x + 6 y)+ 6 z = r
É comutativo por argumento análogo ao acima, decorrente da comutatividade da soma Tem neutro que é o 0, pois x+ (^) 60=x
Tem inverso , pois para todo n∈Z (^) 6, teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6). Logo x’=6-x Logo < Z (^) 6, +> é um grupo comutativo. < Z6, .>:
Pelos mesmos argumentos acima, vê-se que é associativo e comutativo ; Tem neutro que é o 1, pois x.1=x < Z6-{0}. 6 > não é grupo, pois Z (^) 6-{0} só tem inteiros que não têm inverso na multiplicação. Logo < Z (^) 6, .> é um monóide comutativo e < Z (^) 6,+, .> será um anel comutativo com neutro na
multiplicação.
- <Z 5 , + 5 , * 5 >, com: Z 5 = {0,1,2,3,4} x + 5 y = (x+y) mod 5, e x * 5 y = (x.y) mod 5 como x + 5 (y+ 5 z)=(x+y+z) mod 5, e (x + 5 y)+ 5 z =(x+y+z) mod 5
A soma módulo 5 é associativa. Análogamente a multiplicação também o é.
Como a soma e multiplicação normais são comutativas estas operações módulo 5 também o serão. O neutro de + 5 é o 0. O neutro de^ * 5 é o 1. Os inversos em + 5 serão: 0’= 0, 1’=4, 2’= 3, 3’=2 e 4’=1.
Em * 5 não pode haver inverso pois para x F 0C EZ 5 não haverá inverso x’ com
x.x’=1. Mesmo para Z 5 – {0}.
A distributividade que vale para as soma e multiplicação normais pode
ser aplicado às operações de módulo pois, teremos x* 5 (y+ 5 z) = (x.(y+z)mod 5) mod 5 = (x.(y+z))mod 5 = (x.y+xz))mod 5 =
((x.y)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x* 5 y)+ 5 (x* 5 z).
Concluimos que a estrutura é um Anel Comutativo.
- < C, sup, inf> com: C um reticulado finito ordenado por uma relação £ e inf(x,y) é o ínfimo de x e y e sup(x,y) é o supremo de x e y. Associativa : dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf (^) 3(x,y,z) como o ínfimo de x,y e z. Agora deve valer inf(x,inf(y,z)) = inf (^) 3(x,y,z) assim como inf(inf(x,y),z). Pode ser provado por absurdo. Analogamente vale para sup(x,y); Neutro : Já que C é reticulado finito terá um elemento máximo MAX e um mínimo MIN. Nesse caso teremos inf(x,MAX) = x e sup(x<MIN) = x. Logo MAX é o neutro de inf() e MIN é o neutro de sup(). Inverso : se x ≤ MAX, para todo y, teremos inf(x,y) ≤ x, logo não haverá y tal que inf(x,y) MAX. Logo não tem inverso. Comutativa : é claro que inf(x,y) = inf(y,x) assim como sup(x,y) = sup(y,x) Concluimos que ambas estruturas são monoides comutativos, logo <C,sup,inf> não é anel.
14). Seja B={0,1,a,b}. Defina uma álgebra de Boole <B,+,*,’,0,1> sendo que ‘ é definido como: 0’=1, 1’=0, a’=b e b’=a. Defina as operações + e * por duas tabelas.
