Progressões 1
Progressões
Em inúmeras situações de nossa vida precisamos colocar os elementos de um dado conjunto em
uma ordem estabelecida, o que chamamos sucessões. Por exemplo, as estações de uma linha de
trem se encontram em sucessão, estabelecidas em certa ordem. Podemos enumerar os elementos
de um conjunto em certa ordem utilizando índices, sendo o primeiro a1, o segundo a2 e assim
por diante.
Quando tratamos de conjuntos de números e há uma relação de soma ou produto entre os
elementos desse temos o que chamamos de progressões.
Progressão Aritmética
São sucessões que apresentam uma soma que relaciona os seus termos. Assim sendo, uma
progressão aritmética (P.A.) é uma sucessão de números em que a diferença entre um e seu
antecedente é sempre constante. Essa diferença constante é chamada razão da P.A. Por
exemplo,
()
…,14,11,8,5,2 é uma P.A. de razão r=3, pois 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3.
Termo geral de uma P.A.
Para obtermos um número qualquer dentro de uma P.A., conhecendo o seu primeiro termo,
aplicamos a fórmula:
rnaan
⋅
−
+
=
)1(
1
onde an é o termo que se deseja encontrar, n a posição do termo na P.A., a1 o primeiro termo da
P.A. e r a razão da P.A. Por exemplo, na progressão (3,5,7,9,...) qual o valor do termo a35?
()
712343135
2795735
135 =⋅+=⋅−+=
=
−
=−=−=
raa
r
Portanto, o valor é 71.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Para se somar n termos de uma P.A., conhecendo o primeiro termo, utiliza-se a fórmula:
(
)
2
1naa
Sn
n
⋅
+
=
Por exemplo, qual a soma da P.A. (1542,1588,1634,1680,1726)?
A P.A. possui cinco termos. Portanto teremos a soma de S5
()
(
)
8170
2
517261542
2
5
51
5=
⋅+
=
⋅+
=aa
S
Exercite! Em princípio parece simples o conceito de P.A., mas há exercícios complexos que
exigem raciocínio. Portanto, exercite.
Progressão Geométrica
A progressão geométrica (P.G.) é uma sucessão semelhante à P.A., com a diferença que ao
invés de somarmos a razão aos termos da progressão, multiplicamos. Por exemplo, está em P.G.
o intervalo (3,9,27,81,243,...) pois 9 : 3 = 27 : 9 = 81 : 27 = 243 : 27 = 3. Ou seja, a razão dessa
P.G. é 3, indicada pela letra q.
Termo geral de uma P.G.
Para encontrar qualquer termo de uma P.G. utilizamos a fórmula:
1
1
−
⋅= n
nqaa
Por exemplo, na P.G. (1,2,4,8,16,32,...) qual o valor do termo a20?
524288212
2
2
4
1
2
19120
120
2
3
1
2
=⋅=⋅=
=====
−
aa
a
a
a
a
q
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Para somarmos os n primeiros termos de uma P.G. utilizamos a fórmula:
(
)
1
1
1
−
−⋅
=q
qa
S
n
n
Por exemplo, qual a soma dos termos desta P.G.: (5,25,125,625,3125,15625)?
