Baixe Matemática essencial álgebra e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Matematica Essencial: Alegria: Aplicacoes da Matematica
uel.br /projetos/matessencial/alegria/aplicac/aplicac.htm Mapa do Site ALEGRIA MATEMÁTICA :: Aplicações da Matemática
Transporte de containers: Sistemas Lineares
Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: Container Tipo I Tipo II Tipo III Recipiente A 4 3 2 Recipiente B 5 2 3 Recipiente C 2 2 3 Quais são os números de recipientes x , x e x de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 containers do tipo II e 33 containers do tipo III. A montagem do sistema linear fica na forma: 4 x + 5 x + 2 x = 42 3 x + 2 x + 2 x = 27 2 x + 3 x + 3 x = 33 A resolução do sistema linear indicará o número de containers de cada tipo.
Antígenos: Teoria dos Conjuntos
O sangue humano contém três possíveis antígenos denotados por: A, B e Rh. Dependendo dos antígenos presentes, existem oito possíveis tipos sangüineos conhecidos por: Oito possíveis tipos sangüíneos A- A+ B- B+ AB- AB+ O+ O- 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Os antígenos presentes em cada sangue podem ser descritos através de um diagrama de Venn-Euler na figura: No diagrama, os conjuntos indicados respectivamente por A, B e Rh contêm os antígenos A, B e Rh, e, o desenho mostra que existem três conjuntos de informações que possuem interseções, sendo estas importantes por determinar certo tipo sangüíneo comum. Podemos construir uma tabela que informa os tipos de sangue e os tipos de antígenos que os mesmos possuem, colocando sim quando um tipo de sangue contém um determinado antígeno. Tipo de sangue Antígeno A Antígeno B Antígeno Rh A- Sim A+ Sim Sim B- Sim B+ Sim Sim AB- Sim Sim AB+ Sim Sim Sim O+ Sim O- Esta tabela significa, do ponto de vista da Teoria de Conjuntos, que, por exemplo AB+ pertence aos três conjuntos enquanto que AB- pertence somente aos conjuntos A e B. O sangue O- não pertence a nenhum dos três conjuntos A, B e Rh.
Sangue humano: Matrizes, Conjuntos, Relações, Lógica
Matrizes de dupla entrada são importantes nas ciências em geral. Apresentaremos uma situação real onde as matrizes são utilizadas como forma de apresentação de informações vitais para o ser humano.
reação ruim ao sangue de tipo O, o que acontece é que não existem aglutinogêneos nos glóbulos vermelhos capazes de provocar reações a outros tipos de sangue. Em função do que citamos acima, toda a pessoa que possui o sangue tipo O, recebe o nome de doador universal o que permite que ele possa doar sangue a todas as pessoas. Uma pessoa com sangue AB tem proteínas A e B, logo poderá receber sangue de qualquer pessoa, o que a torna uma receptora universal. Levando em consideração a possibilidade de doação de sangue, podemos construir um exemplo prático onde aplicamos o conceito matemático de Relação: Os sentidos das doações podem ser visualizados pela Relação matemática gráfica (à direita), considerando as setas da esquerda para a direita. Os glóbulos vermelhos de alguns indivíduos contêm uma proteína denominada fator Rh, razão pela qual o sangue de quem a possui é indicado com Rh+ (Rh positivo). Quando um indivíduo não possui o fator Rh, dizemos que o seu sangue é Rh- (Rh negativo). Pessoas com fator Rh- somente podem receber sangue de outras pessoas com fator Rh-. Se uma pessoa com fator Rh- receber sangue com fator Rh+, haverá reação e uma rejeição ao sangue Rh+ após a primeira transfusão de sangue. Rh- Rh- mas Rh+ Rh- Aqui, fizemos uso de um outro tipo de gráfico bastante comum para mostrar a forma como a Matemática funciona como uma ferramenta essencial nos contextos científicos.
O diâmetro da Terra: Regras de três e Trigonometria
O diâmetro da Terra foi medido pela primeira vez por Eratóstenes. Este feito foi obtido sem que ele saisse da biblioteca em que trabalhava, localizada na cidade de Alexandria, no norte do Egito, entre 276 a.C e 196 a.C. Eratóstenes era o responsável pela biblioteca do museu, tinha muitos interesses sobre as ciências e ouviu comentários de viajantes que tinham estado na cidade de Siene, onde está localizada hoje a represa de Assuam, que exatamente ao meio dia do primeiro dia de verão (21 de junho), o Sol se colocava sobre as cabeças das pessoas, dirigindo os raios de uma forma vertical. Olhando-se um poço profundo, podia-se ver o reflexo do Sol no fundo do poço. Eratóstenes observou que neste mesmo dia e hora em Alexandria havia uma sombra provocada por raios solares que não estavam sendo projetados verticalmente, mas formando um ângulo um pouquinho maior que 7° em relação à cidade de Siene que ficava 800Km mais ao Sul. Partindo destas informações e levando em consideração que muitas medidas da época eram imprecisas, Eratóstenes cálculou o diâmetro da Terra fazendo a seguinte análise: Se uma circunferência tem 360 graus e um deslocamento angular de 7 graus corresponde aproximadamente a 1/50 de um círculo e esta medida em graus equivale a 800Km, então a volta completa deverá corresponder ao diâmetro da Terra, que deverá ser aproximadamente 800x50Km=40.000Km. Atualmente, o diâmetro da Terra mede 39.830 Km e observamos que a medida obtida para a época era excelente. Observamos que a simples análise de uma regra de três simples e direta permitiu tal cálculo juntamente com outra idéia matemática de que a projeção de raios solares pode ser observada através da montagem de um triângulo retângulo e a medida do diâmetro pode ser calculada sem o acesso real ao local da medida. Percebemos aqui a importância dos conceitos de trigonometria e de semelhança de triângulos.
Lançamento de projéteis: Vetores e a Parábola
Lançamentos de projéteis são comuns em Cinemática e estão relacionados com o estudo da parábola. Consideremos o lançamento de um dardo de massa m a partir da origem do sistema cartesiano e suponhamos que no instante inicial ele sai da origem com velocidade inicial v (Vamos admitir que v seja a intensidade da velocidade) formando um ângulo a (ou a letra grega alfa) de lançamento com o eixo horizontal. o o
origem, você estará seguro pois nenhum dardo o atingirá.
Produção de medicamentos: Sistemas Lineares
Todo dia, um laboratório produz 100 gramas de um perigoso ingrediente L1, que é usado para a confecção de remédios (drogas) A, B, C e D. Estes remédios necessitam de L1 na sua confecção, de modo que: Cada 1 grama de Remédio Necessita de L1 em gramas A 0, B 0, C 0, D 0, Para prevenir qualquer desastre com o perigoso L1, o laboratório deve usar todas as 100g produzidas na confecção de x gramas de A, x gramas de B, x gramas de C e x gramas de D e para que isto aconteça, devemos ter: 0,1 x + 0,3 x + 0,5 x + 0,2 x = 100 que é uma equação linear em x , x , x e x. Supondo além disso que, na produção dos remédios A, B, C e D, haja a necessidade de um outro ingrediente I2 de modo que: Cada 1 grama de Remédio Necessita de L2 em gramas A 0, B 0, C 0, D 0, Se o laboratório produz 300g do ingrediente L2, este deseja saber qual a produção x gramas de A, x gramas de B, x gramas de C e x gramas de D de forma que todas as 300 g de I2 sejam utilizadas, então temos: 0,4 x + 0,2 x + 0,3 x + 0,8 x = 300 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
que é uma outra equação linear em x , x , x e x. Assim, temos um sistema com 2 equações lineares: 0,1 x + 0,3 x + 0,5 x + 0,2 x = 100 0,4 x + 0,2 x + 0,3 x + 0,8 x = 300 Resolvendo este sistema observamos que existem infinitas soluções (sendo algumas inteiras): Solução 1: x =305, x =15, x =50, x = Solução 2: x =104, x =32, x =40, x = Em casos práticas, a escolha dos números deve estar de acordo com o custo, demanda dos produtos, materiais disponíveis, bem como o custo do trabalho. Este problema está envolvido com os conceitos matemáticos de equação linear e sistema de equações lineares.
Psicologia: Produto Cartesiano
Num experimento em Psicologia, um rato é posto em uma célula com três portas a, b e c. O rato deixa a célula por uma das portas. Ao alcançar a interseção ela vira à esquerda ou à direita e na próxima interseção ele vira à esquerda ou à direita novamente. Considerando E={a,b,c} e V= {esquerda,direita}, o caminho que o rato pode tomar pode ser representado como um elemento do produto cartesiano: Produto = E × V × V São 12 os caminhos possíveis que podem ser obtidos com: n(Produto) = n(E) × n(V) × n(V) onde n(X) é o número de elementos do conjunto X. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Solução do problema:
- Construir um plano cartesiano e identificar o vetor (3,4) que aparece na função objetivo;
- Construir as retas x+2y=8 e 2x+2y=10;
- Sombrear a região do primeiro quadrante localizada acima das retas x+2y=8 e 2x+2y=10;
- Construir uma reta perpendicular ao vetor (3,4);
- Traçar várias retas paralelas a esta última de forma que estas retas estejam localizadas sobre a região sombreada;
- Dentre todas as retas traçadas, procure a que passa mais próximo da origem do sistema obtendo o par (x,y) que pertence a esta reta e ainda está na região sombreada. Este será o par que resolve o sistema.
- A solução será o ponto P=(2,3) que é a interseção das retas x+2y=8 e 2x+2y=10 e que também está na reta perpendicular ao vetor (3,4) mais próxima da origem do sistema. Construída por Ulysses Sodré.
