Matemática Discreta, Notas de aula de Informática

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Jos´e Sousa Pinto

Universidade de Aveiro, 1999

T´opicos de Matem´atica Discreta

Texto de Apoio - 2005/

Departamento de Matem´atica UNIVERSIDADE DE AVEIRO

Quem comunica por escrito dever´a fazˆe-lo em L´ıngua Portuguesa, de uma forma que possa ser claramente entendida por qualquer pessoa mini- mamente familiarizada com as mat´erias sobre as quais discursa. E estrita´ obriga¸c˜ao de quem comunica fazˆe-lo de forma correcta dentro da “norma” da l´ıngua portuguesa. Isto significa, em particular, que

• devem ser usadas frases completas e gramaticalmente cor- rectas, por forma a serem produzidas afirma¸c˜oes claras rela- tivamente `as quais se possa dizer sem qualquer ambiguidade que s˜ao verdadeiras ou falsas (mas n˜ao ambas as coisas).
• n˜ao deve ser usada nota¸c˜ao matem´atica incorrecta nem for- mas de escrita estenogr´afica – as palavras existem para facilitar a comunica¸c˜ao e a sua grafia n˜ao deve, por isso, ser adulterada. E preciso respeitar n˜´ ao s´o a sintaxe, mas tamb´em a ortografia e as regras de pontua¸c˜ao da l´ıngua portuguesa. A “norma” da l´ıngua portuguesa ´e do conhe- cimento geral dos portugueses (letrados) – os dialectos (na- turais ou artificiais) s´o s˜ao reconhecidos por alguns, geral- mente poucos!
• deve explicar-se sempre o que se est´a a fazer.
• devem ligar-se as ideias e as f´ormulas matem´aticas por par- t´ıculas adequadas que explicitem o encadeamento dos racio- c´ınios feitos.
• ´e preciso ter muita aten¸c˜ao com a apresenta¸c˜ao: se o tra- balho realizado revelar falta de cuidado de sentido est´etico e de rigor, n˜ao se justifica que algu´em gaste tempo para ten- tar entender o seu conte´udo. Al´em disso, qualquer texto ser´a sempre valorizado pela originalidade da exposi¸c˜ao! Quem apresenta um trabalho n˜ao pode partir do princ´ıpio que quem o est´a a ler entende o que realmente se passou na mente de quem o escreveu. A resposta (escrita) a um problema ´e um di´alogo com um interlocutor in- vis´ıvel. A comunica¸c˜ao escrita pode n˜ao ser simples, mas ´e certamente da maior importˆancia para a vida do dia a dia de quem tem de agir em so- ciedade. Dispor de boa capacidade de comunica¸c˜ao escrita ´e muitas vezes de importˆancia crucial para um bom desempenho em muitas situa¸c˜oes da vida real: a comunica¸c˜ao escrita (assim como a oral) aproxima-se muito de uma arte e ´e como tal que deve ser encarada, mesmo em textos cient´ıficos!

Jos´e Sousa Pinto, Universidade de Aveiro, 1999

ii

´Indice Geral

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao `a L´ogica e Teoria

de Conjuntos

1.1 Teoria (intuitiva) de Conjuntos

A teoria dos conjuntos foi criada relativamente recentemente por Georg Can- tor (1845-1918) que definiu conjunto como sendo “uma colec¸c˜ao de objectos claramente distingu´ıveis uns dos outros, chamados elementos, e que pode ser pensada como um todo”. E claro que se n˜´ ao se tiver definido previamente o que se entende por “colec¸c˜ao” esta n˜ao ser´a uma defini¸c˜ao rigorosa para o termo “conjunto”. A fim de evitar defini¸c˜oes circulares, conjunto e ele- mento de um conjunto s˜ao duas no¸c˜oes que n˜ao se definem; um conceito quando ´e definido, ´e-o em termos de outros conceitos mais simples e n˜ao ´e habitual considerar conceitos logicamente mais simples que os de “conjunto” e “elemento de um conjunto”. Conjunto e elemento de um conjunto s˜ao as- sim termos primitivos que se admite serem do conhecimento de toda a gente (pelo menos de toda a gente que estuda Matem´atica). Esta sec¸c˜ao destina-se a relembrar conceitos baseados na no¸c˜ao de conjunto aqui considerado de forma intuitiva. Trata-se de um conceito de extraordin´aria importˆancia pois grande parte da matem´atica dos nossos dias pode ser constru´ıda a partir dele. Por este facto, o estudo da constru¸c˜ao de conceitos de matem´atica a partir da no¸c˜ao primitiva de conjunto ´e muitas vezes se designado por Fundamentos de Matem´atica.

Um conjunto designa-se geralmente por uma letra mai´uscula, 1 reser- vando-se as letras min´usculas para os seus elementos. A express˜ao simb´olica

x ∈ A

significa que “x ´e elemento de A”. A nega¸c˜ao de x ∈ A representa-se simbolicamente por x 6 ∈ A

e lˆe-se “x n˜ao pertence a A” (ou “x n˜ao ´e elemento de A”). Um conjunto pode ser descrito em extens˜ao (quando o n´umero dos seus elementos for finito e suficientemente pequeno) enumerando explicitamente todos os seus elementos colocados entre chavetas e separados por v´ırgulas ou em com- preens˜ao, enunciando uma propriedade caracterizadora dos seus elementos (isto ´e, uma propriedade que os seus e s´o os seus elementos possuam).

Exemplo 1.1 :

(1) Conjunto das vogais

V = {a, e, i, o, u}

descrito em extens˜ao; (2) Conjunto dos n´umeros naturais pares

P = {p ∈ IN : p = 2q para algum q ∈ IN}

descrito em compreens˜ao.

Conjunto universal e conjunto vazio. Intuitivamente poderia parecer razo´avel que se considerasse como conjunto qualquer colec¸c˜ao de objectos (reais ou imagin´arios). Tal atitude, por´em, conduz a situa¸c˜oes paradoxais, como se deu conta o fil´osofo inglˆes Bertrand Russel, por volta de 1901. Bertrand Russel come¸ca por observar que se se adoptar a concep¸c˜ao intuitiva de conjunto ent˜ao pode dizer-se que alguns conjuntos s˜ao membros de si pr´oprios enquanto outros n˜ao o s˜ao. Um conjunto de elefantes, por exemplo, n˜ao ´e um elefante e, portanto, n˜ao ´e um elemento de si pr´oprio; no entanto, o conjunto de todas as ideias abstractas ´e, ele pr´oprio, uma ideia abstracta, pelo que pertence a si pr´oprio. As propriedades “ser membro de si pr´oprio” e “n˜ao ser membro de si pr´oprio” parecem assim ser propriedades

(^1) N˜ao tem que ser assim: trata-se de uma mera conven¸c˜ao para facilitar o estudo.

enquanto que o conjunto de todos os n´umeros inteiros positivos ´e um con- junto infinito. De modo semelhante, ´e finito o conjunto de todos os planetas do sistema solar ou o conjunto de todos os n´umeros primos menores que 10103 ; pelo contr´ario, como mais `a frente se mostrar´a, ´e infinito o conjunto de todos os n´umeros primos. Se A for um conjunto finito, designar-se-´a por cardinalidade de A o n´umero dos seus elementos, o qual se representa por card(A). Um conjunto com cardinalidade igual a 1 diz-se singular. Quando um conjunto ´e infinito, ´e imposs´ıvel defini-lo em extens˜ao (in- dicando explicitamente os seus elementos); logo, se um conjunto puder ser definido em extens˜ao, ent˜ao certamente ser´a um conjunto finito. Por vezes para definir certos conjuntos infinitos usa-se uma nota¸c˜ao parecida com a defini¸c˜ao de um conjunto em extens˜ao: ´e o caso de

IN = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}

Note-se contudo que as reticˆencias representam a quase totalidade dos ele- mentos de IN qualquer que seja o n´umero de elementos que aparecem no in´ıcio.

Igualdade de conjuntos. Dois conjuntos s˜ao iguais se e s´o se tiverem os mesmos elementos.

Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se A = B. Para verificar se dois conjuntos s˜ao iguais basta verificar se todo o elemento de A ´e elemento de B e se todo o elemento de B ´e elemento de A. Se todo o elemento de A for tamb´em elemento de B (independentemente do facto de todo o elemento de B poder ser ou n˜ao elemento de A) dir-se-´a que o conjunto A est´a contido no conjunto B, o que se denota por A ⊆ B; neste caso tamb´em se diz que A ´e subconjunto de B. Se os conjuntos A e B forem iguais ent˜ao ter-se-´a A ⊆ B e, simultaneamente, B ⊆ A; reciprocamente, se A ⊆ B e B ⊆ A se verificarem simultaneamente ent˜ao tem-se A = B. Se for A ⊆ B e A 6 = B dir-se-´a que A ´e um subconjunto pr´oprio ou uma parte pr´opria de B e escreve-se A ⊂ B. De acordo com estas defini¸c˜oes resulta que quaisquer que sejam os conjuntos A e B

Ø ⊆ A, A ⊆ A, A = B se e s´o se [ A ⊆ B e B ⊆ A ]

Considere-se a prova de, por exemplo, Ø ⊆ A qualquer que seja o conjunto A. A ´unica forma de mostrar que esta inclus˜ao ´e falsa ´e verificar que Ø

possui um elemento que n˜ao pertence a A; ora como Ø n˜ao possui elementos ent˜ao aquela rela¸c˜ao verifica-se sempre.

Exerc´ıcios 1.1.

1. Mostrar que os conjuntos Ø, {Ø} e {{Ø}} s˜ao distintos dois a dois.
2. Mostrar que se A for um subconjunto do conjunto vazio ent˜ao A = Ø.
3. Dado um conjunto arbitr´ario A, (a) ser´a A membro do conjunto {A}? (b) ser´a {A} membro do conjunto {A}? (c) ser´a {A} um subconjunto de {A}?
4. Dados os conjuntos A = { 5 , 10 , 15 , 20 ,.. .} B = { 7 , 17 , 27 , 37 ,.. .} C = { 300 , 301 , 302 ,... , 399 , 400 } D = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 ,.. .} E = { 1 , 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 8 , 1 / 16 ,.. .} indicar, para cada um deles, uma propriedade que o especifique completa- mente.
5. Indicar quais dos conjuntos que se seguem s˜ao iguais: A = {− 1 , 1 , 2 } B = {− 1 , 2 , 1 } C = { 0 , 1 , 2 } D = { 2 , 1 , − 1 , − 2 } E = {x : x^2 = 4 ou x^2 = 1}
6. Determinar em extens˜ao os seguintes conjuntos A = {x ∈ IN : 8 = x + 3} B = {x ∈ IN : (x − 2)(x − 5) = 0} C = {x ∈ IN : x^2 + 22 = 13x} D = {x ∈ IN :

√ 5 x − 1 +

√ 3 x − 2 = 3} E = {x ∈ IN : (x + 1)(x + 2) < 11 }

7. Dizer quais dos conjuntos que se seguem s˜ao finitos e quais s˜ao infinitos. (a) O conjunto das linhas do plano que s˜ao paralelas ao eixo xx′. (b) O conjunto das letras do alfabeto. (c) O conjunto dos m´ultiplos de 5. (d) O conjunto dos animais existentes na Terra. (e) O conjunto das ra´ızes da equa¸c˜ao x^38 + 42x^23 − 17 x^18 − 2 x^5 + 19 = 0 (f ) O conjunto das circunferˆencias centradas na origem.

por exemplo, a letra x, o conjunto {a, b}, o conjunto {Ø} e o n´umero 4 podem constituir um novo conjunto que ´e o seguinte

{x, {a, b}, {Ø}, 4 }

Dado um conjunto arbitr´ario, ´e poss´ıvel construir novos conjuntos cujos ele- mentos s˜ao partes do conjunto inicial. Em particular, sendo A um conjunto qualquer, denota-se por P(A) o conjunto constitu´ıdo por todos os subcon- juntos (pr´oprios ou impr´oprios) de A, isto ´e,

P(A) = {X : X ⊆ A}

Seja, por exemplo, A = {a, b, c}; ent˜ao

P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

´e o conjunto das partes de A, com cardinalidade igual a 8 = 2^3.

Diagramas de Venn. As opera¸c˜oes com conjuntos podem ser represen- tadas pictoricamente pelos chamados diagramas de Venn que, embora n˜ao sirvam de prova formal, permitem visualizar e conjecturar muitos resultados sobre conjuntos. O conjunto universal ´e representado pelo interior de um rectˆangulo no qual s˜ao representados por c´ırculos os v´arios conjuntos com os quais se est´a a operar. Assim, por exemplo,

U A

B

C

´e um diagrama de Venn com trˆes conjuntos A, B e C onde se pode real¸car (com tracejado) o resultado das v´arias opera¸c˜oes realizadas com eles.

Nota 1.2 Os diagramas de Venn tornam-se de dif´ıcil ou mesmo imposs´ıvel uti- liza¸c˜ao quando o n´umero de conjuntos a considerar for superior ou igual a 4.

Exerc´ıcios 1.1.2 :

1. Qual ´e a cardinalidade dos seguintes conjuntos { 1 , 2 , Ø}, { 1 , { 1 , Ø}}, {Ø}, { 1 }, {{ 1 }}
2. Determinar a cardinalidade do conjunto

S =

{ p q : p, q ∈ IN 1 ∧ p, q ≤ 10

}

3. Seja U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } o conjunto universal. Dados os conjuntos A = { 1 , 3 , 5 , 7 }, B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e C = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }, definir em extens˜ao os conjuntos A ∩ B, B ∪ C, B ∪ Cc, A ∩ (B ∪ C), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (A ∩ B) ∪ C, A ∪ Ø, B ∩ Ø, A ∩ C, Uc
4. Sejam A, B e C trˆes conjuntos quaisquer contidos no universo U. Verificar as seguintes igualdades: (a) A ∪ Ac^ = U (b) A ∩ Ac^ = Ø (c) A ∩ B ⊆ A (d) A ∪ B ⊇ A (e) (Ac)c^ = A
5. Em que circunstˆancias s˜ao verdadeiras as igualdades que se seguem A ∪ B = A ∩ B A ∩ Bc^ = A A ⊆ Ø A ∩ B = B (A ∪ B) ∩ Bc^ = A (A ∩ Bc) ∪ B = A ∪ B
6. O facto de ser A ∪ B = D implica que seja D\B = A? Se n˜ao, o que pode concluir-se do facto de ser A ∪ B = D e D\B = A?
7. Sejam A e B dois subconjuntos do universo U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } tais que A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 }, A ∩ B = { 3 }, A\B = { 1 , 2 }, Ac^ = { 4 , 5 , 6 }

Determinar A, B e B\A.

Exerc´ıcios 1.1.3 Verificar a demonstra¸c˜ao do teorema 1.3 usando um diagrama de Venn apropriado.

Teorema 1.4 (Leis de Morgan.) Sendo A e B dois conjuntos arbitr´arios, ter-se-´a (a) (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc (b) (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc

Demonstra¸c˜ao: Tal como no teorema anterior, far-se-´a a demonstra¸c˜ao da primeira al´ınea deixando a segunda a cargo do leitor interessado, como exerc´ıcio. Para mostrar que se tem (A ∩ B)c^ ⊆ Ac^ ∪ Bc^ ´e suficiente verificar que qualquer elemento t ∈ (A ∩ B)c^ tamb´em pertence ao conjunto Ac^ ∪ Bc. Da hip´otese feita resulta que t n˜ao pertence `a intersec¸c˜ao de A e B e, portanto, n˜ao pertence simul- taneamente a A e a B. Logo pertencer´a ao complementar de A ou pertencer´a ao complementar de B, isto ´e, tendo em conta a arbitrariedade de t ter-se-´a

(A ∩ B)c^ ⊆ Ac^ ∪ Bc^ (1.3)

Suponha-se agora que s ∈ Ac^ ∪ Bc. Ent˜ao s ∈ Ac^ ou s ∈ Bc^ e, portanto, s 6 ∈ A ou s 6 ∈ B, donde decorre que s 6 ∈ A ∩ B. Consequentemente,

Ac^ ∪ Bc^ ⊆ (A ∩ B)c^ (1.4)

De (1.3) e (1.4) resulta a igualdade pretendida. 2

Exerc´ıcios 1.1.4 Verificar a demonstra¸c˜ao do teorema 1.4 usando um diagrama de Venn apropriado.

Exerc´ıcios 1.1.

1. Sendo P, Q, R trˆes conjuntos, indicar quais das afirma¸c˜oes que se seguem s˜ao verdadeiras. (a) Se P ´e um elemento de Q e Q ´e um subconjunto de R, ent˜ao P ´e um elemento de R. (b) Se P ´e um elemento de Q e Q ´e um subconjunto de R, ent˜ao P ´e tamb´em um subconjunto de R. (c) Se P ´e um subconjunto de Q e Q ´e um elemento de R, ent˜ao P ´e um elemento de R. (d) Se P ´e um subconjunto de Q e Q ´e um elemento de R, ent˜ao P ´e um subconjunto de R.
2. Sendo P, Q, R trˆes conjuntos, provar (a) (P \Q)\R = P (Q ∪ R) (b) (P \Q)\R = (P \R)\Q

(c) (P \Q)\R = (P \R)(Q\R)

3. Chama-se diferen¸ca sim´etrica de dois conjuntos A e B ao conjunto con- stitu´ıdo pelos elementos que pertencem a A ou a B, mas n˜ao a ambos simul- taneamente. (a) Denotando por A ⊕ B a diferen¸ca sim´etrica de A e B , mostrar que A ⊕ B = (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)(A ∩ B). (b) Representar num diagrama de Venn a diferen¸ca sim´etrica de dois con- juntos A e B quaisquer. (c) Se a diferen¸ca sim´etrica entre dois conjuntos A e B for igual ao conjunto A que poder´a dizer-se a respeito de A e B? (d) Usando diagramas de Venn, verificar quais das igualdades que se seguem s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas - A ⊕ (B ∩ C) = (A ⊕ B) ∩ (A ⊕ C) - A ⊕ (B ∪ C) = (A ⊕ B) ∪ (A ⊕ C) - A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C - A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C) - A ∪ (B ⊕ C) = (A ∪ B) ⊕ (A ∪ C) (e) Se a diferen¸ca sim´etrica de A e B for igual `a diferen¸ca sim´etrica de A e C poder´a concluir-se que se tem, necessariamente, B = C?

1.2 Elementos de Teoria da Dedu¸c˜ao

“... depuis les Grecs qui dit Math´ematique dit Demonstration.” in Bourbaki

A Matem´atica divide-se geralmente em partes chamadas teorias matem´a- ticas. O desenvolvimento de uma qualquer daquelas teorias ´e constitu´ıdo por trˆes etapas fundamentais:

(1) a constru¸c˜ao dos objectos matem´aticos da teoria; (2) a forma¸c˜ao de rela¸c˜oes entre aqueles objectos; (3) a pesquisa daquelas rela¸c˜oes que s˜ao verdadeiras, ou seja, a demonstra¸c˜ao de teoremas.

Objectos matem´aticos s˜ao, por exemplo, os n´umeros, as fun¸c˜oes ou as figuras geom´etricas; a Teoria dos N´umeros, a An´alise Matem´atica e a Geometria s˜ao, respectivamente, as teorias matem´aticas que os estudam. Os objectos matem´aticos (provavelmente) n˜ao existem na natureza; s˜ao apenas modelos

a implica¸c˜ao “p ⇒ q” tem um significado geom´etrico; se for

p ≡ “2 ´e primo” q ≡ “2^2 − 1 ´e primo”

a implica¸c˜ao “p ⇒ q” tem significado em teoria dos n´umeros. Os termos l´ogicos d˜ao a forma a uma teoria matem´atica; os termos espec´ıficos d˜ao-lhe o conte´udo. O papel principal da l´ogica em matem´atica ´e o de comunicar as ideias de forma precisa evitando erros de racioc´ınio.

1.2.1 Conjectura e demonstra¸c˜ao

Como atr´as se referiu, uma das etapas fundamentais no desenvolvimento de uma teoria matem´atica ´e a pesquisa de rela¸c˜oes verdadeiras entre os objectos da teoria. Ou seja, dada uma afirma¸c˜ao relativa aos objectos da teoria, ´e necess´ario demonstrar a sua veracidade ou falsidade; s´o depois deste processo ´e que tal afirma¸c˜ao, se for demonstrada a sua veracidade, adquire o estatuto de teorema. Chama-se demonstra¸c˜ao formal a uma sequˆencia finita p 1 , p 2 ,... , pn de proposi¸c˜oes cada uma das quais ou ´e um axioma (proposi¸c˜ao cuja veraci- dade se admite a priori) ou resulta de proposi¸c˜oes anteriores por regras de in- ferˆencia (que s˜ao formas muito simples e frequentes de argumenta¸c˜ao v´alida, tradicionalmente designadas por silogismos). Cada uma das proposi¸c˜oes pj , 1 ≤ j ≤ n, ´e designada por passo da demonstra¸c˜ao. Neste sentido, teo- rema ser´a o ´ultimo passo de uma dada demonstra¸c˜ao, isto ´e, demonstrar um teorema consiste na realiza¸c˜ao de uma demonstra¸c˜ao cujo ´ultimo passo ´e o teorema em quest˜ao. As demonstra¸c˜oes formais raramente s˜ao praticadas fora dos livros de L´ogica. Como uma demonstra¸c˜ao formal inclui todos os passos poss´ıveis (nada ´e deixadoa imagina¸c˜ao) ent˜ao a demonstra¸c˜ao formal de um teo- rema, ainda que simples, ´e normalmente longa (e fastidiosa). Assim, fora da L´ogica raramente se fazem demonstra¸c˜oes formais rigorosas: o que em geral se faz ´e estabelecer os passos fundamentais da demonstra¸c˜ao suprimindo todos os detalhes l´ogicos que, muitas vezes, n˜ao ajudam a esclarecer a ver- dadeira natureza da proposi¸c˜ao sob an´alise. Estes procedimentos designar- se-˜ao simplesmente por demonstra¸c˜oes (ou demonstra¸c˜oes matem´aticas) por contraposi¸c˜ao a demonstra¸c˜oes formais.

Exemplo. Na tabela que se segue, para cada n´umero natural n de 2 a 10, calculou-se o n´umero 2n^ − 1 obtendo-se os seguintes resultados:

n E primo?´ 2 n^ − 1 E primo?´ 2 sim 3 sim 3 sim 7 sim 4 n˜ao 15 n˜ao 5 sim 31 sim 6 n˜ao 63 n˜ao 7 sim 127 sim 8 n˜ao 255 n˜ao 9 n˜ao 511 n˜ao 10 n˜ao 1023 n˜ao

Observando cuidadosamente a tabela parece verificar-se o seguinte: sem- pre que n ´e um n´umero primo, o n´umero 2 n^ − 1 tamb´em ´e primo! Ser´a verdade? ´E tentador pensar que sim, mas de momento n˜ao h´a qualquer raz˜ao suficientemente forte que garanta este resultado de forma indiscut´ıvel. Em matem´atica d´a-se o nome de conjectura a este tipo de afirma¸c˜oes cujo valor l´ogico de verdade ou falsidade carece de ser provado. Assim, esta tabela suscita as duas conjecturas seguintes:

Conjectura I Dado um n´umero inteiro n superior a 1, se n for primo ent˜ao o n´umero 2 n^ − 1 ´e primo. Conjectura II Dado um n´umero inteiro n superior a 1, se n n˜ao for primo o n´umero 2 n^ − 1 tamb´em n˜ao ´e primo.

Destas duas conjecturas a primeira pode refutar-se imediatamente: para tal ´e suficiente continuar a desenvolver a tabela para valores de n superiores a

10. Assim, para n = 11 vem

211 − 1 = 2047 = 23 × 89

o que mostra que a conjectura ´e falsa: 11 ´e um n´umero superior a 1 e ´e primo, mas 2^11 −1 ´e um n´umero composto. O n´umero 11, neste caso, constitui o que se designa geralmente por contra-exemplo para a conjectura: um simples contra-exemplo ´e suficiente para mostrar que a conjectura ´e falsa. Mas h´a mais contra-exemplos: 23 e 29, por exemplo, s˜ao outros contra-exemplos. Considere-se agora a segunda conjectura: estendendo a tabela a ou- tros n´umeros inteiros n˜ao primos superiores a 10 n˜ao se encontra nenhum contra-exemplo. Isto, contudo, n˜ao nos permite concluir que a conjectura ´e verdadeira pois por muito que se prolongue a tabela nunca ser´a poss´ıvel