O logaritmo.
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Guilherme S. de Paula
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Uma introdução completa aos logaritmos, explorando seus conceitos básicos, propriedades e aplicações em diversas áreas do conhecimento. Aborda a história dos logaritmos, desde sua criação por john napier, até sua utilização em áreas como geociências, medicina, física e química. O documento inclui exemplos práticos, exercícios resolvidos e exercícios propostos para consolidar o aprendizado.
Tipologia: Exercícios
2025
1 / 14
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Baixe Introdução aos Logaritmos: Conceitos, Propriedades e Aplicações e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
O logaritmo.
Uma leitura
mais atrativa!
Guilherme S. de Paula
Durante o desenvolvimento da astronomia e na época das
grandes navegações, os logaritmos começavam a ser
desenvolvidos nos estudos matemáticos. Na tentativa de
simplificar os cálculos matemático, isto é, transformar
complexas divisões e multiplicações em simples adições e
subtrações é que os logaritmos foram surgindo tendo como
destaque do seu desenvolvimento o matemático John
Neper (Naiper).
Com o tempo, os logaritmos foram sendo estudados com
mais rigor e atualmente são usados em diversas aplicações
como por exemplo, nas geociências, na medicina, na
física, na química etc.
A tabela abaixo mostra como era o método que Neper
usava:
Sendo a primeira linha os expoentes e a segunda linha as
potências de dois. A ideia é fazer da seguinte forma:
- 32 = 512 uma vez que o expoente que corresponde ao
16 é 4 e o expoente do 32 é o 5, logo o expoente do
resultado tem que ser a soma 4 + 5 = 9 que é o expoente
de 512.
log
𝑎
𝑐
“a” é a base do logaritmo
“b” é o logaritmando
“c” é o logaritmo
Condições de existência:
- 𝑏 > 0 , só podemos encontrar logaritmos de números
negativos
Vejamos o porquê dessas restrições, considerando que elas
sejam válidas.
𝑎=
- log
1
𝑐
= 2 ⟺ 2 = 1 , absurdo!
𝑎 = 1
- log
1
𝑐
= 1 , infinitos valores!
𝑎 < 0
- log
− 2
𝑐
= 8 , não existe!
𝑏 < 0
- log
2
𝑐
= (− 4 ), não existe!
Propriedades dos logaritmos:
log
𝑎
𝑏. 𝑐 = log
𝑎
𝑏 + log
𝑎
𝑐
log
𝑎
𝑏
𝑐
= log
𝑎
𝑏 − log
𝑎
𝑐
log
𝑎
𝑏
𝑐
= 𝑐. log
𝑎
𝑏
𝑎
log
â
𝑏
= 𝑏
log
𝑎
𝑏 =
log
𝑐
𝑏
log
𝑐
𝑎
Segue a relação abaixo:
O conjunto imagem da função logarítmica, portanto, é:
- Resolva os logaritmos abaixo:
a) log
2
b) log
5
c) log
3
d) log
5
e) log
𝑥
f) log
𝑥
g) log
6
- Simplifique as expressões usando as propriedades do
logaritmo
a)
log
2
8 +log
5
625 −log
3
243
log 1
2
32
b)
log
6
36 + 5 .log
2
1024
log
3
(log
2
512 )
c)
log
5
25
2
+log
3
81
1 / 4
log
100
√ 100
- Dado que log 3 = 0 , 47 , log 2 = 0 , 30 , log 5 = 0 , 69 ,
determine:
a) log 15
b) log 30
c) log 25
d) log 27
e) log 1 , 2
f) log 3 , 75
- Observe a imagem do gráfico dado pela função
𝑓(𝑥) = log
2
𝑥 e determine a área do polígono
ABCD.
- Resolva a equação (log
2
2
− log
2
- Determine o domínio da função 𝑓
log
5
- Determine o valor de “x” para que a função
= log
15
2
− 5 𝑥 + 6 ) exista.
- Considere a função 𝑓
= log
1
2
a) Calcule 𝑓 (
1
2
1
4
b) Monte o gráfico.
- Sabendo que os extremos da hipotenusa de um
triângulo retângulo se encontram sobre os pontos
log
2
4 e log
2
8 , determine a área desse triângulo.
- Considere a P.A. (log
2
5 , log
2
15 , log
2
e 𝑎
30
= 𝑛, calcule:
𝑛+𝑟
25
- IME (2016) (questão de nível difícil)
Determine o produto das raízes da equação:
log
3
√
3 𝑦
log
3
3 𝑦
- ITA (questão difícil)
O valor de 𝑦 ∈ ℝ que satisfaz a igualdade
log
𝑦
49 = log
𝑦
2 7 + log
2 𝑦
7 é:
a)
1
2
b)
1
3
c)
1
8
d) 3
e) 7
- Sejam x, y e z números reais positivos tais que
seus logaritmos numa dada base k são números
primos satisfazendo
log
𝑘
log
𝑘
Determine log
𝑘
a) −
2
5
b) 26
c) 10
a) 1,
b) 1,
c) 1,
d) 1,
e) 0,
f) 0,
g) - 3
h) - 1,
Aproximadamente 127 meses
Aproximadamente 17 anos
Aproximadamente 142 segundos
a)
b) (−∞, +∞)
c) 𝑦 = 0 e 𝑦 = 2
- 36 unidades de área
- 𝑥 < 2 ou 𝑥 > 3
a) 𝑦 = 1 ; 𝑦 = 2 ; 𝑦 = 0 ; 𝑦 = − 5
- 2 unidades de área
1
3
1
8