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NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA
Noções Básicas De Lógica Conectivo Lógico Para a lógica, um conectivo lógico (também chamado de operador lógico) é um símbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenças (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) de uma maneira gramaticalmente válida, de modo que o sentido da sentença composta produzida dependa apenas das sentenças originais. Os conectivos lógicos mais comuns são os conectivos binários, que juntam duas sentenças, que podem ser consideradas os operandos da função. É também comum considerar negação como um conectivo unário. Conectivos lógicos e quantificadores são os dois principais tipos de constantes lógicas usadas em sistemas formais como a lógica proposicional e a lógica de predicados. A semântica de um conectivo lógico é, muitas vezes, mas não sempre, apresentada como uma função de verdade. Um conectivo lógico é similar, mas não equivalente, a um operador condicional. Operação Conectivo Estrutura Lógica Exemplos Negação ¬ Não p A bicicleta não é azul Conjunção ^ P e q Thiago é médico e João é Engenheiro Disjunção Inclusiva v P ou q Thiago é médico ou João é Engenheiro Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro Condicional → Se p então q Se Thiago é Médico então João é Engenheiro Bicondicional ↔ P se e somente se q Thiago é médico se e somente se João é Médico Tautologia Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. Exemplo A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela- verdade. Exemplo A proposição (p Λ q) → (p → q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.
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Contradição Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. Exemplo A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição. Implicações E Equivalências Implicação: Sejam P e Q Proposições¹. Dizemos que P implica em Q (P=>Q) se e somente se P - > Q for Tautologia². Exemplo: p^q => p Sejam: P: p^q e Q: p Para que P => q então P - > Q deve ser tautologia, ou seja: p^q - > p deve ser tautologia. Equivalência: Sejam P e Q proposições. Dizemos que P é equivalente a Q (P<=>Q) se e somente se P<->Q for Tautologia. Dizemos tambem que se P<=>Q então P é igual a Q. Exemplo: p^q <=> p Sejam: P: p^q e Q: p para que p <=> q então P<->Q deve ser tautologia, ou seja: p^q <-> p deve ser tautologia. Para não precisarmos fazer tabela-verdade toda vez que quisermos provar uma equivalência, temos a seguinte lista de equivalências com 19 equivalências que já foram testadas e afirmadas como sendo todas verdadeiras: Lista de Equivalências básicas: 1 - p^p <=> p 2 - p^q <=> q^p 3 - p^(q^r) <=> (p^q)^r 4 - p^(q v r) <=> (p^q) v (p^r) 5 - p^tautologia <=> p 6 - p^contradição³ <=> contradição
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P ═ F então (~ ) P ═ V Renato não for atleticano, então a afirmação é falsa. Q ═ F então. (~ ) Q ═ V Uma argumentação não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Argumentos Argumentos são ideias lógicas relacionadas entre si e com o propósito de esclarecer e resolver determinada situação ou dúvida, por exemplo. Os argumentos são normalmente baseados em premissas que ajudam a construir uma conclusão. No entanto, todas as premissas deve ter como alicerce um sentido lógico, caso contrário o resultado final pode não ser verdadeiro ou válido. Por norma, os argumentos servem principalmente para provar alguma coisa, como um ponto de vista, uma decisão ou ideia. Seu objetivo, neste caso, consiste em justificar determinado objeto que é causa de um debate. Por exemplo, no âmbito jurídico e ético, uma intensa discussão permanece no Brasil sobre a Maioridade Penal e a Pena de Morte para alguns tipos de crimes. Estes debates são permeados por argumentos que tentam convencer a população sobre os pontos positivos da aprovação destas leis, enquanto grupos opostos utilizam de argumentações contrárias para vetar e impedir o avanço desta discussão (contra argumentos). Como dito, os pontos principais de ambos os argumentos devem estar focados na lógica e realidade, baseando-se sempre em algum princípio, seja jurídico (as leis), ético (códigos de ética e os direitos humanos) ou, em alguns casos, religioso (a bíblia) para justificar a conclusão final. A conclusão é a opinião criada a partir de todos os argumentos apresentados em conjunto, que podem ser informações históricas, dados estatísticos e demais conteúdos de natureza racional. A maioria dos textos acadêmicos e redações devem ser apresentados como argumentativos, ou seja, recheados de fatos, estudos, problemáticas e soluções lógicas sobre a temática que está sendo abordada. Silogismo Silogismo é um modelo de raciocínio baseado na ideia da dedução, composto por duas premissas que geram uma conclusão. O precursor desta linha de pensamento lógico foi o filósofo grego Aristóteles, conhecido por ser um dos primeiros pensadores e filósofos de todos os tempos. O chamado silogismo aristotélico é formado por três principais características: mediado, dedutivo e necessário. O silogismo seria mediado devido a necessidade de se usar o raciocínio para se chegar à conclusão real. Seria dedutivo pelo fato de se partir de preposições universais para se chegar a uma conclusão específica. E, por fim, seria necessário por estabelecer uma conexão entre todas as premissas. Existem diversas formas diferentes de silogismos: os regulares, os irregulares e os hipotéticos. Os silogismos irregulares são versões abreviadas ou ampliadas dos silogismos regulares, e são subdivididos em quatro categorias: entima, epiquerema, polissilogismo e sorites. Entima: silogismo incompleto, quando existe uma premissa subentendida. Epiquerema: silogismo estendido, quando as premissas são acompanhadas de provas.
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Polissilogismo: dois ou mais silogismos em que a conclusão das primeiras premissas seja a preposição do próximo silogismo. Sorites: uma argumentação composta por quatro preposições que são encadeadas até se chegar à conclusão. Existem também os silogismos hipotéticos, que podem ser: condicionais, disjuntivos e os dilemas. Condicionais: silogismo que não afirma e nem nega as premissas. Disjuntivos: silogismo formado por uma premissa que se apresenta como alternativa. Dilema: silogismo argumentativo onde são apresentadas duas possíveis hipóteses, em que nenhuma é desejável. Exemplos de silogismos “Todos os homens são mortais. Antônio é homem. Logo, Antônio é mortal”. De acordo com o pensamento aristotélico, as duas primeiras premissas deveriam se unir para formar a terceira ideia, que seria a conclusão: “Todo homem é mortal” (primeira premissa – maior) “Antônio é homem” (segunda premissa – menor) “Logo, Antônio é mortal” (conclusão). “O vertebrado tem sangue vermelho. O mamífero é vertebrado. O carnívoro é mamífero. O leão é carnívoro. Logo, o leão tem sangue vermelho” (silogismo irregular - sorites). “Tudo o que robustece a saúde é útil. O esporte robustece a saúde, Logo, o esporte é útil. O esporte é útil. O atletismo é um esporte. Logo, o atletismo é útil…” (silogismo irregular – polissilogismo). “É legítimo matar um agressor injusto à face da lei natural, do direito positivo e do costume. Marcos agrediu injustamente Joana: provam-no os antecedentes de Marcos e as circunstâncias do crime. Logo, Joana podia ter matado Marcos. (silogismo irregular – epiquerema) “Eu penso, logo existo” (silogismo irregular – entima) “Se chover não vamos ao cinema. Chove. Logo, não iremos ao cinema” (silogismo hipotético – condicional). “Este triângulo ou é isósceles ou escaleno. Ora este triângulo é escaleno. Logo, este triângulo não é isósceles” (silogismo hipotético – disjuntivo). “O aluno ou estudava ou não estava. Se estudava merece ser castigado porque não aprendeu a matéria como era seu dever; se não estudava merece igualmente ser castigado porque não cumpriu o seu dever” (silogismo hipotético – dilema). Silogismo E Sofismo O sofismo ou sofisma é uma linha de pensamento ou retórica que procura induzir o erro, a partir de uma falsa lógica ou sentido. O discurso sofista tem a intenção de enganar e, em determinadas situações, o silogismo pode apresentar uma relação intrínseca com o sofismo. O silogismo, mesmo sendo um pensamento lógico, pode gerar conclusões equivocadas, caracterizando-se como um silogismo sofístico. Exemplo: “Deus é amor. O amor é cego. Stevie Wonder é cego. Logo, Steve Wonder é Deus”. Silogismo Jurídico
NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA
Logo, s é um P. Estas abreviações deixam evidentes a forma lógica de cada argumento respectivo. Neste nível, note que nós podemos falar sobre qualquer argumento que pode tomar uma ou outra das duas configurações acima, substituindo as letras P, Q e s por expressões apropriadas. De interesse particular é o fato de que podemos explorar uma forma do argumento que nos ajude a descobrir se as premissas de uma dada conclusão são válidas ou não. Para isso, definimos uma estrutura de interpretação do argumento como uma atribuição de conjunto de objetos para as letras maiúsculas, e a atribuição de membros individuais de um conjunto para letras minúsculas no argumento do texto. Desse modo, seja P o conjunto dos homens, Q o conjunto dos mortais, e s Sócrates, é uma interpretação de cada um dos argumentos acima. Usando esta terminologia, nós podemos dar a definição de validade dedutiva: Um argumento é formalmente válido se sua forma é a única de tal modo que todas as interpretações sobre as premissas são verdadeiras e a conclusão também é verdadeira. Como foi visto, a interpretação dada acima faz com que o segundo argumento tenha premissas verdadeiras e conclusão falsa. Logo, este segundo argumento não é formalmente válido.
RACIOCIONIO DEDUTIVO
Raciocínio Dedutivo Raciocínio dedutivo ou método dedutivo é um tipo de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada premissa. O termo “dedução” está registrado no dicionário como o ato de deduzir, concluir, ou a enumeração minuciosa de fatos e argumentos. A origem do método dedutivo é atribuída aos antigos gregos, com o silogismo do filósofo Aristóteles, sendo mais tarde desenvolvido por Descartes, Spinoza e Leibniz. Nesta modalidade de raciocínio lógico, dada uma generalização, inferimos as particularidades. As generalizações são sempre atingidas pelo processo indutivo, e as particularidades pelo dedutivo. O raciocínio dedutivo apresenta conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras. Sua base é racionalista e pressupõe que apenas a razão pode conduzir ao conhecimento verdadeiro. Assim, a ideia por trás do método dedutivo é ter um princípio reconhecido como verdadeiro e inquestionável, ou seja, uma premissa maior, a partir da qual o pesquisador estabelece relações com uma proposição particular, a premissa menor. Ambas são comparadas para, a partir de raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que propõe, ou conclusão. É importante deixar claro que a dedução não oferece conhecimento novo, uma vez que sempre conduz à particularidade de uma lei geral previamente conhecida. O método dedutivo apenas organiza e especifica o conhecimento que já se possui, partindo de um ponto inteligível, ou seja, da verdade geral, já estabelecida, indo a outro ponto interior deste plano. O raciocínio dedutivo parte de uma hipótese geral sem referência com o mundo real, mas com o que o cientista, filósofo ou pensador imagina sobre o mundo. A fonte de verdade para um dedutivista é a lógica, para um indutivista é a experiência. Talvez o veículo que mais tenha contribuído para tornar famoso o método dedutivo foi a literatura popular, com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle, no qual o seu personagem, o detetive Sherlock Holmes conseguia resolver casos mirabolantes através do método da dedução lógica. Doyle demonstrou que toda dedução lógica, uma vez explicada, torna-se “infantil”, pois a conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda são desconhecidos. No campo da criminalística forense é imprescindível o uso de processos similares, porém amparados pela metodologia da abdução e da indução, que são outras modalidades de raciocínio lógico. Exemplos do método dedutivo: Todo vertebrado possui vértebras. Todos os cães são vertebrados. Logo, todos os cães têm vértebras. Todo metal conduz eletricidade. O mercúrio é um metal. Logo, o mercúrio conduz eletricidade. Nos exemplos apresentados, as duas premissas são verdadeiras, portanto a conclusão é verdadeira. Curiosamente, o raciocínio dedutivo pode levar ao sofismo, um raciocínio falso, mas que possui aparência lógica. Exemplo: As galinhas tem dois pés, homens tem dois pés, logo homens são galinhas.
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO
Todo quadrúpede tem 4 patas. Logo, um cavalo tem 4 patas. Epiquerema O epiquerema é um argumento onde uma ou ambas as premissas apresentam a prova ou razão de ser do sujeito. Geralmente é acompanhada do termo porque ou algum equivalente. Por exemplo: Todo demente é irresponsável, porque não é livre. Pedro é demente, porque o exame médico constatou positivo. Logo, Pedro é irresponsável. No epiquerema sempre existe, pelo menos, uma proposição composta, sendo que uma das proposições simples é razão ou explicação da outra. Polissilogismo O polissilogismo é uma espécie de argumento que contempla vários silogismos, onde a conclusão de um serve de premissa maior para o próximo. Como por exemplo: Quem age de acordo com sua vontade é livre. O racional age de acordo com sua vontade. Logo, o racional é livre. Quem é livre é responsável. Logo, o racional é responsável. Quem é responsável é capaz de direitos. Logo, o racional é capaz de direitos. Silogismo Expositório O silogismo expositório não é propriamente um silogismo, mas um esclarecimento ou exposição da ligação entre dois termos, caracteriza-se por apresentar, como termo médio, um termo singular. Por exemplo: Aristóteles é discípulo de Platão. Ora, Aristóteles é filósofo. Logo, algum filósofo é discípulo de Platão. Silogismo Informe O silogismo informe caracteriza-se pela possibilidade de sua estrutura expositiva poder ser transformada na forma silogística típica. Por exemplo: “a defesa pretende provar que o réu não é responsável do crime por ele cometido. Esta alegação é gratuita. Acabamos de provar, por testemunhos irrecusáveis, que, ao perpetrar o crime, o réu tinha o uso perfeito da razão e nem podia fugir às graves responsabilidades deste ato”. Este argumento pode ser formalizado assim: Todo aquele que perpetra um crime quando no uso da razão é responsável por seus atos. Ora, o réu perpetrou um crime no uso da razão.
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO
Logo, o réu é responsável por seus atos. Sorites O sorites é semelhante ao polissilogismo, mas neste caso ocorre que o predicado da primeira proposição se torna sujeito na proposição seguinte, seguindo assim até que na conclusão se unem o sujeito da primeira proposição com o predicado da última. Por exemplo: A Grécia é governada por Atenas. Atenas é governada por mim. Eu sou governado por minha mulher. Minha mulher é governada por meu filho, criança de 10 anos. Logo, a Grécia é governada por esta criança de 10 anos Silogismo Hipotético Um silogismo hipotético contém proposições hipotéticas ou compostas, isto é, apresentam duas ou mais proposições simples unidas entre si por uma cópula não verbal, isto é, por partículas. As proposições compostas podem ser divididas em: A) Claramente compostas: são aquelas proposições em que a composição entre duas ou mais proposições simples são indicadas pelas partículas: e, ou, se … então.
- Copulativa ou conjuntiva: “a lua se move e a terra não se move”. Nesse exemplo, duas proposições simples são unidas pela partícula e ou qualquer elemento equivalente a essa conjunção. Dentro do cálculo proposicional será considerada verdadeira a proposição que tiver as duas proposições simples verdadeiras e será simbolizada como: p ∧ q (ou p.q, ou pq).
- Disjuntivas: “a sociedade tem um chefe ou tem desordem”. Caracteriza-se por duas proposições simples unidas pela partícula ou ou equivalente. Dentro do cálculo proposicional, a proposição composta será considerada verdadeira se uma ou as duas proposições simples forem verdadeiras e será simbolizada como: p ∨ q.
- Condicional: “se vinte é número ímpar, então vinte não é divisível por dois”. Aqui, duas proposições simples são unidas pela partícula se … então. Dentro do cálculo proposicional, essa proposição, será considerada verdadeira se sua consequência for boa ou verdadeira, simbolicamente: p ⇒ q (ou p ⊃ q). B) Ocultamente compostas: são duas ou mais proposições simples que formam uma proposição composta com as partículas de ligação: salvo, enquanto, só.
- Exceptiva: “todos corpos, salvo o éter, são ponderáveis”. A proposição composta é formada por três proposições simples, sendo que a partícula salvo oculta as suas composições. As três proposições simples componentes são: “todos os corpos são ponderáveis”, “o éter é um corpo” e “o éter não é ponderável”. Também são exceptivos termos como fora, exceto, etc. Essa proposição composta será verdadeira se todas as proposições simples forem verdadeiras.
- Reduplicativa: “a arte, enquanto arte, é infalível”. Nessa proposição temos duas proposições simples ocultas pela partícula enquanto. As duas proposições simples componentes da composta são: “a arte possui uma indeterminação X” e “tudo aquilo que cai sobre essa indeterminação X é infalível”. O termo realmente também é considerado reduplicativo. A proposição composta será considerada verdadeira se as duas proposições simples forem verdadeiras.
- Exclusiva: “só a espécie humana é racional”. A partícula só oculta as duas proposições simples que compõem a composta, são elas: “a espécie humana é racional” e “nenhuma outra espécie é racional”. O termo apenas também é considerado exclusivo. A proposição será considerada verdadeira se as duas proposições simples forem verdadeiras. O silogismo hipotético apresenta três variações, conforme o conectivo utilizado na premissa maior:
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO
Ora, Pedro é mestre. Logo, Pedro não é discípulo. Dilema O dilema é um conjunto de proposições hipotéticas e contraditórias entre si, tal que, afirmando qualquer uma das proposições, resulta uma mesma conclusão insatisfatória. Por exemplo: Se dizes o que é justo, os homens te odiarão. Se dizes o que é injusto, os deuses te odiarão. Portanto, de qualquer modo, serás odiado. Outro exemplo de dilema, na cultura popular, é: Se correr, o bicho pega. Se ficar, o bicho come. Tem um segundo método que alguns usam também que é: RELAÇÃO ENTRE TODO, ALGUM E NENHUM Considere que A é uma sentença e B outra sentença. Equivalência: TODO A é B é equivalente a dizer NENHUM A não é B. Vemos aqui que: Troca-se TODO por NENHUM, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda. NENHUM A é B é equivalente a dizer TODO A não é B. (vice-versa) Vemos aqui que: Troca-se NENHUM por TODO, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda. ALGUM A é B é equivalente a dizer PELO MENOS um A é B ou EXISTE um A que é B. Vemos aqui que: Troca-se ALGUM por PELO MENOS ou EXISTE e mantém o resto. Negação: A negação da sentença “TODO A é B” é “ALGUM A não é B”. (Vemos aqui que: Troca-se TODO por ALGUM, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda.) A negação da sentença “ALGUM A não é B” é “TODO A é B”. (Vemos aqui que: Troca-se ALGUM por TODO, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda.) A negação da sentença “ALGUM A é B” é “NENHUM A é B” (vice-versa) Vemos aqui que: Basta trocar ALGUM por NENHUM (ou NENHUM por ALGUM), mantém a primeira e a segunda sentença.
CONJUNTO NUMERICOS RACIONAIS E REAIS
Conjuntos Numéricos Racionais E Reais Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. Conjunto Dos Números Naturais (N) Os números naturais são representados por N. Eles reúnem os números inteiros (incluindo o zero) e são infinitos. Subconjuntos dos Números Naturais
- N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
- Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
- Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. Conjunto Dos Números Inteiros (Z) Os números inteiros são representados por Z. Reúnem todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): Subconjuntos dos Números Inteiros
- Z* = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
- Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+= N.
- Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
- Z – = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.
- Z*– = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. Conjunto Dos Números Racionais (Q) Os números racionais são representados por Q. Reúnem os números fracionários representados pelo conjunto das frações p/q sendo p e q números inteiros e q≠0. Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. Subconjuntos dos Números Racionais
- Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
- Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.
- Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.
- Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
CONJUNTO NUMERICOS RACIONAIS E REAIS
Propriedades dos Conjuntos Numéricos Diagrama dos conjuntos numéricos Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:
- O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
- O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
- O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
- Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).
OPERAÇÕES COM FRAÇÃO E DECIMAL
Operação Fracionaria E Decimal Frações Na matemática, as frações correspondem a uma representação das partes de um todo. Ela determina a divisão de partes iguais sendo que cada parte é uma fração do inteiro. Como exemplo podemos pensar numa pizza dividida em 8 partes iguais, sendo que cada fatia corresponde a 1/8 (um oitavo) de seu total. Se eu como 3 fatias, posso dizer que comi 3/8 (três oitavos) da pizza. Importante lembrar que nas frações, o termo superior é chamado de numerador enquanto o termo inferior é chamado de denominador. Tipos De Frações Fração Própria São frações em que o numerador é menor que o denominador, ou seja, representa um número menor que um inteiro. Ex: 2/ Fração Imprópria São frações em que o numerador é maior, ou seja, representa um número maior que o inteiro. Ex: 5/ Fração Aparente São frações em que o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja, representa um número inteiro escrito em forma de fração. Ex: 6/3= 2 Fração Mista É constituída por uma parte inteira e uma fracionária representada por números mistos. Ex: 1 2/6. (um inteiro e dois sextos) Obs: Há outros tipos de frações, são elas: equivalente, irredutível, unitária, egípcia, decimal, composta, contínua, algébrica. Operações Com Frações Adição Nas adições fracionárias, utiliza-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) realizado a partir de seus denominadores, ou seja, o menor número múltiplo dos dois. Subtração Tanto na adição quanto na subtração é necessário encontrar o Mínimo Múltiplo Comum, (MMC), isto é, os números múltiplos comuns aos denominadores.
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
ou (a+b) / b = (c+d) / d 3.1.3) Decomposição Essa propriedade diz que: Sendo a/b = c/d, temos que (a-b) / a = (c-d) / c ou (a-b) / b = (c-d) / d Observação: as três propriedades acima são as mais importantes e usadas nos exercícios de números e grandezas proporcionais. 3.1.4) Essa Propriedade Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que: Sendo a/b = c/d, temos que (a+c) / (b+d) = a/b ou (a+c) / (b+d) = c/d 3.1.5) Essa Propriedade Também Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que: Sendo a/b = c/d, temos que (a-c) / (b-d) = a/b ou (a-c) / (b-d) = c/d 3.1.6) Essa propriedade também não possui um nome específico, mas diz que: Sendo a/b = c/d, temos que (a.c) / (b.d) = a²/b² ou (a.c) / (b.d) = c²/d² Exemplo: A área de um retângulo é de 600 m² e a razão do comprimento pela largura é de 3/2. Quais são as medidas dos lados? x = largura do retângulo y = comprimento do retângulo Área do retângulo = x.y = 600 x/y = 3/
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
x/3 = y/ (x.y)/(2.3) = y²/2² Como sabemos que x.y = 600, temos que 600/6 = y²/ 100 = y²/ y² = 400 y = 20 Logo, x = 30. 3.1.7) Essa Propriedade Também Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que: Caso elevemos os quatro termos de uma proporção ao quadrado, teremos uma nova proporção. Exemplo: A soma do quadrado de dois números é 52 e a razão do menor para o maior é 2/3. Quais são esses números? a² +`b² = 52 a/b = 2/3, ou a²/b² = 4/ Pela propriedade da composição temos que (a²+b²)/b² = (4+9)/ 52/b² = 13/ Pela propriedade fundamental temos que 52.9 = b². 13.b²= 468 b² = 36 b = 6 Logo, a = 4. Exercício de números e grandezas proporcionais:
- Os números x,y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40,72 e 128. Determine x e y. x/40 = y/72 = 32/ Determinando x: x/40 = 32/ 128.x = 40. x = 10 Determinando y:
