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ORIENTAÇÕES PARA A RESOLUÇÃO
- O conteúdo exigido compreende o Capítulo I apresentado no Plano de Ensino da disciplina: (I) Teoria dos Conjuntos. 01. Sejam A e B conjuntos pertencentes ao universo U. Avalie as assertivas a seguir, atribuindo a cada uma (V) para verdadeira ou (F) para falsa. Justifique o motivo de considerar determinada assertiva falsa.
a) A∪~A = U b) A∩~A = ∅ c) A∩U= A d) A∪∅= A
e) A∪A = A f) A∩A = A g) ~(~A)=A h) ~∅ = U
i) A∪B = B∪A j) A∩ B = B∩A k) (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
l) (A∩B) ∩C = A∩ (B∩C) m) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
n) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) o) ~(A∪B) = ~A∩~B
p) ~(A∩B) = ~A∪~B
02. Dentre as proposições a seguir, assinale as verdadeiras. Considere que: S = {2, a, 3, 4}, R = {a, 3, 4, 1} e U é o conjunto universo.
a) a ∈ S b) a ∈ R c) R = S d) {a} ⊆ S
e) {a} ∈ S f) ∅ ⊆ S g) ∅ ∈ R h) {∅} ∈ S
i) U ⊇ S j) |P(S)| = 16 k) P(S) = P(R) l) {2, 4} ∈ P(S)
m) ∅ ⊆ P(R)
03. Quais declarações são verdadeiras e quais são falsas? Quais não têm significado?
a) 1 ∈ {1, 2, 3} b) 1 ∉ {1, 2, 3} c) {1} ∈ {1, 2, 3}
d) {1} ∉ {1, 2, 3} e) {1} ⊆ {1, 2,3) f) {1} ⊄{1, 2, 3}
g) A ∈ A h) A ∈ B i) A ⊄ B
j) A ⊇ B
04. Determine, explicitando os elementos constituintes, quais os conjuntos a seguir definidos: a) Números inteiros, positivos e ímpares; b) Números inteiros, positivos e cujo resto é 1 quando dividido por 4; c) Números inteiros, negativos e cujo resto seja -3 quanto dividido por 4; d) Números primos e ímpares; e) Números primos e pares.
05. Sejam os conjuntos A = {1, 1, 2, 2, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4} e U é o conjunto
universo. Ordene A, B, C e o ∅ de forma que o conjunto da direita seja um subconjunto do conjunto
da esquerda.
Curso Bacharelado em Ciência da Computação
Campus Jataí Disciplina Matemática Discreta Nome do(a) acadêmico(a) Assinatura
Nº de matrícula Turma 1º Período “A”
Bim. 1º
Data da Avaliação 04/03/
Professor(a) Wanderley de Souza Alencar
ATENÇÃO: Somente serão passíveis de REVISÃO avaliações resolvidas a TINTA.
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06. O matemático inglês John Venn (1834-1923), escritor da obra Symbolic Logic (Lógica Simbólica), publicada em 1881, foi responsável por divulgar a utilização de “diagramas lógicos” para representar operações entre conjuntos. Foi influenciado pelo trabalho de George Boole. Atualmente estes diagramas são chamados de Diagramas de Venn. Lewis Carroll (1832-1898), escritor da obra famosa obra Aventuras de Alice no País das Maravilhas , foi o primeiro a sistematicamente utilizar os diagramas inseridos num retângulo, como mostrado na figura a seguir:
A figura representa dois conjuntos, A e B, e destaca a intersecção existente entre eles. Solicita-se que você desenhe os diagramas correspondentes para: a) três conjuntos b) quatro conjuntos c) cinco conjuntos d) Existe alguma “fórmula geral” para descrever a intersecção de “n” conjuntos?
07. Seja o conjunto universo, U , aquele que corresponde a todas as pessoas. A é o conjunto de todos os bacharéis em Ciência da Computação, B é o conjunto de todos os contadores (mulheres e homens), C é o conjunto de todas as mulheres e, finalmente, D é o conjunto de todas as pessoas com idade igual ou superior a 40 anos. Determine o seguinte: a) O conjunto de todas as mulheres bacharéis em Ciência da Computação e que são também contadoras; b) O conjunto de todos os homens contadores com idade igual ou superior a 40 anos; c) O conjunto de todas as mulheres bacharéis em Ciência da Computação com idade abaixo de 40 anos e que são contadoras.
08. Simplifique a expressão (~(A∪∼(B∪C)∩~A∩~(B∩C)∪A)), sabendo que A, B e C são conjuntos
finitos.
09. Seja A = {1, 2, 3}. Determine A x {A – {2}} e A^2.
10. Sabe-se que |A|=4. Determine |A^2 | e | A |.
11. Sabendo-se que A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, determine P(A ∪ B).
12. Determine a cardinalidade dos seguintes conjuntos:
a) {x ∈ Ν | x ≤ 10 e 3 | x}
b) {x ∈ Ζ | 1≤ x^2 ≤ 2}
c) {x ∈ Ζ | x ∈ ∅}
d) {x ∈ Ζ | ∅ ∈ x}
e) 2 {1,2,3}
f) {x ∈ 2 {1,2,3,4}^ | |x| = 1}
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As aplicações do código incluem: matemática (criação de quebra-cabeças , solução do problema da Torre de Hanoi ), telegrafia/telecomunicações (correção de erros de comunicação), computação (algoritmos genéticos, mapas de Karnaugh), dentre outras.
Há um algoritmo para construir um n-Gray Code , ou seja, um Gray Code de n bits de comprimento: 1º Passo: Inicie a lista com os seguintes elementos: 0 1 2º Passo: Se uma lista de valores binários de comprimento n foi construída, para construir a lista de valores binários de comprimento (n + 1) basta, nesta ordem, tomar cada um dos valores da lista de comprimento n e precedê-los por um: a) 0 (zero); b) 1 (um).
Há também um algoritmo interativo para a geração do Gray Code por meio da utilização do código binário padrão:
1º Passo: A partir do código binário padrão, faça: a) inicie o código com 0(zero); b) inverta cada um dos bits cujo próximo bit de ordem mais elevada seja 1 (um); c) avance para o próximo código binário e repita o processo (b).
Elabore um algoritmo capaz de receber o valor de n , comprimento em bits do Gray Code , e gerar a sequência de valores binários em Gray Code.
21. Considere que A e B são dois conjuntos e que U é o conjunto universo. Prove, ou refute, as assertivas a seguir apresentadas.
a) A ∪ B = A ∩ B se, e somente se, A = B
b) |A ∆ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
c) |A ∆ B| = |A – B| + |B – A|
d) A ⊆ B se, e somente se, A – B = ∅
e) A ∆ B = B ∆ A
f) Todo número par maior que dois pode ser expresso por meio da soma de dois números primos
22. Considere a permutação π = [2, 4, 1, 6, 5, 3, 8, 9, 7] ∈ S 9. Expresse π em tantas formas
quantas for possível, incluindo as seguintes: a) como um conjunto de pares ordenados; b) como uma tabela de duas colunas; c) em notação de ciclos; d) como um diagrama de Venn;
e) como um diagrama com uma coleção de pontos para os números de 1 a 9 e setas de i para π(i),
com i = 1, 2, 3, ... , 9.
23. Quantas permutações em Sn, quando representadas em notação de ciclos , tem exatamente um ciclo? 24. Quantas permutações em Sn, quando representadas em notação de ciclos , não tem ciclo de comprimento um?
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25. Sejam π, σ e τ ∈ S 9 dadas por:
Calcule:
a) π o σ
b) σ o π
c) π o π
d) π
e) σ-
f) τ o τ
g) τ
26. Uma permutação τ ∈ Sn é chamada de transposição desde que: (i) ∃ i, j ∈ {1, 2, 3, ..., n}, i ≠ j
| τ(i) = j e τ(j) = i e (ii) ∀m ∈ {1, 2, 3, ..., n}, com m ≠ i e m ≠ j, tem-se que τ(m) = m.
Sabe-se que qualquer que seja uma permutação arbitrária π no conjunto finito de referência, esta
pode ser expressa por meio de uma composição de transposição definidas naquele conjunto.
Escreva as permutações a seguir como composição de transposições:
a) π = (1, 2, 3, 4, 5);
b) π = (1, 2, 3, 4, 5) (6, 7, 8) (9) (10, 11).
27. O Jogo das Quinze Peças consiste num quadro de 4 x 4 peças (ou seja, 4 linhas e 4 colunas) numeradas de 1 a 15, com um espaço vazio. Movem-se as peças nesse tabuleiro deslocando-se uma peça com número para a posição vaga. O diagrama A mostra a configuração inicial do jogo. Para jogá-lo, o leitor mistura as peças aleatoriamente e procura então restaurar a configuração inicial. Mostre que é impossível movas as peças da posição inicial para uma nova posição em que todos os números estejam em suas posições originais, mas com as peças 14 e 15 com suas posições trocadas (como no diagrama B).
DIAGRAMA A DIAGRAMA B
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REFERÊNCIAS PARA PESQUISA
- WASHBURN, Sherwood; MARLOWE, Thomas e RYAN, Charles T., Discrete mathematics , Addisson Wesley Longman, 2000.
- SCHEINERMAN, Edward R., Matemática discreta – uma introdução , São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
- GRASSMANN, Winfried Karl e TREMBLAY, Jean-Paul. Logic and discrete mathematics , New Jersey: Prentice Hall, 1996.
- GOODAIRE, Edgar G., PARMENTER, Michael M., Discrete mathematics with graph theory , 3. ed., Prentice Hall, 2005.
