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ANO: 11 º ANO DATA: OUT
TEMA: TRIGONOMETRIA.
TIPO: FICHA DE APOIO AO ESTUDO
LR MAT EXPLICAÇÕES
1. Razões trigonométricas num triângulo retângulo (exercício de exame nacional)
Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo
[𝐴𝐵𝐶], cujos catetos [𝐴𝐵] e [𝐵𝐶], medem 5 unidades.
Considera que um ponto P se desloca sobre o cateto
[
]
nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição do
ponto P, seja 𝑥 a amplitude, em graus, do ângulo BAP
(𝑥 ∈ ] 0 , 45°[ ).
Mostra, usando exclusivamente métodos analíticos, que para
cada valor de 𝑥, o perímetro do triângulo [𝐴𝑃𝐶] é dado por:
cos 𝑥
2. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos (exercícios de exames nacionais)
2.1 De um triângulo, sabe-se que os comprimentos dos seus lados são 4, 5 e 6.
Seja 𝛼 a amplitude do maior ângulo interno desse triângulo.
Qual é o valor de 𝑠𝑒𝑛
, arredondado às milésimas?
(A) 0 , 989 (B) 0 , 992 (C) 0 , 995 (D) 0 , 998
2.2 Na figura ao lado, está representado um triângulo [𝐴𝐵𝐶].
Sabe-se que:
B
D
Qual é o valor de 𝐴𝐵
, arredondado às centésimas?
(A) 3 , 31 (B) 3 , 35 (C) 3 , 39 (D) 3 , 43
3. Ângulo orientado e ângulo generalizado.
Indica o par ordenado que identifica o ângulo generalizado de amplitude −2250°.
Identifica o quadrante ou eixo a que pertence o lado extremidade deste ângulo.
4. Radiano
4.1 Um arco de uma circunferência correspondente a um ângulo de 2,8 radianos mede 14 cm.
Quanto mede o raio dessa circunferência?
4.2 Considera um setor circular de amplitude 1,8 radianos numa circunferência de raio 8 cm. Determina
o comprimento do arco correspondente.
5. Conversão de graus para radianos e de radianos para graus
5.1 Converte 330° em radianos.
5.2 Converte em graus, minutos e segundos, arredondado às unidades, a amplitude
GH
I
expressa em
radianos.
6. Razões trigonométricas de ângulos orientados na circunferência trigonométrica
Na figura está representada, em referencial ortonormado do plano, a
circunferência trigonométrica.
A semirreta 𝑂𝑃
forma com o semieixo positivo 𝑂𝑥 um ângulo 𝛼. As
coordenadas do ponto 𝑃 são:
(A)
− cos 𝛼 , 𝑠𝑒𝑛 𝛼
(B)
cos 𝛼 , 𝑠𝑒𝑛 𝛼
(C)
cos 𝛼 , −𝑠𝑒𝑛 𝛼
(D)
− cos 𝛼 , −𝑠𝑒𝑛 𝛼
7. Sinal e monotonia das razões trigonométricas
7.1 Sejam 𝛼 e 𝛽 dois ângulos do 2º quadrante tais que 𝛼 < 𝛽. Então podemos afirmar que:
(A) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 < 𝑠𝑒𝑛 𝛽 (B) cos 𝛼 > cos 𝛽
(C) 𝑡𝑔 𝛼 > 𝑡𝑔 𝛽 (D) Nenhuma das anteriores.
8.2 Simplifica o mais possível as seguintes expressões.
(a) 𝑐𝑜𝑠 a
GH
S
− 𝑥b − 𝑡𝑔
+ 𝑠𝑒𝑛 a
H
S
+ 𝑥b
(b)
fgha
i
`
^jb]klma
ni
`
^jb
klma
ni
`
^jb]fgha
i
`
]jb
8.3 Na figura seguinte estão representados, em referencial ortonormado do plano:
- a circunferência trigonométrica;
- o ângulo, de amplitude 𝛼, que tem por lado origem o semieixo
positivo das abcissas e por lado extremidade a semirreta 𝑂
- o ponto 𝐵, que pertence à reta 𝑟 e tem ordenada √ 5.
Sabe-se que a reta 𝐴𝐵 contém a origem do referencial.
Determina o valor exato da expressão:
S
− cos (𝛼)
8.4 Sabendo que 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥) =
√
S
G
r
H
S
s
, determina o valor da seguinte expressão:
2 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥) + cos(−𝑥)
9. Demonstrações envolvendo razões trigonométricas
Mostra que:
9.1 a𝑠𝑒𝑛
× cos
fgh
n
( t
)
klm(t)
b × 𝑡𝑔
S
(𝛼) ×
O
uv
`
(t)
S
10.Exercícios globais (exames nacionais)
10.1 Na figura ao lado está representada, em referencial o.n.
𝑥𝑂𝑦, a circunferência de centro 𝑂 e raio 5.
Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência
com os semieixos positivos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦, respetivamente.
Considera que um ponto 𝑃 se desloca ao longo do arco 𝐴𝐵,
nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.
Para cada posição do ponto 𝑃, sabe-se que:
- o ponto 𝑄 é o ponto do eixo 𝑂𝑥 tal que 𝑃𝑂
- a reta 𝑟 é a mediatriz do segmento [𝑂𝑄];
- o ponto 𝑅 é o ponto de interseção da reta 𝑟 com o eixo 𝑂𝑥;
- 𝛼 é a amplitude, em radianos, do ângulo 𝐴𝑂𝑃 a𝛼 ∈ r 0 ,
H
S
sb.
Seja 𝑓 a função, de domínio r 0 ,
H
S
s, definida por 𝑓
cos
Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
(a) Mostra que a área do triângulo
[
]
é dada por 𝑓(𝛼).
(b) Determina o valor de 𝛼, pertencente ao intervalo r 0 ,
H
S
s, para o qual se tem 𝑓
= 25 cos
S
(c) Seja 𝜃 um número real, pertencente ao intervalo r 0 ,
H
S
s, tal que 𝑓
Determina o valor de (𝑠𝑒𝑛(𝜃) + cos(𝜃))
S
10.2 Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o
círculo trigonométrico.
Os pontos A, B, C e D são os pontos de interseção da circunferência
com os eixos do referencial.
Considera que um ponto 𝑃 se desloca ao longo do arco 𝐵𝐶, nunca
coincidindo com B nem com C.
Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco AB que tem
ordenada igual à ordenada do ponto P e seja R o ponto do eixo 𝑂𝑥
que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q.
Seja 𝛼 a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo
𝑂𝑥 e por lado extremidade a semirreta 𝑂
𝑃, a𝛼 ∈ r
H
S
, 𝜋sb.
Resolve os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
(a) Mostra que a área do trapézio
[
]
é dada por −
G
S
cos
(b) Para uma certa posição do ponto P, a reta OP interseta a reta de equação 𝑥 = 1 num ponto de
ordenada −
I
S_
Determina, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [𝑂𝑃𝑄𝑅].
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
