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CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (I)
- Conhecimentos numéricos :operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros,racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões,princípios de contagem.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Todo conjunto numérico é expresso por uma letra (IN, Z, IR, ...), caso essa letra venha com um asterisco sobrescrito, deste conjunto se exclui o zero (0), se vier um sinal de mais (+) subscrito, deste conjunto se excluem os números negativos e se vier um sinal de menos ( – ) subscrito, deste conjunto se excluem os números positivos.
1. Números Naturais
É formado pela cardinalidade dos conjuntos.
N 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;...
Naturais não-nulos: N*^ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;...
N*^ N
2. Números Inteiros
É formado pelos números naturais juntamente com os inteiros negativos.
Z {..., 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,...}
Inteiros não-nulos: Z *^ Z { 0 }
Inteiros não-negativos: Z { 0 , 1 , 2 , 3 ,...}
= IN
Inteiros não-positivos:
Z {..., 3 , 2 , 1 , 0 }
Inteiros positivos: Z ^ { 1 , 2 , 3 ,...}= IN
Inteiros negativos: Z *^ {..., 3 , 2 , 1 }
3. Números Racionais
Incluem-se neste conjunto os números inteiros , os decimais exatos (finitos) e as dízimas periódicas (infinitas com repetição de
decimais). Todo número racional pode ser escrito na forma a / b.
/ a Ze b Z
b
a
Q
4. Números Irracionais
É formado pelas dízimas não-periódicas. Os números irracionais não podem ser expressos na forma a / b.
Exemplos
2 ; 3 ; 3,141592...;e 2,718281...
OBSERVAÇÃO
Um número jamais poderá ser racional irracional ao mesmo tempo. Ou seja, os
conjuntos Q e I não possuem elementos em
comum, Q I .
5. Números Reais
Inclui todos os conjuntos anteriormente citados. Os únicos números que não fazem parte deste conjunto são as raízes de índices pares de números negativos.
R Q I
OBSERVAÇÃO
Apenas dois tipos de números não são reais , são eles as raízes de índice par de números negativos e o resultado de uma divisão por zero.
6. Operações entre os conjuntos numéricos
Se a e b são números naturais então:
- a b é natural
- a b pode ser natural ou inteiro
- a b é natural
- a b pode ser natural ou racional
Se a e b são números inteiros então:
- a b é inteiro
- a b é inteiro
- a b é inteiro
- a b pode ser inteiro ou racional
Se a e b são números racionais então:
- a b é racional
- a b é racional
- a b é racional
- a b é racional
Se a e b são números reais então:
- a b é real
- a b é real
- a b é real
- a b é real
OBSERVAÇÕES
Admita sempre nas divisões a b que b 0.
As operações entre números irracionais podem dar resultados dentro do conjunto dos irracionais ou então dos racionais.
7. Divisibilidade inteira
Dizemos que um número p é divisível por outro número q, quando p é múltiplo de q ou quando na divisão inteira de p por q obtemos resto igual a zero (0). Assim teremos que se p é divisível por q , q divide p ou p = k.q , onde k Z.
Exemplo
15 é divisível por 3, pois 15 é múltiplo de 3, ou o resto da divisão de 15 por 3 é zero, ou ainda 15 = 5. 3.
Critérios de Divisibilidade
8. Números primos
Um número n é dito primo quando possui quatro divisores inteiros o próprio número n , o número – n, o número 1 e o número – 1. Ex: 13 é um número primo, pois apenas o 13, - 13, 1 e -1 são seus divisores inteiros.
9. Decomposição em fatores primos
Decompor um número em fatores primos significa encontrar quais são os números primos que multiplicados formam o número em questão. Ex: 23100 = 2^2. 3. 5^2. 7. 11.
OBSERVAÇÃO
Cada número tem uma única decomposição em fatores primos.
10. Número de divisores
Dado um número natural n escrito decomposto em seus fatores primos kn n
k k
n ( a 1 )^1 .( a 2 )^2 .....( a ) podemos dizer que o
número de divisores naturais é dado pela fórmula:
D ( n ) ( k 1 1 ).( k 2 1 ).....( kn 1 ) , onde o D(n)
é o número de divisores naturais de n.
Exemplo
120 = 2^2 .3.5, ou seja D(120) = (2+1).(1+1).(1+1) = 3.2.2 = 12 divisores naturais.
OBSERVAÇÃO
Caso se esteja procurando o número de divisores inteiros de um número n basta multiplicar o número de divisores naturais por 2, pois devemos adicionar a esses números os seus opostos.
Exemplo
No caso de 120, o número de divisores inteiros será 12.2 = 24 divisores inteiros.
11. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC)
Teorema: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre n e m é o menor valor inteiro que seja múltiplo simultaneamente de n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MMC será o produto dos fatores comuns, com maior expoente e não-comuns.
Exemplo
Calcular o MMC entre 120 e 2772. Escritos na forma fatorada temos que 120 = 2^3 .3.5 e 2772 = 22 .3^2 .7.11. Assim o MMC será o produto dos fatores comuns com maior expoente (2^3 e 3^2 ) e os fatores não-comuns (5, 7 e 11).
MMC 120 , 2772 23.^32. 5. 7. 11 27720
Teorema: O máximo divisor comum (MDC) entre n e m é o maior valor inteiro que divida simultaneamente n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MDC será o produto dos fatores comuns com menor expoente.
e) 0 , 2777 ...
f) 0 , 32888 ...
g) 0 , 7565656 ...
h) 1 , 2737373 ...
13. Racionalização
Racionalizar uma expressão consiste em tornar o seu denominador um número racional. Vejamos os principais casos de racionalização.
1° caso) Expressões do tipo
a
c
Exemplo
- Racionalize as expressões:
a)
b)
c)
2º caso) Expressões do tipo n
a
c
Exemplo
- Racionalize as expressões:
a) 3
b) 5
c) 4
3º caso) Expressões do tipo
a b
c
Exercício de Aula
- Racionalize as expressões:
a)
b)
c)
ATIVIDADES (CONJUNTOS NUMÉRICOS)
01) (Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se certo instante as luzes piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
02) (UNIT) Três torneiras defeituosas pingam em intervalos regulares de tempo. A primeira pinga a cada 2 minutos, a segunda, a cada 3 minutos, e a terceira, a cada 5 minutos. Um menino observou que, às 14 h 5 min, as três torneiras pingaram ao mesmo tempo. Se a mesma regularidade for mantida, as três torneiras também pingarão juntas às: a) 14 h e 30 min
b) 14 h e 45 min
c) 15 h e 10 min
d) 15 h e 35 min
e) 15 h e 55 min
03) (Ucsal) Uma escola programou uma visita a um museu, com 117 rapazes e 99 moças. Para entrar em uma determinada sala, de visitação restrita, todos eles foram divididos em grupos, de tal modo que:
todos os grupos tinham pessoas de um mesmo sexo. todos os grupos tinham o mesmo número de pessoas. o número de pessoas por grupo era o maior possível.
Nestas condições, o número de grupos formados foi:
a) 9 b) 11 c) 13 d) 18 e) 24
04) (UNIT) 0 , 111111111 ... vale:
a) 0,111 111 111...
b) 0,333 333 333...
c) 0,555 555 555...
d) 0,777 777 777...
e) 0,999 999 999...
05)(FUVEST-SP) Trechos complementares de duas cadeias de nucleotídeos de uma molécula de DNA. Observe que uma cadeia se dispõe em relação à outra de modo invertido.
5º
3º
3º
5º
A (^) A
A
C
C
C
C
G
G
G
G
T T^
T
(Adaptado de LOPES, Sônia. Bio 3. São Paulo: Saraiva, 1993)
Considere as seguintes condições para a obtenção de fragmentos de moléculas de DNA:
- todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares de bases nitrogenadas;
- cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases nitrogenadas.
O número máximo de fragmentos diferentes que podem ser assim obtidos correspondem a:
a) 14
b) 18
c) 12
d) 24
06) É comum representar determinadas situações através de gráficos de barras de setores ou de segmentos. Por exemplo: o gráfico de setor abaixo representa o número de vitórias (V), empates (E) e derrotas (D) de um time de futebol em 40 partidas disputadas.
Com base no gráfico, qual foi o número de vitórias, empates e derrotas desse time nos 40 jogos?
a) 16V, 16E e 8D
b) 18V, 18E e 4D
c) 14V, 14E e 12D
d) 16V, 14E e 10D
e) 20V, 15E e 5D
07) A seguir, estão três afirmativas sobre números reais:
I. O número 2,325666… é racional.
II. O número 7 pode ser escrito na forma
q
p , na qual p e q são inteiros, com q 0.
III. O valor de 3
( 3 )^2 m
é – 1 ou 1.
O número de afirmativas corretas é:
Escala , é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Medida do desenho Escala Medida real
Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320 km. Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320 km = 432 000 000 cm
7,2 1 432000000 60000000
cm Escala
Velocidade média é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)
Distância Velocidade Tempo
Exemplo: Um carro percorre 320 km em 4h. Determine a velocidade média deste carro.
Velocidade
Velocidade= 320/4 = 80
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área.
º tan N de habi tes Densidade demográfica Área
Exemplo: O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471. habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
6.471.800 (^) 43,72 / 2
Densidade hab km
Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões. 5 8
e
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5 8 1 8 5
(Dizemos que as razões são inversas).
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
e
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse
caso, podemos afirmar que a igualdade
é uma proporção.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
a c a b c d b d
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3. = 120
De modo geral, temos que:
a c a d b c b d
Daí, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Resolução de problemas envolvendo proporções
Exemplo:
Numa salina, de cada metro cúbico (m^3 ) de água salgada, são retirados 40 dm^3 de sal. Para obtermos 2 m 3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
3 3
1 lg 40
m Quantidade de água sa ada dm Quantidade de sal
3 3 3
1 40 2
m x dm m
Lembre-se que 40dm^3 = 0,04m^3.
3 3 3
1 0,04 2
m x dm m
(aplicando a propriedade
fundamental)
1 2 0,04 x
0,04 x 2
(^2 ) 0,
x m
Proporção contínua
Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.
a b b c
Média geométrica ou média proporcional
Dada uma proporção contínua a b b c
, o número b
é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.
Exemplo: Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. (^5) 5 20 100 2 20 100 10
b b b b b b b
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração Considere a proporção:
a c b d
Adicionando 1 a cada membro obtemos
1 1
a c b d a b c d b d
2ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere a proporção:
a c b d
GRANDEZAS
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por
exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) Produção (Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5min 100 kg 10min 200 kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5min 100 kg 15min 300 kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
5 100 1 15 300 3
Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo.
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,
20 50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m / s 200 s
10 m / s 100 s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m / s 200 s
20 m / s 50 s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Na tabela, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
Razão inversa 8 2 125 5 20 5 50 2
Razão inversa
Medidas de superfície
Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama- se metro quadrado.
O metro quadrado (m^2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm^3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos
Unidade Fundamen tal
Submúltiplos
quilolit ro
hectolit ro
decalit ro litro decilitr o
centilit ro
mililitr o kl hl dal l dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l
l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações de equivalências: 1l = 1dm^3 1ml = 1cm^3 1kl = 1m^3
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
um aumento de 275%. Se o preço do quilograma em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o preço em 10 de fevereiro?
a) Cr$ 19, b) Cr$ 18, c) Cr$ 18, d) Cr$ 19, e) Cr$ 17,
11) (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$ 1000 ; e que sejam colocadas em circulação moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado novo. Qual será então o preço , em cruzados novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20, ?
a) NCZ$ 0, b) NCZ$ 0, c) NCZ$ 0, d) NCZ$ 0, e) NCZ$ 0,
12) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Antônio é:
a) R$ 5500, b) R$ 4500, c) R$ 4000, d) R$ 5000, e) R$ 3500,
13) (FUVEST) Numa certa população 18% das pessoas são gordas , 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população?
a) 30% b) 35% c) 40% d) 45% e) 50%
14) (FAAP) Numa cidade , 12% da população são estrangeiros. Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população total?
a) 1.360. b) 13.600. c) 136.000. d) 10.531. e) 105.318.
15) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00 , daqui a 3 anos o preço será.
a) R$ 300, b) R$ 400, c) R$ 600, d) R$ 800, e) R$ 1000,
16) (FGV) Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao preço inicial:
a) aumentou de 22% b) decresceu de 21,97% c) aumentou de 21,97% d) decresceu de 23% e) decresceu de 24%
17) (FGV) Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par , vendendo por R$ 25,00 o par. Com este preço , tem havido uma demanda de 2000 pares mensais. O fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares. Com esse aumento no preço de venda seu lucro mensal:
a) cairá em 10% b) aumentará em 20% c) aumentará em 17% d) cairá em 20% e) cairá em 17%
18) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual. Então , seu peso atual é:
a) inferior a 30 kg b) 75 kg c) 50 kg d) superior a 75 kg e) 40 kg
19) (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso. Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos. Qual era seu peso original?
a) 50 kg b) 60 kg c) 70 kg
d) 80 kg e) 40 kg
20) (FGV) Num colégio com 1000 alunos , 65% dos quais são do sexo masculino , todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os resultados , verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano. A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale:
a) 43,5% b) 45% c) 90% d) 17,5% e) 26%
21) (PUC) Em uma certa comunidade existem 200.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede oficial do Estado, 25. professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede particular de ensino e 12.000 professores de 3º grau. Se 2,5% dos professores da rede oficial trabalham na rede particular , se 0,25% dos professores da rede oficial trabalham no 3º grau , e se 2% dos professores da rede particular trabalham no 3º grau , quantos professores possui essa comunidade , se apenas 200 professores trabalham , simultaneamente , na rede pública , particular , e no 3º grau? a) 213200 b) 231200 c) 212300 d) 223100 e) 231000
22) (ESPM) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 3.300,00. Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário que possui , qual será o novo salário médio? a) R$ 3.690, b) R$ 369, c) R$ 396, d) R$ 3.960, e) n.d.a
23) (OSEC) Em apenas 6 meses o preço de um litro de gasolina teve 320% de aumento. Como esse preço era inicialmente de R$ 0,25 , ele passou a ser:
a) R$ 0, b) R$ 1, c) R$ 1, d) R$ 2, e) R$ 2,
24) (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200
litros , dos quais 25% são de leite natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada à essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural?
a) 40 b) 43 c) 48 d) 50 e) 60
25) (FGV) Duas irmãs , Ana e Lúcia , têm uma conta de poupança conjunta. Do total do saldo , Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo recebido um dinheiro extra , o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo na caderneta. Por uma questão de justiça , no entanto , ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas. Nessas condições , a participação de Ana no novo saldo: a) diminui para 60% b) diminuiu para 65% c) permaneceu em 70% d) aumentou para 80% e) é impossível de ser calculada se não conhecermos o valor
26) (ESPM) O preço do papel sulfite , em relação ao primeiro semestre de 1989 , teve um aumento de 40% em agosto e um outro de 32% em setembro. No mês de novembro , teve um desconto de 25%. Qual seria o aumento do papel se ele fosse único? a) 37% b) 38,6% c) 36,8% d) 35,4% e) 34,5% 27) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas
28) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 175 voltas.
a) 10 voltas b) 110 voltas c) 210 voltas d) 310 voltas e) 410 voltas
3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)
4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)
5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)
6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias? (R=6)
7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)
8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)
JUROS SIMPLES
Quando se deposita ou empresta uma certa quantia, denominada capital por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia , chamada juros.
Capital c_ (quantia emprestada) Taxa____ i___ (porcentagem envolvida) Tempo___t___ (período do empréstimo) Juros____j____(a renda obtida)
Os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na pratica são resolvidos através de formula.
Exemplo: O capital 100 em 1 ano produz i O capital c em t anos produzira j
Capital______tempo______juros
100_________1____________i c___________ t____________J
I/j=100/c.1/t
i/j= 100/c.t
100j= c.i.t
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
(JUROS SIMPLES)
01- A pessoa A comprou um apartamento por R$ 50.000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A pessoa B comprou um apartamento por R$ 85.000,00 e alugou-o a R$ 1105,00 mensais. Qual das duas pessoas está fazendo melhor negócio? 02- A que taxa simples deve ser aplicado um capital para que no fim de 10 meses produza um rendimento igual a^3 5
de si próprio?
03- Certo capital, acrescido aos juros de 8 meses, eleva-se a R$ 56.000,00. O mesmo capital aplicado à mesma taxa simples, durante 1 ano e 6 meses, atinge R$ 76.000,00. Qual é o capital? Qual é a taxa? 04- Um capitalista dispõe de R$ 30.000.000,00. Prevendo mais um pacote econômico do governo, no qual ocorreria confisco de dinheiro em alguns setores ligados ao ganho de capital, resolve diminuir suas prováveis perdas aplicando seu dinheiro em diferentes operações: 2 5 deste em
ouro, cujo rendimento previsto é de 7% am;^1 4 deste em caderneta de (^) poupança, cujo rendimentos previsto é de 8% am; e o restante em aplicações a curto prazo, cujos rendimentos previstos são de 8,5% am. Qual o valor total do juro simples que essa pessoa irá ganhar depois de 2 meses, caso não haja confisco? 05- Uma pessoa dividiu seu capital de R$ 90.000,00 em duas partes, aplicando-as a taxas diferentes, e observou que, para prazos iguais, o juro produzido era também igual. encontre o valor de cada parte, sabendo que, se a primeira parte tivesse sido aplicada à taxa da segunda e vice-versa, no final de 2 meses o juro simples seria, respectivamente R$ 3.200,00 e R$ 5.000,00. 06- Calcule o montante simples obtido a partir da aplicação de um capital de R$ 10.000,00, sob as seguintes condições: a) taxa: 15% am; prazo 4 meses. b) taxa: 108% aa; prazo 5 meses.
07- Um capital de R$ 150.000,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 40% ao trimestre, durante 1 ano. Qual o montante obtido no final dessa aplicação?
08- Que capital inicial, aplicado à taxa de juro simples de 72% aa eleva-se a R$ 131.600,00 em 1 ano, 2 meses e 20 dias?
09- Depositei a quantia de R$ 72.000,00 em um banco que remunera seus clientes à taxa simples de 36% aa. Depois de um certo tempo, verifica-se que meu saldo nesse banco era de R$ 73.800,00. Por quantos dias deu-se essa aplicação?
10- A soma de um capital, aplicado durante 110 dias à taxa de juro simples de 7% aa, com seu juro é igual a Cr$ 2.553,47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias.
11- Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$ 42.000,00. Caso esse capital tivesse sido aplicado por 10 meses, à mesma taxa simples, teria se elevado a R$ 54.000,00. Encontre esse capital e essa taxa.
12- Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3 2 de si próprio. Qual foi a taxa de juro simples considerada? 13- Encontre a taxa mensal simples a que esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00, o qual, em 3 meses e 20 dias, elevou-se a R$ 52.400,00. 14- Uma loja oferece um aparelho por R$ 500,00, a vista. Na compra desse aparelho a prazo, pede- se 20% do valor a vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 550,00 no prazo de 2 meses. Que taxa de juro simples a loja está cobrando nessa operação? 15 -Uma determinada mercadoria é vendida em uma loja por R$ 300,00 a vista. Nas compras a prazo, a loja aplica um reajuste no saldo a pagar com base na taxa simples de 19,5% am. Um cliente propões a compra da mercadoria dando R$ 100,00 de entrada e o restante em 2 meses. Qual o valor desse pagamento para 2 meses? 16- Que taxa mensal de juro simples faz com que um capital triplique de valor em 2 anos e 1 mês? 17- Em quanto tempo o montante relativo à aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de 30% am, se iguala ao montante relativo à aplicação de R$ 40.000,00 a 120% aa de juro simples?
18- Um capital ( C 1 ) supera outro ( C 2 ) em 20%. Os dois foram aplicados a juro simples a taxas de 10% am e 7% am, respectivamente, e produziram juntos, em um mesmo prazo,um montante de R$ 205.000,00. Pede-se determinar esse prazo, sabendo-se que o juro do capital C 2 supera C 1 em R$ 25.000,00.
GABARITO
01-A
02-6% am 03-C R$ 40.000,00; i 5% am
04-J 4.665.000, 05-C 1 R$ 40.000,00 e C 2 R$ 50.000, 06-a) R$ 16.000,00 b) R$ 14.500, 07-R$ 390.000, 08-R$ 70.000, 09-25 dias 10-Cr$ 53, 11-R$ 30.000, 12-i 0,25 am
13-i 2,5% am 14-18,75% am 15-R$ 278, 16-8% am 17-10 meses 18-10 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P. (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n , ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
2. Termo Geral de uma Seqüência
É uma expressão matemática que relaciona o
termo an com a posição n que ele ocupa na
seqüência.
Ex: an 3 n 2 n
2
Exercício de Aula
2) Escreva os 5 primeiros termos da seqüência
a n 2 n 2 n.
3. Fórmula de Recorrência
É uma expressão matemática que relaciona
cada termo an com outros termos da seqüência.
Exercícios de Aula
3) Escreva os 5 primeiros termos da seqüência
definida por
1
1
a a n
a
n n
4) Sendo a seqüência definida por
. ;^2
1 2
1 2
a a a n
a a
n n n
, calcule a 55.
4. Soma dos Termos
Sendo a seqüência dada por
a 1 ; a 2 ; a 3 ;...; an , a soma dos n primeiros
termos dessa seqüência é dada por
S n a 1 a 2 a 3 ... an.
Exercícios de Aula
5) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da
seqüência definida por
;^2
1 1
1 2
a a a n
a a
n n n
6) Calcule o 10º termo da seqüência cuja soma
é definida por Sn 2 n 3.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
1. Conceito
É uma seqüência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior
somado com uma razão constante r.
Exe:
1 ; 4 ; 7 ; 10 ;... é uma PA de razão r 3
8 ; 6 ; 4 ; 2 ;... é uma PA de razão r 2
2 ; 2 ; 2 ; 2 ;... é uma PA de razão r 0
2. Fórmula do termo geral
an a 1 n 1 . r
Exercícios de Aula
7) Calcule o 26º termo de seqüência 1 ; 4 ; 7 ;....
8) Calcule a razão de uma PA de 20 termos em
que o 1º termo é igual a 6 e o último termo é igual 82.
9) Em uma PA, o 6° termo é igual a 40 e o 13°
termo é igual a 26. Calcule sua razão e o primeiro termo.
10) Qual a quantidade de múltiplos de 3 que
existe entre os números 40 e 1000?
3. Interpolação Aritmética
Consiste em inserir meios aritméticos entre
dois extremos ( a e b ) de tal modo que todos os
números formem uma PA.
a ; meiosaritméticos; b
11) Inserindo 12 meios aritméticos entre 13 e 78,
qual a razão da PA formada?
12) Ao inserir n meios aritméticos entre 1 e
2
n ,
determine a razão da PA formada.
4. Propriedades
a) Uma PA de três termos pode ser escrita como:
x r ; x ; x r
b) Em qualquer PA todo termo, a partir do 2°, é a média aritmética dos vizinhos.
..., an 1 ; an ; an 1 ;...
n ^1 n ^1
n
a a
a ou an an 1 an 1 an
c) Numa PA finita a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a 1 ; a 2 ; a 3 ;...; an 2 ; an 1 ; an
a 1 ^ an a 2 an 1 a 3 an 2 ...
Exercícios de Aula
13) (UCS) O produto de três números em PA é
1989 a soma deles é 39. O menor destes números é:
14) Calcule o valor de x para que x 1 , 5 x 3 ,
2 x 7 formem nesta ordem uma PA. Calcule
também a razão da PA obtida.
5. Soma dos n primeiros termos
PA a 1 ; a 2 ; a 3 ;...; an de razão r
a 1 a. n
S n n
Exercícios de Aula
15) Calcular a soma dos 20 primeiros múltiplos de
6 maiores do que 40.
16) (UFBA) Em uma seqüência, o termo geral é
an 2 n 1 , para n N*. Calcule a soma
dos 100 primeiros termos dessa seqüência.
17) (UCS) O quinto termo de uma PA cuja soma dos
n primeiros termos é dada por Sn 2 n 2 3 n ,
n N* é:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1. Definição
É toda seqüência numérica onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante (razão).
a) 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 é uma PG de razão
q 3.
b) 1 ; 3 ; 9 ; 27 ;... é uma PG de razão
q 3.
c)
8 ; 4 ; 2 ; 1 ; é uma PG de razão
q .
d) 120 ; 60 ; 30 ; 15 ;... é uma PG de
razão
q .
e) 5 ; 5 ; 5 ; 5 ;...é uma PG de razão q 1.
f) 5 ; 10 ; 20 ; 40 ;... é uma PG de razão
q 2.
OBSERVAÇÃO
Uma PG é chamada de convergente quando seus termos se aproximam cada vez mais de zero (0). Uma PG convergente tem a razão
1 q 1.
2. Fórmula do termo geral de uma PG
Seja a seqüência a 1 ; a 2 ; a 3 ;...; an ;....
1
1.^
n
an aq
Exercícios de Aula 01) Qual o 101º termo da P.G. 1 ; 2 ; 2 ;...?
02) Em uma P.G. de 10 termos, sabe-se que o 5º
termo é 5 e o 9º termo é 20. Se a razão da P.G. é positiva, qual o último termo?
