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CAPÍTULO 4
PROBABILIDADE DE BAYES
1. Partição de um espaço amostral
Os eventos B B B 1 , 2 , 3 ,..., Bk , formam uma partição do espaço amostral S , se:
a) p B ( i ) 0,para i 1,2,3,..., k
b) Bi Bj , para i j
c) 1
k i i
B S
Exemplo 1:
No lançamento de um dado tem-se o espaço amostral S 1,2,3,4,5,6 e
definimos os eventos B 1 1 , B 2 2,3,4 e B 3 5,6. Os eventos B B 1 , 2 e B 3 formam
uma partição de S , pois, valem as três condições: a), b) e c).
Teorema 1: Se os eventos B B B 1 , 2 , 3 ,..., Bk , formam uma partição do espaço amostral S e
A S , então
1
k i i i
p A p A B p B
Demonstração: A figura ilustra uma partição de S com A S. Assim podemos escrever:
A ( A B 1 (^) ) ( A B 2 ) ... ( A Bk ) , como A é a união de conjuntos disjuntos, usamos
a definição de probabilidade:
p A ( ) p A ( B 1 (^) ) p A ( B 2 ) ... p A ( Bk ) (I) e para cada termo das parcelas
usamos a probabilidade do produto, assim
p A ( B 1 (^) ) p A B ( / 1 (^) ). ( p B 1 )
p A ( B 2 (^) ) p A B ( / 2 (^) ). ( p B 2 )
p A ( B 3 (^) ) p A B ( / 3 (^) ). ( p B 3 )
............................................. p A ( Bk ) p A B ( / (^) k ). ( p B (^) k ). Substituindo em (I) segue:
B 1
B 2
B 3 B 4
Bk
A
p A ( ) p A B ( / 1 (^) ). ( p B 1 ) + p A B ( / 2 (^) ). ( p B 2 )+ p A B ( / 3 (^) ). ( p B 3 )+...+ p A B ( / (^) k ). ( p B (^) k )e colocando
em forma somatório tem-se:
1
k i i i
p A p A B p B
Exemplo 2:
Na cidade de Catu existem três lojas que revendem televisores. A loja A revende 25%, a loja B, 35% e a C, 40% dos televisores. Um cliente deseja comprar um televisor de LCD com 42 polegadas, em virtude do bom atendimento e da localização dessas lojas, a probabilidade de comprar na loja A é 10%, na loja B é 12% e na loja C é 18%. Qual a probabilidade de ter adquirido um televisor de 42 polegadas?
Solução: Seja L: televisor de LCD com 42 polegadas
Do enunciado podemos escrever:
p A ( ) 0,25; p L A ( / ) 0,
p B ( ) 0,35; p L B ( / ) 0,12^ e, portanto:^ p L ( ) 0,25x0,1+0,35x0,12+0,4x0,18=0,
p C ( ) 0,4; p L C ( / ) 0,
2. Teorema de Bayes
Se os eventos B B B 1 , 2 , 3 ,..., Bk , formam uma partição do espaço amostral S e seja
A S ,^ então
1
j j j k
i i i
p A B p B p B A
p A B p B
Da definição de probabilidade condicional, podemos escrever:
j j
p A B p B A p A
1
j j k
i i i
p A B p B
p A B p B
Exemplo 3: Adotando o mesmo enunciado do exemplo 1, podemos fazer a seguinte pergunta:
Um televisor de LCD com 42 polegadas foi adquirido, qual a probabilidade de tem sido
comprado na loja C?
Solução: Devemos determinar p C L ( / )
p L C p C
p L
=
0,4x0,
0,
=
A
L
B C
Exercícios de aplicação 14:
- Na sala do Curso de Estatística 30% dos rapazes e 10% das garotas têm mais que
1,65 m de altura. Sabe-se que 60% dos alunos são rapazes. Se um aluno é selecionado
aleatoriamente e tem mais que 1,65 m de altura, qual a probabilidade dele ser garota?
- Uma urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de prata e uma urna B tem 4 moedas de ouro e
3 moedas de prata. Uma moeda é selecionada ao acaso e verifica-se que é de ouro. Qual a
probabilidade de ter vindo da urna B?
- Na sala do 1° semestre da Disciplina de Estatística 20% dos rapazes e 12% das garotas
estão estudando Matemática. Um estudante é escolhido ao acaso e observa-se que é
estudante de Matemática. Qual a probabilidade do estudante ser rapaz sabendo-se que 60%
do corpo discente é formado por rapazes?
- Em uma assembléia estão reunidos os alunos dos 3 primeiros semestres e tem as
seguintes proporcionalidades 20% ,30% e 50% dos alunos respectivamente. Sabe-se que
10%, 5% e 2% respectivamente por série são portadores da gripe suína.Se um aluno dessa
assembléia selecionado aleatoriamente é portador da gripe suína, então a probabilidade de
ser aluno do 2º semestre é
(A) 0,11. (B) 0,22. (C) 0,33. (D) 0,44. (E) 0,55.
- No terreiro de um sítio existem os seguintes animais:
Aves Suínos Ovinos Fêmeas 3 2 3 Machos 4 3 5
Um animal fugiu do terreiro e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser
uma ave?
