matemática 12. ano exercicios, Exercícios de Matemática

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METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDÁRIO – MATEMÁTICA A

Caderno de Apoio

12.º ANO

António Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Luísa Loura, Maria Clementina Timóteo

Caderno de Apoio 12.º ano – Introdução Página 1

INTRODUÇÃO

Este Caderno de Apoio constitui um complemento ao documento Metas Curriculares de Matemática do Ensino Secundário – Matemática A. Na elaboração das Metas Curriculares utilizou-se um formato preciso e sucinto, não tendo sido incluídos exemplos ilustrativos dos descritores. Neste documento apresentam-se várias sugestões de exercícios e de problemas, comentários relativos a algumas opções tomadas no documento principal e informações complementares para os professores.

Procurou-se realçar os descritores que se relacionam com conteúdos e capacidades atualmente menos trabalhados no Ensino Secundário embora se tenham incluído também outros de modo a dar uma coerência global às abordagens propostas. Estas escolhas não significam, porém, que se considerem menos relevantes os descritores não contemplados. Longe de se tratar de uma lista de tarefas a cumprir, as atividades propostas têm um caráter indicativo, podendo os professores optar por alternativas que conduzam igualmente ao cumprimento dos objetivos específicos estabelecidos nas metas. Aos exemplos apresentados estão associados três níveis de desempenho. Os que não se encontram assinalados com asteriscos correspondem a um nível de desempenho regular, identificando-se com um ou dois asteriscos os exemplos que correspondem a níveis de desempenho progressivamente mais avançados.

Para além das sugestões de exercícios e problemas a propor aos alunos entendeu-se

incluir também textos de apoio para os professores. Destinam-se a esclarecer questões de

índole científica que fundamentam os conteúdos do Programa e que poderão ajudar à seleção

das metodologias mais adequadas à lecionação.

Outra possibilidade, adotada em algumas das atuais teorias dos fundamentos da Matemática, consiste em começar por considerar a relação de equipotência como uma condição com duas variáveis, embora não exista o conjunto dos pares ordenados que satisfazem essa condição (caso contrário existiria, por exemplo, o conjunto das respetivas primeiras coordenadas que seria o conjunto de todos os conjuntos…). Dado um conjunto qualquer, o cardinal de , , é então definido a partir da condição (em ) « é equipotente a », aplicando-lhe o chamado “símbolo de escolha de Hilbert”, muitas vezes representado pela letra grega com a variável da condição em índice e cujo resultado, intuitivamente, consiste em “escolher” ou seja, fixar de uma vez por todas, um dos objetos que satisfaz a condição a que se aplica o referido símbolo, se a condição for possível, ou (em certas formulações) um objeto sem qualquer restrição se a condição for impossível. Assim, por definição teríamos: ( )

Os números naturais, neste quadro, podem então ser definidos simplesmente como os cardinais dos conjuntos finitos não vazios (e o número como o cardinal do conjunto vazio), definindo-se conjunto finito como um conjunto que não é equipotente a uma sua parte estrita (o conjunto dos números naturais, de acordo com esta definição, é de facto “infinito”, ou seja, não é finito, já que, por exemplo, é equipotente ao conjunto dos números pares). Note-se que, com esta formulação, uma vez que o único conjunto equipotente ao conjunto vazio é o próprio conjunto vazio, como facilmente se prova, temos mesmo:

. No que diz respeito aos resultados básicos da combinatória, importa assinalar que o processo geral para “contar” o número de elementos de determinado conjunto é estabelecer uma correspondência biunívoca (ou seja, definir uma bijeção) entre o conjunto que se pretende contar e um conjunto cujo cardinal é, de algum modo, já conhecido. Trata-se muito simplesmente de uma extensão natural dos processos mais elementares de contagem, que utilizam, para conjuntos-padrão, por exemplo, os dedos das mãos ou a lista dos “nomes dos números”, que se obtêm pela memorização de um conjunto de palavras-base e de regras de formação dos nomes dos números consecutivos a partir dessas palavras, ou ainda as respetivas representações simbólicas, utilizando um dado sistema de numeração.

2.2 Informação Complementar para o professor

Uma vez que a adição de números naturais foi introduzida num nível muito elementar de escolaridade (de facto logo no 1.º ano do Ensino Básico) e portanto, necessariamente, de modo informal (ainda que traduzindo as características essenciais desta operação), este descritor pode considerar-se como uma possível definição rigorosa de adição, até para quaisquer cardinais, embora aqui nos interessem particularmente os finitos, ou seja os que se identificam com números naturais ou com o zero. Com efeito, dados dois quaisquer conjuntos e é fácil definir conjuntos e respetivamente equipotentes a e a mas agora, garantidamente, com interseção vazia, bastando, por exemplo, tomar {^ }^ e {^ }; assim, a igualdade

quando lida “da direita para a esquerda”, pode ser interpretada como uma definição de soma do cardinal de com o cardinal de (e portanto, se, em particular, e forem finitos, da soma de dois números inteiros não negativos). Com efeito, é fácil verificar que ( ) não depende da escolha dos conjuntos e , desde que se mantenham as propriedades de serem respetivamente equipotentes a e a e de terem interseção vazia.

2.3 Comentário

Tal como a adição, também a multiplicação de números naturais foi introduzida logo na fase inicial do 1.º ciclo do Ensino Básico (no 2.º ano), apresentando-se essencialmente dois processos para se obter o produto de um número natural por um número natural : considerar a soma de parcelas iguais a ou considerar o número de pares que se podem formar escolhendo um dos elementos do par num conjunto com elementos e o segundo num conjunto, disjunto do primeiro, com elementos ( cf. Metas curriculares de Matemática para o Ensino Básico, NO2-7.1 e 7.3).

No programa do 2.º ano de escolaridade ( cf. Metas curriculares de Matemática para o Ensino Básico, NO2-7.5) considerou-se a disposição, numa malha retangular, de um certo número de objetos, mostrando-se que esse número pode ser calculado como o produto, por qualquer ordem, do número de linhas pelo número de colunas; do mesmo modo, cada um dos “nós” dessa malha, pode representar um par formado por um objeto associado à coluna e por um objeto associado à linha que se intersetam nesse “nó”. Nessa fase consideraram-se conjuntos disjuntos para se efetuarem os emparelhamentos, por não se dispor ainda da noção de par ordenado, pelo que os pares aqui referidos eram apenas entendidos como conjuntos com dois elementos que podiam assim ser materializados pela conjugação, com algum objetivo prático, de dois objetos distintos (por exemplo, conjuntos calça-camisola).

Assim, com estas observações elementares, chegou-se à noção de produto de números naturais e à respetiva utilização para contagens de conjuntos de pares, que podem agora ser assimilados a conjuntos de pares ordenados, associando à primeira posição do par ordenado um dos conjuntos em que se escolhem os objetos a emparelhar e a segunda posição ao outro conjunto. Podemos portanto, agora, traduzir os resultados a que se chegou nessa fase inicial do Ensino Básico dizendo que “o cardinal do produto cartesiano é igual ao produto dos cardinais dos conjuntos fatores”.

Esta última asserção pode mesmo ser tomada como definição do produto de cardinais, finitos ou infinitos; nesse caso nada haveria a provar quanto ao resultado expresso no descritor 2.3, que seria o caso particular da definição geral de produto de cardinais em que os conjuntos são finitos e não vazios.

No entanto, considerando a definição usual algébrica de produto de números naturais acima referida, ou seja, como a soma de parcelas iguais a ( ), identificando-se uma soma “com uma parcela” com a própria parcela, há que demonstrar o que foi informalmente justificado no 1.º ciclo do Ensino Básico, a saber que, dados conjuntos finitos e , se e , então. Para o efeito, podemos agora utilizar o Princípio de indução matemática e propriedades elementares da adição de números naturais (a própria definição de produto pode ser formalizada pelo método de recorrência, caso não se disponha previamente de uma definição rigorosa de “soma de parcelas”, a qual também poderia ser dada por recorrência).

Com efeito, fixado , o resultado é trivial para , já que, nesse caso, por definição, e, considerando um conjunto unitário ( i.e. com exatamente um elemento) { } e um conjunto qualquer, é imediato que os conjuntos e são equipotentes, pois é obviamente uma bijeção a aplicação de em que ao par ( ) de associa o elemento de.

Mais geralmente, dado um conjunto pode introduzir-se a expressão “família indiciada em ” como outro modo de designar os gráficos das aplicações com domínio , e pode representar-se uma tal família com uma notação semelhante à das sequências ou sucessões, ou seja, por ( ) , sendo a imagem de pela referida função. Assim, dada uma família de conjuntos ( ) podemos definir o produto cartesiano da família com sendo o conjunto:

Deste modo, no caso particular em que os são todos iguais a determinado conjunto , a notação representa, coerentemente, o produto cartesiano de uma família indiciada em “constantemente igual a ”.

Apresentam-se em seguida exemplos de exercícios que também podem ser utilizados para o reconhecimento da propriedade expressa neste descritor, com diferentes níveis de generalidade e profundidade nas abordagens.

1. Conte quantas sequências diferentes se podem formar inserindo 4 missangas num fio, sabendo que as missangas têm 3 cores possíveis: vermelho, verde e azul.
2. Considere todas as possíveis funções de domínio {^ }^ e conjunto de chegada {^ }. 2.1 Represente-as por diagramas de setas. Mostre que o número destas funções pode ser escrito na forma de uma potência de base e expoente natural. 2.2 Represente-as utilizando a notação habitual das sequências. 2.3 Construa uma bijeção do produto cartesiano { } { } { } sobre o conjunto destas funções. 2.4 *Generalizando o processo utilizado na alínea anterior mostre que, dados números naturais e existem funções de domínio { } e de conjunto de chegada { }, ou seja, sequências de elementos com valores em { }. 2.5 *Justifique que, dados objetos, existem exatamente formas distintas de efetuar extrações sucessivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações.
3. **Fixado um número natural , prove por indução matemática (em ) que para todo o número natural existem exatamente funções de domínio num dado conjunto com elementos e de conjunto de chegada com elementos e conclua que dados objetos, existem exatamente formas distintas de efetuar extrações sucessivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações.

2.5 1. Considere um conjunto { } com elementos. 1.1. Determine em extensão todas as partes não vazias de. Quantos subconjuntos tem ? 1.2. Mostre que se obtêm todas as partes de associando a cada sequência ( ) de termos iguais a ou a o subconjunto de constituído pelos elementos tais que (por exemplo, à sequência ( ) associa-se o conjunto { }). 1.3. Justifique que existem exatamente sequências das referidas na alínea anterior, sem as construir explicitamente; compare o resultado obtido com o resultado da alínea 1.1. 1.4. Utilizando argumentos inspirados nas duas alíneas anteriores justifique que se um conjunto tiver elementos ( ) então ( ) tem elementos.

2. *Prove por indução que, para qualquer , um conjunto com elementos tem subconjuntos.
3. Considere um conjunto qualquer e seja ( ) o conjunto das partes de. 3.1. **Mostre que é bijetiva a aplicação de ( ) no conjunto das aplicações de em { } (^) que a cada associa a aplicação { } (^) tal que, para cada : ( ) { 3.2. *Atendendo à alínea anterior, justifique que se tiver elementos ( ) então ( ) tem elementos.

Informação Complementar para o professor

O resultado expresso na alínea 3.1 acima mostra que para qualquer conjunto , finito ou infinito, ( ) ({ } ), onde { } representa o conjunto das aplicações do conjunto em {^ }. Ora, podemos estender a noção de potência a cardinais não necessariamente finitos tomando, por definição:

( )

(demonstra-se que esta definição é coerente, ou seja, não depende da escolha dos conjuntos e mas apenas dos respetivos cardinais, pois é fácil construir uma bijeção entre e desde que sejam dadas bijeções respetivamente entre e e entre e ). Então podemos dizer que, para qualquer conjunto ,

( ) ({^ }^ )

Não é difícil concluir que ( ) não é nunca equipotente a ; se estendermos a todos os cardinais a relação de ordem (lata) dos números naturais, considerando que se for equipotente a uma parte de , é óbvio que ( ), já que é obviamente equipotente à parte de ( ) constituída pelos subconjuntos de com um único elemento. Assim, se provarmos que ( ), teremos sempre ( ), e como consequência, podemos concluir que não há um cardinal maior ou igual a todos os outros (existe sempre um cardinal estritamente superior a um dado cardinal).

Para provarmos que um conjunto não pode ser equipotente a ( ) basta provar que não pode existir nenhuma aplicação sobrejetiva de sobre ( ); com efeito, dada uma aplicação ( ), podemos facilmente concluir que o conjunto { ( )} é um elemento de ( ) que não está no contradomínio de. De facto, se existisse tal que ( ) , se tivéssemos ( ), por definição de teríamos , pelo que essa hipótese conduz a uma contradição. A existir um tal , resta então apenas a hipótese de se ter , ou seja, (^ )^ mas nesse caso, mais uma vez por definição de , teríamos , nova contradição que mostra finalmente que não pode existir um tal , ou seja, não pode estar no contradomínio de. Portanto não pode ser sobrejetiva: não existem aplicações sobrejetivas de sobre ( ).

Comentário

A definição de pode ser dada por recorrência, caso não se disponha previamente de uma definição rigorosa do produto de fatores, neste caso particular representado por ( ) ( ) (^) , definição essa que, evidentemente, também pode ser dada por recorrência, no caso geral. Neste caso podemos simplesmente apresentar essa definição, englobando os casos tratados nos descritores 2.6 e 2.7, através de:

primeiro termo de uma sucessão particular de elementos distintos de determinado conjunto com elementos pode ser escolhido de maneiras distintas, em seguida sobram apenas objetos para escolher como segundo elemento, ou seja, há no total (^ )^ maneiras distintas de escolher os dois primeiros elementos da sucessão e reproduzindo este raciocínio até se chegar ao termo de ordem da sucessão haverá no total (^ )^ (^ ) maneiras de escolher todos os termos de uma tal sucessão (quando se vai fazer a -ésima escolha já só sobram ( ) elementos no conjunto, já que se fizeram previamente escolhas), número que pode evidentemente ser representado por (^) ( ). Apresentam-se em seguida exemplos de exercícios que também podem ser utilizados para um reconhecimento desta propriedade com diversos níveis de profundidade e generalidade.

1. Dez atletas vão fazer uma corrida. Conte de quantas maneiras diferentes se poderão colocar três deles no pódio.
2. *Considere todas as possíveis funções injetivas de domínio {^ }^ e conjunto de chegada { } (sequências de dois elementos distintos do conjunto { }). 2.1 Represente-as utilizando a notação habitual das sequências. Para cada escolha do primeiro termo de uma dessas sequências, quantas escolhas possíveis sobram para o segundo termo? 2.2 *Generalizando o resultado da alínea anterior mostre que, dados números naturais e , , existem ( ) ( ( )) (^) ( ) funções injetivas de domínio

{ } e de conjunto de chegada {^ }^ , ou seja, (^) ( ) sequências de elementos com valores dois a dois distintos em { }. 2.3 Justifique que, dados objetos, existem exatamente (^) ( ) formas distintas de efetuar extrações sucessivas de um desses objetos, sem reposição do objeto escolhido após cada uma das extrações.

3. **Fixado um número natural , prove por indução matemática (em ) que, para todo o número natural existem exatamente (^) ( ) funções injetivas de domínio num dado conjunto com elementos e de conjunto de chegada com elementos e conclua que dados objetos, existem exatamente (^) ( ) formas distintas de efetuar extrações sucessivas de um desses objetos, sem reposição do objeto escolhido após cada uma das extrações.

2.9 Comentário

A justificação pedida pode muito simplesmente resultar da observação segundo a qual os subconjuntos com elementos de um conjunto com elementos podem ser encarados como os contradomínios das funções injetivas de { } em. Com efeito, tais contradomínios têm elementos, e, para qualquer subconjunto com elementos de , existe, por definição, uma bijeção de { } sobre , que, evidentemente, determina uma função injetiva de { } em , com o mesmo gráfico. Esta observação pode ser formulada, numa linguagem mais intuitiva, em termos de sequências, que é outro modo de designar as funções de domínio { } para um dado número natural ; ou seja, o que acabámos de verificar pode exprimir-se dizendo que um subconjunto de com elementos é exatamente o conjunto dos termos de uma sequência ( ) de elementos distintos de. Estas sequências são o que se chama “arranjos sem repetição de elementos a ”, de acordo com o descritor 2.8, sendo os “elementos” escolhidos em.

Ora as funções injetivas de { } em de contradomínio (ou seja, as sequências de elementos com valores em , com um dado conjunto de termos distintos) podem ser todas obtidas de uma delas compondo-a com as diferentes permutações do conjunto { }. Com efeito, dadas duas dessas funções injetivas, considerando as bijeções que determinam de { } sobre , a composta da inversa de uma com a outra é evidentemente uma permutação de { }; são portanto em número de. Por outras palavras, novamente numa linguagem mais intuitiva, podemos observar que para cada subconjunto { } de com elementos existem exatamente sequências (^) ( ) tais que (^) { } { }, cada uma delas resultante de uma “permutação dos termos da sequência ( )”: cada subconjunto com elementos de pode associar-se aos arranjos sem repetição formados com esses elementos.

Assim, para se obter o número de subconjuntos de com elementos basta dividir por o número total de sequências de termos distintos de elementos de (arranjos sem repetição dos elementos de a ), que sabemos ser (^) ( ) (de acordo com o resultado expresso no

descritor 2.8), ou seja, obtemos (^) ( ). No caso em que , o único subconjunto de em questão é o vazio e, também nesse caso, obtemos o resultado pretendido, pois

( ).

Note-se que também se provou, indiretamente, que (^) ( ) é um número natural, o que pode não parecer claro à partida.

2.10 1. Exprima cada uma das seguintes somas algébricas como uma única fração e simplifique-a tanto quanto possível. 1.1.

1.2.

1.3. (^) ( ) , para número natural

1.4. (^) ( ) ( ) , para número natural

1.5. , para número natural superior a 1

2. Justifique que é um número natural.
3. Prove, para e números naturais tais que , que ( ) ( ) é

múltiplo de

4. Determine para que valor natural de se verifica:

4.1.

( ) 4.2 **

3.1 1. Considere a experiência de repartir um baralho de cartas pelo João e pela Joana. Ao João dão-se cartas e a Joana fica com as restantes. 1.1. Quantos conjuntos diferentes, de cartas, pode o João receber? 1.2. Quantos conjuntos diferentes pode a Joana receber? 1.3. Justifique que as duas alíneas anteriores têm o mesmo resultado e traduza essa igualdade usando combinações.

Apresentam-se em seguida exemplos de exercícios que podem ser propostos aos alunos para reconhecerem a validade do binómio de Newton, tanto em casos particulares como no caso geral.

1. Considere os polinómios nas variáveis e , ( ) e ( ) 1.1. Determine formas reduzidas dos polinómios. 1.2. Indique os valores de e na seguinte expressão, de modo que se torne numa igualdade verdadeira entre polinómios: ( ) 1.3. Escreva as formas reduzidas obtidas para em 1.1 na forma de somatório. 1.4. Determine uma forma reduzida para o polinómio, nas variáveis e , ( ) e escreva-a também na forma de somatório.
2. *Considere e o polinómio nas variáveis e , (^ )^. Utilizando a definição de produto de polinómios, pretende-se obter uma forma reduzida deste polinómio; para o efeito resolva as seguintes questões, justificando todas as respostas: 2.1. Ao aplicar-se sucessivamente a definição de produto de polinómios ao produto de fatores iguais a , no resultado final qual é o grau de cada monómio parcela do polinómio produto? 2.2. Quais os valores possíveis para na expressão , parte literal de um dos monómios parcelas de uma forma reduzida de ( )? Para cada um desses valores de que valores pode ter? 2.3. Numerando de até os fatores do produto representado por ( ) (ou seja, considerando a sequência indiciada em { } com os termos todos iguais a ) mostre que, para cada {^ }, existe uma correspondência biunívoca entre os subconjuntos com elementos de {^ }^ e as parcelas da forma que resultam da aplicação da definição de produto de polinómios a ( ). 2.4. Conclua das alíneas anteriores que se obtêm formas reduzidas do polinómio (^ )^ , expressas nas igualdades:

( ) ∑ ∑

3. ** Prove por indução que:

( )

4.1 1. Considere subconjuntos e de um conjunto. Simplifique as seguintes expressões, nomeando as propriedades aplicadas. 1.1 (^ ̅ ) 1.2 ( ̅) 1.3 ( ̅) 1.4 ( ) ( ̅) 1.5 *[ (̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅)] ̅

2. Indique, justificando, para cada uma das seguintes igualdades, se é verdadeira para quaisquer conjuntos , e , subconjuntos de um dado conjunto e, caso contrário, apresente um contraexemplo. 2.1 ̅ 2.2 ( ) 2.3 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅
3. Um conjunto tem elementos. Determine o número de subconjuntos que pode definir a partir deste conjunto que tenham: 3.1 elementos; 3.2 elementos; 3.3 elementos.
4. Seis jovens, a Ana, a Beatriz, o Carlos, a Dália, o Eduardo e a Filipa vão concorrer a um sorteio de seis viagens, a saber, a Barcelona, Berlim, Londres, Madrid, Paris e Roma. Supondo que cada jovem vai ganhar uma viagem, de quantas maneiras diferentes pode resultar este sorteio?
5. Os alunos de uma turma vão participar num torneio de andebol de cinco, sendo distribuídos por cinco equipas, identificadas pelas letras e. De quantas maneiras diferentes poderá ser feita a distribuição dos alunos pelas equipas?
6. Lançou-se um dado cúbico com as faces numeradas de a e um dado octaédrico com as faces numeradas de a e registaram-se os números das faces que ficaram voltadas para cima. Identifique o número de resultados possíveis para esta experiência.
7. *Um conjunto tem subconjuntos. Quantos desses subconjuntos tem exatamente elementos?
8. **Justifique, sem utilizar o Princípio de indução matemática, que , qualquer que seja .

upas 4.2 1. Determine quantos códigos de algarismos é possível formar.

2. Um código é formado por sete caracteres dos quais quatro têm de ser algarismos e três têm de ser vogais. Quantos códigos diferentes é possível formar tais que: 2.1. os algarismos e as vogais sejam dispostos de forma alternada? 2.2. os símbolos iniciais e finais sejam algarismos e as vogais estejam juntas? 2.3. as vogais fiquem nos lugares centrais e os algarismos sejam todos ímpares? 2.4. *haja unicamente dois algarismos iguais a? 2.5. *não haja qualquer restrição à forma como se dispõem?
3. Utilizando os algarismos do conjunto { } , quantos números de três algarismos é possível formar de modo que: 3.1. tenham exatamente dois algarismos iguais a? 3.2. os números sejam múltiplos de? 3.3. *o produto dos algarismos seja um número par?
4. **De quantas maneiras se podem colocar 6 fichas distintas em 9 caixas, podendo haver mais do que uma ficha por caixa, mas não mais de quatro em cada caixa?

15. Considere os pontos (distintos) , pertencentes a uma circunferência. Quantas cordas existem com extremos nestes pontos?
16. Numa gelataria há oito sabores diferentes, sendo cinco sabores de fruta e ainda sabor a café, a chocolate e a amêndoa. De quantas maneiras é possível escolher três sabores diferentes para um copo, se: 16.2. não houver qualquer restrição? 16.3. unicamente dois dos sabores forem de fruta? 16.4. pelo menos um dos sabores for de fruta? 16.5. o sabor a café e a kiwi não forem pedidos simultaneamente? 16.6. os sabores a café e a amêndoa forem sempre pedidos em conjunto?
17. De quantas maneiras é possível selecionar cinco cartas de um baralho de 52 cartas de forma que: 17.2. quatro sejam figuras e uma seja ás? 17.3. *duas sejam figuras e três sejam cartas de espadas?
18. Quantos divisores naturais tem o número?
19. Considere um prisma hexagonal reto. 19.2. *Quantas retas distintas passam por dois vértices do prisma e não contêm qualquer aresta do prisma? 19.3. Das retas identificadas na alínea anterior, quantas são paralelas às bases? 19.4. Um vértice de uma base e dois vértices da outra base são vértices de um mesmo triângulo. a) *Quantos desses triângulos existem? b) **Desses triângulos, quantos são retângulos? 19.5. *Pretende-se pintar as faces do prisma de modo que duas faces com arestas comuns não tenham a mesma cor. Sabendo que existem seis cores disponíveis, de quantas maneiras diferentes é possível pintar o prisma?
20. Quantos caminhos existem, seguindo as linhas da quadrícula, que liguem o ponto ao ponto passando por e sem andar da direita para a esquerda nem de cima para baixo?

1. Determine os valores possíveis de tais que.
2. O sexto e o sétimo elementos de uma linha do triângulo de Pascal são iguais. Qual é o elemento central da linha seguinte?
3. Determine sabendo que e que.
4. *Sabendo que, dados números naturais e , , que ,

e que , determine , , e.

A

B

C

5. Sabe-se que ( ). Determine:

5.1.

5.2. *

6. Determine o desenvolvimento das seguintes expressões utilizando a fórmula do binómio de Newton e simplificando tanto quanto possível cada uma das parcelas assim obtidas. 6.1 ( ) 6.2 ( )

6.3 ( )

7. Determine, para , o 6.º termo do desenvolvimento pelo binómio de Newton de cada uma das seguintes expressões e apresente-o na forma mais simplificada.

7.1 ( )

7.2 * ( (^) √ )

8. *Considere a seguinte expressão ( ) ( (^) √ ). Determine, relativamente ao

desenvolvimento de ( ) pelo Binómio de Newton, o termo: 8.1 independente de. 8.2 de grau 3.

9. Utilizando o desenvolvimento do binómio de Newton, determine o valor de cada uma das seguintes expressões, onde é um número natural.

9.1 9.

10.**Determine a soma dos coeficientes dos termos de uma forma reduzida do polinómio ( ) , utilizando o Binómio de Newton.

∑

∑

∑ ( ) ∑ ( )

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dois incompatíveis pode ser calculada efetuando a “soma” das probabilidades desses acontecimentos, entendendo-se esta soma de uma infinidade de parcelas (que é o que chama a “soma de uma série”) como o limite da sucessão cujo termo geral é a soma das probabilidades dos primeiros acontecimentos da família, previamente ordenados de modo arbitrário.

3.1 1. O código de um cofre é formado por vogais seguidas de algarismos. Selecionando um código deste tipo ao acaso, qual a probabilidade de ter: 1.1 pelo menos duas vogais diferentes e os algarismos todos iguais? 1.2 unicamente uma letra e dois algarismos iguais a? 1.3 *pelo menos um algarismo igual a?

2. Num saco existem bolas indistinguíveis ao tato, das quais cinco são azuis e numeradas de a e seis são vermelhas e numeradas de a. 2.1. Extrai-se uma bola ao acaso e observou-se a cor e o número. Qual a probabilidade de obter: 2.1.1 uma bola com número par? 2.1.2 uma bola azul com número ímpar? 2.1.3 uma bola vermelha com um número primo? 2.2. Extraiu-se uma bola e depois outra bola repondo a primeira e observou-se a cor e o número de cada uma delas. Qual a probabilidade de obter: 2.2.1 duas bolas da mesma cor? 2.2.2 uma bola com número par e outra com número ímpar? 2.2.3 duas bolas iguais? 2.3. Extraiu-se simultaneamente três bolas e observou-se a respetiva cor e número. Qual a probabilidade de obter: 2.3.1 três bolas da mesma cor? 2.3.2 duas bolas com número par e uma com número ímpar? 2.3.3 uma bola azul e duas bolas vermelhas, ambas com números pares?
3. Considere todos os números compostos por três algarismos diferentes. Selecionando um deles ao acaso, qual a probabilidade de: 3.1. ter todos os algarismos pares? 3.2. ser divisível por 5? 3.3. *ser superior a 250?
4. A Joana e cinco amigos vão ao cinema e os bilhetes correspondem a seis lugares consecutivos de uma dada fila. Sabendo que vão distribuir os bilhetes aleatoriamente, qual a probabilidade de: 4.1. a Joana ficar com um bilhete correspondente a um lugar numa das pontas? 4.2. a Amélia e a Joana terem bilhetes correspondentes a lugares seguidos? 4.3. a Joana e a Luísa não ficarem ao lado uma da outra?
5. Considere uma grelha quadrada com quadrículas. Nesta grelha vão ser colocadas aleatoriamente fichas iguais, não mais do que uma por quadrícula. Qual a probabilidade de: 5.1. as duas diagonais ficarem preenchidas? 5.2. unicamente uma linha ficar totalmente preenchida? 5.3. ficarem preenchidas duas colunas?

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6. Considere um octógono regular. 6.1. Selecionando dois vértices ao acaso, qual a probabilidade de o segmento por eles determinado: 6.1.1 corresponder a um lado do octógono? 6.1.2 passar pelo centro do octógono? 6.2. *Selecionando três vértices ao acaso, qual a probabilidade de o triângulo por eles determinado ser retângulo?
7. *Uma urna tem 12 cartões numerados de 1 a 12. Retiram-se sucessivamente dez cartões e dispõem-se lado a lado. Qual a probabilidade de: 7.1. ficarem 5 cartões com números pares, seguidos de 5 cartões com número ímpares? 7.2. somente os últimos quatro cartões terem números pares? 7.3. os cartões com os números e ficarem seguidos?
8. *Escolheram-se aleatoriamente duas das parcelas do desenvolvimento pelo binómio de Newton da expressão ( ) , com. Determine a probabilidade de que o respetivo produto seja negativo.

3.2 1. Dado um conjunto finito , uma probabilidade em ( ) e dois acontecimentos ( ) tais que ( ) , ( ) e (^ ̅ )^ , determine: 1.1. ( ̅ ̅ ) 1.2. ( )

2. Dado um conjunto finito , uma probabilidade em (^ )^ e dois acontecimentos ( ), prove que: 2.1. (^ )^ (^ ̅ ̅ ) 2.2. ( ) ( ) ( ) 2.3. * ( ) ( ̅ ) ( ) ( ̅ ̅ ) 2.4. * (^ ̅ )^ (^ )^ (^ )
3. Dado um conjunto finito , uma probabilidade em ( ) e dois acontecimentos possíveis e equiprováveis ( ) tais que (^ )^ , (^ )^. Determine: 3.1. ( ) 3.2. ( ̅ ̅)

3.3 1. Prove, dado um conjunto finito , uma probabilidade em ( ) e dois acontecimentos ( ), ( ) , que ( ̅ ̅ ) ( ) ( ).

2. Seja um conjunto finito, uma probabilidade em ( ) e ( ) tais que ( ̅) , ( ) ( ) e ( ). 2.1. Justifique que os acontecimentos ̅ são disjuntos e exprima ( ) em função de ( ). 2.2. Determine: 2.2.1. (^ ). 2.2.2. ( ).
3. Seja um conjunto finito, uma probabilidade em ( ) e ( ) tais que ( ) , ( ) ( ) e ( ). Averigúe se e são acontecimentos independentes.