Matemática Discreta - Aula, Notas de estudo de Informática

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Matemática Discreta

Professor: Anselmo Pestana Ribeiro Costa

UFRJ – Universidade Federal do Rio de Janeiro

Motivação

• Provê um conjunto de técnicas, visando facilitar a modelagem problemas em Ciência da Computação;
• Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático) como um todo;

Introdução e Conceitos básicos

o Introdução à matemática Discreta o Conceitos básicos de teoria dos conjuntos o Conjuntos o Pertinência o Alguns conjuntos importantes o Conjuntos finitos e infinitos o Alfabetos, palavras e linguagens o Subconjunto e igualdade de conjuntos o Conjuntos na linguagem de programação

Introdução à matemática Discreta

• Praticamente qualquer estudo em computação e informática, teórico ou aplicado, exige como pré- requisito conhecimentos de diversos tópicos de matemática;
• A matemática, para a área da computação, deve ser vista como ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos computacionais;
• Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao domínio discreto, a matemática discreta é fortemente empregada.

Símbolos importantes

• a, b, ... variáveis e parâmetros
• A, B, ... Conjuntos
• ∈ pertence a
• ∉ não pertence
•  está contido - subconjunto
•  contém
• ∪ união de conjuntos
• ∩ interseção de conjuntos
• ∅ Conjunto vazio
• ∨ ou
• ∧ e
• | tal que
• ∀ todo, qualquer
• ⇒ implica (se então)
• ⇔ equivale (se e somente se)
• = igual
• ≠ diferente

• maior que

• < menor que
  • ≤ menor ou igual a
  • ≥ maior ou igual a
  • Σ somatório
  • !n fatorial
  • ∃ existe
  • Π produtório
  • ∃ não existe
  • ∞ infinito
  • ∃| existe apenas um / existe um único
  • ∫ integral
  • lim limite
  • log logaritmo
  • ln logaritmo natural (neperiano)
  • ~ negação (lógica)

Conjuntos

• O conceito conjunto é fundamental, pois praticamente todos os conceitos desenvolvidos em computação e informática, bem como os correspondentes resultados, são baseados em conjuntos ou construções sobre conjuntos.
• Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para construir estruturas mais complexas.
• Conjunto = coleção sem repetições e sem ordenação, de objetos denominados “elementos” (concreto ou abstrato) -> elemento = entidade básica Ñ formal

Conjuntos de elementos

• Por exemplo, conjuntos podem ser elementos.
  • Podemos considerar o conjunto dos alunos da Turma A2 da disciplina Matemática Discreta. Cada um dos alunos que compõem a turma é um elemento deste conjunto. Bruno é um elemento deste conjunto.
  • Podemos considerar o aluno Bruno como um conjunto de órgãos. Coração é um elemento de Bruno.

Conjuntos de conjuntos

• Podemos considerar o conjunto das pastas da pasta Meus documentos do desktop da Profa. Renata. Cada pasta armazenada nesta pasta é um elemento deste conjunto.
• Assim, um mesmo objeto pode tanto ser considerado como um elemento ou um conjunto, dependendo do contexto.

Cont...

• Muitas vezes é conveniente especificar um conjunto de outra forma que não por compreensão, como, por exemplo: - Digitos = { 0, 1, 2, 3, ...9} - Pares = { 2, 4, 6, ...} - Os elementos omitidos podem ser facilmente deduzidos do contexto.

Cont..

• Exemplos
• Semana = { seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}
• Duas vogais = { aa, ae, ai, ao, au, ea, ee, ei, eo, eu,..., ua, eu, ui, uo, uu}
• {x | x = y² sendo que y é um número inteiro}
  • { 0, 1, 4, 9, 16,...}

Pertinência

• Se um determinado elemento a não é

elemento de um conjunto A, tal fato é

denotado por:

a Є A

= elemento a não pertence ao conjunto A

Pertinência

Alguns conjuntos Importantes

• Conjunto vazio, sem elementos { }, representado por Ø - Conjunto de todos os brasileiros com mais de 300 anos - Conjunto de todos os números que são simultaneamente pares e impares.
• Conjunto Unitário, um único elemento, denotado por 1.

Conjuntos com denotação Universal

• N - Conjunto dos Números Naturais
  • São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: - N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} - N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
• Z - Conjunto dos Números Inteiros
  • São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: - Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} - Z+= {, 0, 1, 2, 3, 4, ...} ----------- Z- ={... -4, -3, -2, -1} - Z+ e Z- , idem excluindo-se o elemento 0.
• Q - Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q.
• I - Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perimetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
• R - Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.