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LOGARITMO
Sejam dois números reais a e b , tais que a > 0, b > 0 e b ≠ 1. Chama-se logarit-
mo de a na base b e representa-se por log (^) ba ao número x , tal que b x^ = a. Assim, se
precisamos calcular o valor de um logaritmo, basta fazer assim: log (^) b a = x ⇒ a = bx ,
que chegamos na equação exponencial e podemos resolver com facilidade.
Exemplo: Calcular log 3729
Basta igualar a x , assim: log 3 729 = x , daí, por definição, o logaritmando é igual à base
elevado ao resultado x , veja:
log 3 729 = x ⇒ 729 = 3 x fatoramos 729 e encontramos 729 = 36 , logo: log 3 729 = x ⇒ 729 = 3 x ⇒ 36 = 3 x e nessa igualdade, temos que se as bases são
iguais, então seus expoentes também são iguais, logo, x = 6
log 3 729 = x ⇒ 729 = 3 x ⇒ 36 = 3 x ⇒ x = 6
Vejam as questões:
Questão 01 Calcule o valor do logaritmo:
a) log 4 32 b) log 10 0 , 01 c) log 2 2 4
1
Questão 02 Calcule o valor do logaritmo: a) log 4 16 b) log 5125
c) log 3 27 d) log 636
Questão 03 Calcule o valor do logaritmo:
a) 9
log 3 b) 32
log (^2)
c) 27
log 3 d) 125
log (^5)
log a = x b
logaritmando
logaritmo (que é o resultado)
base
Questão 04 Calcule o valor do logaritmo:
a) log 27 81 b) log 125 25 c) 81
log 3
2
d) log (^0) , 1254 e) 4
log 5
2 f)^ log^0 , 20 ,^008
g) log (^0) , 25 32 h) log 5 729 381 i) log 3 25 125
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
À partir da definição de logaritmo, podemos estabelecer as seguintes situações:
log (^) k 1 = 0
log (^) kk = 1
log k k m = m
k a k a = log
se log (^) k a = log kb , então a = b
Vamos ver algumas questões:
Questão 01 Calcule o valor de: a) log 7 1 b) log 13 1 c) log 1 3
2
Questão 02 Calcule o valor de:
a) log 7 1 b) log 23 23 c) log 1 3
2 d)^ log^55
Questão 03
a) log 7 73 b) log 5 5 −^13 c) log (^0) , 020 , 027 d) log 3 ( 3 )−^5
Questão 04 Calcule o valor de:
a) log 32 3 b) 2 1 +log^25
Questão 05 Calcule o valor de x : a) log 6 x =log 68
b) log 6 ( 2 x )=log 68
c) log 3 8 x =log 316
d) log x^2 =log x
e) log ( 1 ) log 3 5
1 5
1 x − =
EXERCÍCIOS
Questão 01 log 4 16 é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Questão 02
O valor de log (^0) , 0130 , 1 é:
a) 2
− b) 6
− c) 6
d) 2
Questão 03
Seja [ ] [ ]
0 3 1 3 − ( − 2 )^2 −log 9 ⋅(− 2 + 5 ) − − 8 −.
O valor dessa expressão é:
a) 3
b) 5
− c) 6 d) − 2
Questão 04
O valor da expressão ( 3 5 ) log 4
2
0
(^23)
− + −
é:
a) − 7 b) − 1 c) 1 d) 2 e) 7
Questão 05
Simplificando log 81
3
6 , encontramos:
a) 16 b) 12 c) 8 d) 4
Questão 06 O valor da expressão log 2 64 − log 327 é igual a:
a) 3 b) 13 c) 17 d) 31
Questão 07
Se 2 m^ = 3 , então log 2 54 é igual a:
a) 2 m + 3 b) 3 m + 1 c) m + 6 d) m + 3
Questão 08
Se a = ln x e b = e^2 , então b a é igual a: a) x b) ln x
c) 2 x
d) ln x
Questão 09 Se log 4 ( x + 2 )+log 2 ( x + 2 )= 3 , o valor de x é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
Questão 10
A soma dos valores reais de x que satisfazem a equação 3 ⋅ log^28 x =log 2 x é:
a) 1 b) 3 c) 7 d) 9
Questão 11 O valor do pH é um número aproximado entre 0 e 14 que indica se uma solução é acida (pH < 7), neutra (pH = 7) ou básica / alcalina (pH > 7).
Em química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do in-
verso da respectiva concentração de H 3 O + (íon hidroxônio), ou ainda, que o pH de
uma solução aquosa é definido pela expressão pH = −log [ H +] em que [ H +] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução.
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que nela, a concentra-
ção de Hidrogênio era [ H +^ ]= 5 , 4 ⋅ 10 −^8 mol/L.
Para calcular o pH dessa solução ele usou os valores aproximados de 0, 30 para log 2 e 0, 48 para log 3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o log dessa solução foi: a) 7, 26 b) 7, 32 c) 7, 58 d) 7, 74
Questão 12 O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H 3 O +é igual a 4 , 8 ⋅ 10 −^8
mol/L (em média). Qual será o pH desse líquido?
Questão 18 A “massa vegetal” de uma floresta varia com o tempo t e pode ser dada por
Mv ( t )= 3 et. Tomando para unidade de massa vegetal, a que existe no começo de
1900, início da contagem do tempo ( t = 0), e para unidade de tempo, o século:
a) Calcule a massa vegetal existente no início de 1.500. b) Determine a massa vegetal prevista para o começo de 2.050. De quanto será o seu aumento em relação a 1.900? c) Em que ano a massa vegetal será o dobro da que existia em 1.900?
Questão 19 A massa m (em gramas) de uma cultura de bolor sujeita a um certo conjunto de condi-
ções ambientais aumenta de acordo com a fórmula (^) t e
m t −
( ) , em que t re-
presenta o tempo (em dias).
a) Qual é a massa inicial da cultura? b) Qual é a massa da cultura depois de 15 dias? c) Resolva a equação m ( t )= 2 e explique o seu significado. d) Explique a forma como evolui o crescimento da massa da cultura. e) Escreva a equação que exprime t em função de m.
Questão 20 A população de um certo vírus cresce de tal forma que a sua dimensão ao fim de t dias é
dada por D ( t )= D 0 ⋅ 2 k ⋅ t , em que D 0 representa a dimensão inicial da população.
a) Para D 0 = 1.000 a população duplica ao fim de 20 dias. Qual deve ser o valor de k? b) Qual é a dimensão da população ao fim de 15 dias? c) Qual é a dimensão da população ao fim de 25 dias? d) Determine, aproximadamente, ao fim de quanto tempo teremos D ( t )= 2. 750.
e) O que significa a condição D ( t )< 1. 500? Resolva.
Questão 21 Segundo uma pesquisa, após x meses da constatação de uma epidemia, o número de
pessoas por ela atingida é dada pela fórmula f x 2 x 2 15 4
=. Daqui a quanto tem-
po, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será de 2.000?
Questão 22 Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegra- rem (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m (^) 0 gramas de massa se de-
componha segundo a equação matemática: () 0 1070
t mt m
− = ⋅ , onde m ( t ) é a quantidade
de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.
Questão 23
A radioatividade de um composto decresce de acordo com a fórmula A ( t )= A 0 ⋅ e −^0 ,^2 t ,
onde A 0 é a quantidade de composto inicialmente presente e t é o tempo em segundos após a observação inicial. Sabe-se que inicialmente havia 20 gramas do composto. a) Quantos gramas do composto haverá 10 segundos depois da observação inicial? b) Quanto tempo terá que decorrer para que a quantidade do composto se reduza à me- tade?
Questão 24 A partir de um certo ano, a população de uma cidade passou a crescer de acordo com a
função P = 50. 000 ⋅( 1 , 02 ) n , onde n representa os anos e P , o número de habitantes. Sa-
bendo que log 1 , 02 = 0 , 009 , faça uma previsão de quando essa cidade atingirá 500.
habitantes.
Questão 25
A expressão M = C ⋅( 1 + i ) n permite calcular o montante M , resultante da aplicação do capital C a juros compostos, à taxa i num período de tempo n. Nessas condições, se o capital de R$ 8.000, 00 for aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano, após quanto tempo de aplicação serão obtidos juros no valor de R$ 7.000, 00?
Questão 26 Um capital de R$ 50.000, 00 foi colocado numa caderneta de poupança que rende 2,5% ao mês. Admitindo não haver retiradas, após quanto tempo o saldo dessa aplicação será de R$ 122.070, 31?
Questão 27 Em quanto tempo R$ 2.000, 00 produziu um montante de R$ 2.205, 00 em regime de capitalização composta a 5% ao mês?
Questão 28 Um investimento de R$ 50.000, 00 dá um juro de 7% ao ano. Capitalizando continua-
mente e após t anos, o investimento terá um valor de 50. 000 ⋅ e^0 ,^07 t. Ao fim de quantos anos, aproximadamente, o investimento terá duplicado de valor?
Questão 33 As indicações R 1 e R 2 , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R (^) 2 − R 1 =log N , onde N mede a razão entre as energias liberadas pelos dois
terremotos, sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Supondo que houve um terremoto, correspondente a R 1 (^) = 8 e outro correspondente a R 2 (^) = 5 , então o
valor de N
é igual a:
a) 5
log b) 5
c) 3 d) log 3 10 e) 103
Questão 34 A intensidade I de um terremoto, medido na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8 , 9 , para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula
0
log 3
E
E
I = ⋅ onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e
3 0 7 10 E = ⋅ − kWh.
a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplica- da a energia liberada?
Questão 35 A altura média do tronco de uma certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h ( t )= 1 , 5 +log 3 ( t + 1 ), com h ( t ) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi
cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de: a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2
Questão 36 Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser ex- pressa, aproximadamente, em função do seu peso p (dado em kg), pela relação A ( p )= − 0 , 52 + 0 , 55 ⋅ln( p ).
a) O Paulinho tem 1, 4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Paulinho estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso? b) Verifique que, para qualquer valor de p, a diferença A ( 2 p )− A ( p )é constante. De-
termine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais).
Questão 37 A figura abaixo representa um reservatório com três metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de 14 horas. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após ter começado a ser esvaziado, é dada por h ( t )= log 2 ( a − bt ), com t ∈[ 0 , 14 ], onde a e b são constan-
tes reais e positivas. a) Calcule o valor de a e de b. b) Prove que a taxa de variação média de h no intervalo [ 6 , 11 ]é − 0 , 2. Interprete es-
se valor no contexto da situação acima.
Questão 38 O coração é uma “bomba” muscular no homem pode exercer uma pressão manométrica máxima de cerca de 120 mmHg (120 tor ou 12) no sangue durante a contração (pressão sistólica), e de cerca de 80 mmHg (80 tor ou 8) durante a relaxação (pressão diastólica). A pressão sanguínea, então, é aquela exercida pelo sangue contra a parede dos vasos sanguíneos. A pressão arterial (PA) é medida com o aparelho de pressão (esfigmomanômetro), cujo manguito (braçadeira) deve se adaptar ao braço, logo acima da dobra do cotovelo. Com esse aparelho nós obtemos a pressão máxima (sistólica) e a pressão mínima (diastólica). A fórmula empírica P ( x )= 40 + 25 ⋅ln( x + 1 ), é válida para x entre 0 e 65, calcula aproximadamente a pressão sistólica do sangue de uma pessoa, medida em milímetros de mercúrio co- mo função da idade x da pessoa medida em anos.
Considerando ln 2 = 0 , 70 , a medida da pressão sistólica, em centímetros de mercúrio,
calculada pela fórmula acima para uma pessoa com 15 anos de idade é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
3 m h ( t )
Questão 42 Em certo país com população A (em milhões de habitantes) é noticiado pela TV a im- plantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabi-
am da notícia após t ≥ 0 horas é dado pela fórmula At e
A
f t − ⋅
( ). Sabe-se também
que decorrida 1 hora da divulgação do plano, 50% da população já estava ciente da no- tícia. a) Qual foi a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado? b) Qual a população do país? c) Após quanto tempo, 80% da população estava ciente do plano?
Questão 43 Uma empresa de detergentes lançou um novo produto no mercado e não obteve o êxito esperado. Para minorar as baixas vendas do produto, a empresa investiu numa campa- nha publicitária. Após t dias do início da campanha publicitária, o número V , em milha-
res de vendas do novo produto é dado pela expressão V ( t )= k ⋅ e^0 ,^2 t.
a) Calcule o valor de k , sabendo que dois dias após o início da campanha o número de vendas era de 746. Indique o valor de k encontrado. b) A campanha publicitária termina quando o número de vendas atingir a produção máxima da empresa, que corresponde a 10.000 unidades. Quantos dias durou a cam- panha?
Questão 44 Numa padaria, os biscoitos saem do forno a 180º C. Sabendo que a temperatura se reduz à metade ao fim de 20 minutos e que a expressão que dá a temperatura T em graus cen-
tígrados é do tipo T ( t )= 18 + a ⋅ e − k ⋅ t ( t em horas, k > 0).
a) Calcular o valor de a e de k. b) Quanto tempo é preciso esperar para embalar os biscoitos, sabendo que eles só po- dem ser embalados abaixo de 30º C?
Questão 45 Quando o pão sai do forno, a sua temperatura é de aproximadamente 100º C. Para arre- fecer, é colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de 23º C. Passados 3 minutos a sua temperatura é de aproximadamente 74º C. Depois de sair do forno, ao fim
do tempo t , em minutos, a temperatura do pão é dada por T ( t )= 23 + 77 ⋅ e − k ⋅ t.
a) Calcule o valor de k. b) Qual será a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno? c) Para embrulhar o pão, é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a 40º C. Paulo entrou na padaria no momento em que o pão saindo do forno. Ele quer comprar pão, mas como já está atrasado para ir para a escola, diz que só pode espe- rar entre 3 e 5 minutos. Será que o Paulo irá levar o pão?
Questão 46 Foi criada uma zona industrial onde inicialmente trabalhavam 1.000 pessoas. A expres-
são que rege o número de milhares de postos de trabalho é (^) t e
a N t 0 , 5 1 2
= em fun-
ção do tempo t em anos. a) Determine o valor de a. b) Determine ao fim de quantos meses o número de trabalhadores ultrapassa 2.000.
Questão 47 Os veterinários usam pentobarbitol de sódio para anestesiar animais. Suponha que a do- se d (em miligramas) necessária para anestesiar um cachorro de 20 kg, durante um tem-
po t (em horas) é dada por () 600 24
t d t = ⋅.
a) Qual a dose necessária para anestesiar um cachorro com o peso indicado, durante 90 minutos? b) Durante quanto tempo ficará anestesiado um cachorro de 20 kg, se lhe for aplicada uma dosagem de 0, 9 gramas?
Questão 48 Um petroleiro, que navegava no oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar óleo. Admita que, às t horas do dia seguinte ao acidente, a área em km^2 , de óleo espalhado sobre o oceano, é dada por A ( t )= 16 ⋅ e^0 ,^1 t , t ∈[ 0 , 24 ].
a) Verifique que para qualquer valor de t , ()
A t
A t +
é constante. Determine um valor aproximado dessa constante e interprete esse valor, no con- texto da situação descrita.
b) Admita que a mancha de óleo é circular, com centro no local onde o petroleiro enca- lhou. Sabendo que esse local se encontra a 7 km da costa, determine a que horas, do dia seguinte ao acidente, a mancha de óleo atingirá a costa.
- a) 100 b) 1, c) 13 d) crescerá infinitamente
- a) 0, b) 1,65 e 0, c) 2.
- a) 1 g b) 2,5 g c) 1d 19h d) à medida que o tempo passa, a massa tende a 2,5 g
e) m
m t 1 0 , 4
ln −
- a) 20
k =
b) 1. c) 2. d) 29 dias e) é o mesmo que perguntar: durante quanto tempo a dimensão desse ví- rus é inferior a 1.500, logo para t < 11 dias.
- 7 dias
- t = 63 anos
- 3,5 s
- 111 anos
- 5a 6m 18 d
- 3 anos
- 2 meses
- 10 anos
- B
- a) 8,
b) 3 , 5481 × 1024 ergs c) E = 10 1 ,^5 M + 11 , 8
d
100
1
M
M
33. E
- a) 7 ⋅ 109
b) 10 10
35. B
- a) 33 kg b) 0,
- a) Provar b) Provar – No intervalo de tempo considerado, entre às 6h e 11h, após o início do vazamento, a altura da água no reservatório diminuiu à ra- zão de 0,2m (20cm) por hora.
- E
- 9.200m
- a) 717,8 mm de mercúrio b) 3.195m
- 1h 20min
- a) 20% de A b) 2.772.589 habitantes c) 2h
- a) k = 500 b) 15 dias
- a) provar b) no mínimo 1 hora
- a) k = 0, b) 24º C c) não levará o pão
- a) 3. b) 2a 9 m
- a) 778 mg b) 2h 20min
- a) 1,1 significa que a área da man- cha espalhada sobre o oceano, cres- ce à razão de 1,1 km por hora, ou ainda, a área da mancha cresce 10% por hora. b) 2h 38 min
