Princípio geral da multiplicação : Se, para realizar uma tarefa, forem necessárias duas etapas e se existirem m maneiras de realizar a primeira etapa e se, para cada uma delas, existirem n maneiras de realizar a segunda etapa então a tarefa pode ser realizada de m × n maneiras diferentes. Nota: Este princípio pode generalizar-se a qualquer número de etapas.

Princípio geral da adição : Se uma certa tarefa se pode realizar de duas maneiras diferentes que se excluem mutuamente e se existirem m maneiras de realizar a primeira alternativa e n maneiras de realizar a segunda, alternativa, então existem m + n maneiras diferentes de realizar a tarefa. Nota: Este princípio pode generalizar-se a qualquer número de alternativas.

1 ) Um cofre tem duas rodas com as letras indicadas na figura ao lado. a) O código que permite abrir o cofre é obtido selecionando uma letra da primeira roda e uma letra da segunda roda. Quantos códigos diferentes se podem formar? b) Sabendo ainda que a letra da primeira roda é uma consoante e a letra da segunda roda é uma vogal, quantos códigos diferentes se podem formar?

2 ) Na figura ao lado estão representados:

. o rio que atravessa certa localidade;

. uma ilha situada no leito desse rio;

. as oito pontes que ligam a ilha às margens.

H representa a habitação e E a escola de um jovem dessa localidade. Para efetuar o percurso de ida (casa - ilha - escola) e volta (escola– ilha– casa), o jovem pode seguir vários caminhos que diferem uns dos outros pela sequência de pontes utilizadas. Indique quantos caminhos diferentes pode o jovem seguir, num percurso de ida e volta , sem passar duas vezes pela mesma ponte. (A) 5  3 + 4  2 (B) 5  4  3  2 (C) 5 + 4+ 3+ 2 (D) 52  32

3) Uma turma do 12º ano é constituída por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas. A comissão será formada por três pessoas: um presidente , um tesoureiro e um responsável pelas relações públicas. a) Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo ocupar qualquer um dos três cargos, quantas comissões distintas poderiam ser formadas? b) Admita agora que o delegado de turma pode, ou não, fazer parte da comissão. Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas? Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos do mesmo sexo.

SOLUÇÕES 1)a) 144 b) 18 2) B 3 ) a ) 1656 b )10 350

4) De um grupo de trinta pessoas pretendemos escolher uma comissão de três elementos: um presidente, um tesoureiro e um secretário. De quantas maneiras podemos diferentes fazer a nossa escolha a) Sem qualquer restrição? b) Se a Joana se recusar a participar na comissão? c) Se a Joana e o Paulo só aceitarem fazer parte da comissão em conjunto? Uma resposta correta para este problema é: 28 × 27 × 26 + 3× 2 × 28 Numa composição, explique porquê.

5) Dois rapazes e três raparigas vão fazer um passeio num automóvel com cinco lugares, dois à frente e três atrás. De acordo com estas restrições, de quantos modos distintos podem ficar dispostos os cinco jovens no automóvel? a) Sabendo que apenas os rapazes podem conduzir? b) Sabendo que apenas os rapazes podem conduzir e que a Inês, namorada do Paulo, tem de ficar ao lado dele? c) Sabendo que apenas os rapazes podem conduzir e que a Inês, namorada do Paulo, não quer ficar ao lado dele?

6)a) Quantos números pares de cinco algarismos diferentes se podem escrever, utilizando os algarismos do número 12 345? b) Considere todos os números que se podem obter alterando a ordem dos algarismos do número 12 345 Quantos desses números são ímpares e maiores do que 40 000? c) Considere todos os números ímpares com cinco algarismos. Quantos desses números têm quatro algarismos pares e são superiores a 20 000? d) Quantas capicuas existem com cinco algarismos, sendo o primeiro algarismo: d 1 ) ímpar? d 2 ) par e) Quantos números naturais de três algarismos diferentes se podem escrever, não utilizando o algarismo 2 nem o algarismo 5? (A) 256 (B)278 (C) 286 (D) 294 f) Considere todos os números pares com cinco algarismos. Quantos destes números têm quatro algarismos impares? g) Utilizando os algarismos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9}, quantos números de três algarismos é possível formar de modo que o produto dos seus algarismos seja um número par? h) Quantos números de quatro algarismos diferentes começados por 7 têm a soma dos algarismos par?

7 )a) Um novo país, a Colorilândia, quer escolher a sua bandeira, que terá quatro tiras coloridas verticais. Estão disponíveis cinco cores diferentes. Como é óbvio, duas tiras vizinhas não podem ser da mesma cor. Quantas bandeiras diferentes se podem fazer nestas condições? b) Pretende-se fazer uma bandeira com cinco tiras verticais, respeitando as seguintes condições:

. duas tiras vizinhas não podem ser pintadas da mesma cor; . cada uma das três tiras centrais pode ser pintada de vermelho ou de amarelo. . cada uma das tiras das extremidades pode ser pintada de branco, de azul ou de verde. De acordo com estas condições quantas bandeiras diferentes se podem fazer? (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 32

8)a) Dois rapazes e quatro raparigas vão sentar-se num banco corrido com seis lugares. De quantas maneiras o podem fazer, de modo que fique um rapaz em cada extremidade do banco? b) Nove jovens, três rapazes e seis raparigas, vão dispor-se, lado a lado, para uma fotografia. De quantas maneiras o podem fazer, de modo que os rapazes fiquem juntos? c) A Ana, a Bárbara, a Catarina, o Diogo e o Eduardo vão sentar-se num banco corrido, com cinco lugares. De quantas maneiras o podem fazer, ficando uma rapariga no lugar do meio?

4)a) 24 360 b) 21 924 5)a) 48 b) 14 c) 34 6)a) 48 b) 30 c) 2500 d)d 1 ) 500 d 2 ) 400 e) D f) 3125 g) 279

h) 264 7)a) 320 b) B 8)a) 48 b) 30 240 c) 72