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INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
MAT-2453 Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores
EXERCÍCIOS
1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
(a) f (x) =
(ex^ + e−x^ ) (b) f (x) =
(ex^ − e−x) (c) f (x) = ee
x
(d) f (x) = xe^ + ex^ (e) f (x) = e1/x
2
ex^2
(f) f (x) = ln(ex^ + 1 )
(g) f (x) = (ln x)^2 + ( 1 + 2 x
3 )x^ (h) f (x) = ln
x +
x^2 + 1
(i) f (x) = x π^ + π x (j) f (x) = 2 x
2
- 32 x^ (k) f (x) = ln(arctg x) (l) f (x) =
1 + cos^2 x
)sin x
(m) f (x) = (ex^ + 3 x)arcsin(x
(^2) ) (n) f (x) = ( 3 + cos x)tg^ (x
(^2) ) (o) f (x) =
ln(x^3 + 2 x
3 ) x^2 + ecos^ x (p) f (x) = (x^2 + 1 )sin(x
(^5) ) (q) f (x) = ln
x + 1 x − 1
(r) f (x) = ( 1 + arctg x^2 )1/x
4
Observação 0.1. As funções (a) e (b) são chamadas, respectivamente, de cosseno hiperbólico e de seno hiperbólico e são denotadas, respectivamente por cosh e sinh. Verifique que cosh^2 (x) − sinh^2 (x) = 1, cosh′(x) = sinh(x), e sinh′(x) = cosh(x), para todo x ∈ R.
2. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades: (a) |sen b − sen a| ≤ |b − a|, para todos a, b ∈ R. (b) |
a −
b| ≤ 12 |a − b|, para todos a, b ∈ R , com a ≥ 1 e b ≥ 1. (c)
∣ln ab
∣ (^) ≤ |a − b|, para todos a, b ∈ R , com a ≥ 1 e b ≥ 1. (d) bb^ − aa^ > aa(b − a), para todos a, b ∈ R com 1 ≤ a < b. (e) lnb^ b− lna^ a≤ b−a 2 a, para 1 ≤ a < b ≤ e.
3. Seja f uma função derivável no intervalo ] − 1, +∞[ tal que f ( 0 ) = 0 e 0 < f ′(x) ≤ 1, para todo x > 0. Mostre que 0 < f (x) ≤ x, para todos x > 0. 4. Mostre que f (x) = ( 1 + x)1/x^ é estritamente decrescente em ]0, +∞[. Conclua que
( 1 + π )e^ < ( 1 + e) π.
5. Prove as seguintes desigualdades:
(a) 2
x > 3 −
x
, para todo x > 1 (b) e π^ > π e
(c)
tg b tg a
b a
para 0 < a < b < π 2 (d) x −
x^3 3!
< sin x < x −
x^3 3!
x^5 5!
, para x > 0
(e)
1 + x < 1 + x 2 , para x > 0 (f) 2x arctg x > ln( 1 + x^2 ), para x > 0
6. Seja f derivável em R e seja g dada por g(x) =
f (x) x
, x 6 = 0. Suponha que x 0 é ponto crítico de g. Prove que x 0 f ′(x 0 ) − f (x 0 ) = 0. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x 0 passa pela origem.
7. No seu livro de Cálculo de 1696, L’Hôpital ilustrou sua regra com o limite da função
f (x) =
2 a^3 x − x^4 − a 3
a^2 x a − 4
ax^3 quando x → a, a > 0. O valor desse limite é: a. a b. a^2 c. 3 a/ d. nenhuma das anteriores.
1
8. Calcule, caso exista
(a) lim x→ 12 −
ln( 1 − 2 x) tg( π x)
(b) lim x→ 0 +
ln x cotg x
(c) lim x→ 1 +^
(ln x)(x−^1 )
(d) lim x→+∞
ln x e^2 x^
(e) lim x→+∞
xex ex^2
(f) lim x→ 0 +^
xp^ ln x, p > 0
(g) lim x→ 0 +^
xtg(x
(^2) ) (h) lim x→ 0
ln( 1 + x)
ex^ − 1
(i) lim x→ 0 +^
(x sin x)tgx
(j) lim x→ 0
(ex^ + 3 x)
(^1) x (k) lim x→ 0
1 − cos x
x^2
(l) lim x→ 0 +
x
(m)lim x→ 0
ln( 1 + x^2 ) x arctgx
(n) lim x→ π 2 +^
(tg x sec x − sec^2 x) (o) lim x→ 0
x sin x + 2 x^2 ex^ + e−x^ − 2
(p) lim x→ 0
( 1 + 5 x)
(^3) x (q) lim x→ 0
( 1 + sin 2x) sin^1 x (r) lim x→ 0 +^
(sin x) ln^1 x
(s) lim x→ 0 +^
( 1 + 3 x) arctg^1 ( 2 x) (t) lim x→ 0 +^
( 1 − cos x)x^ (u) lim x→ 1 −^
( 2 − x)tg(^
π 2 x )
(v) (^) x→−lim∞
6 x + 1 6 x − 1
)x (w) lim x→+∞
ln(x + 3 )x+^4 − ln(x + 2 )x+^4
(x) lim x→ 0
arctg( 2 x^2 ) ln( 1 + 3 x^2 )
9. Sejam f : R → R derivável e a, b ∈ R tais que f (a) = f (b) = 0. Determine qual das alternativas abaixo implica a existência de um c entre a e b tal que f (c) = 0. a. f ′(a) > 0 e f ′(b) < 0. b. f ′(a) f ′(b) > 0. c. f ′(a) + f ′(b) > 0. d. f ′(a) + f ′(b) < 0. 10. Determine c para que a função f (x) = x^3 + 3 x^2 − 9 x + c tenha uma única raiz real. 11. Para que valores de k a equação 2x^3 − 9 x^2 + 12 x = k tem três soluções reais distintas? 12. Prove que existe um único c ∈ R tal que cos( c 2 π ) = 2 − 3 c. 13. Seja f (x) = x^7 + π x^3 − 8 x^2 + ex + 1. Quantas soluções distintas tem a equação f ′′(x) = 0? Mostre que a equação f (x) = 0 tem exatamente três soluções reais distintas. 14. Dentre as alternativas abaixo, aquela que contém um polinômio que define uma função bijetora de R em R é: a. 3 x^5 − 5 x^3 + 15 x. b. 3 x^5 − 5 x^3 − 15 x. c. 3 x^5 + 5 x^3 − 15 x. d. 3 x^5 − 5 x^3. e. 5 x^3 − 15 x. 15. Suponha que f : [0, 1] → R é contínua e que 0 ≤ f (x) ≤ 1, para todo x ∈ [0, 1]. Prove que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. 16. Prove que se p é um polinômio, a equação ex^ − p(x) = 0 não pode ter infinitas soluções reais. 17. Suponha f : [0, 1] → R contínua, f ( 0 ) = 1 e f (x) um número racional para todo x ∈ [0, 1]. Prove que f (x) = 1, para todo x ∈ [0, 1]. 18. Seja f (x) um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de inflexão, que é a média aritmética das três raízes. 19. Seja f : R → R derivável e com um único ponto crítico x 0. Prove que se x 0 for ponto de mínimo (máximo) local de f , então x 0 será o único ponto de mínimo (máximo) global de f. 20. Determine todos os números positivos a tais que a curva y = ax^ corta a reta y = x.
27. (Transferência Fuvest 2007) Seja f uma função derivável até segunda ordem e suponha que o gráfico da função derivada f ′^ seja representado pela figura abaixo:
x
y
1 3 4
2
Pode-se afirmar que a única alternativa incorreta é a. f possui concavidade para cima no intervalo ]1, 2[. b. x = 1 é ponto de máximo local de f e x = 3 é ponto de mínimo local de f. c. f possui concavidade para cima no intervalo ]3, 4[. d. f é crescente para x < 1 e também para x > 3 e decrescente para 1 < x < 3. e. x = 2 e x = 4 são pontos de inflexão de f.
28. Seja f : R → R uma função de classe C∞^ cujo gráfico de f ′^ está esboçado abaixo.
x
y
a 0
Quais das seguintes afirmações podem ser obtidas a partir da figura? (a) (^) x→lim+∞ f (x) = −∞ (b) f (x) ≥ f (a) para todo x ∈ R (c) f possui dois pontos de inflexão no intervalo ]0, +∞[ (d) x = 0 é um mínimo local da função g(x) = x f (x^2 ) (e) O gráfico de f possui assíntota horizontal
29. Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
(a) f (x) = x^4 + 2 x^3 + 1 (b) f (x) = 3 +
x x^2 + 1
(c) f (x) =
2 x^2 + 3 x − 8 x + 2
(d) f (x) =
x^3 x^2 − 1
(e) f (x) =
x^3 (x − 1 )^2
(f) f (x) =
ln x x
(g) f (x) =
ex x
(h) f (x) = x − 5 ln(x + 2 ) −
x + 2
(i) f (x) = arctg(ln x)
(j) f (x) = x^2 ln x (k) f (x) =
e−1/x x
(l) f (x) = ( 3 −
x
)e
(^2) x
(m) f (x) =
8 ln(x + 3 ) (x + 3 )^2
(n) f (x) = ln( 2 x) − ln( 3 x^2 + 3 ) (o) f (x) =
x^3 − x^2
(p) f (x) = ex^ − e^3 x^ (q) f (x) = 3
x(x − 1 )^2 (r) f (x) = xx
30. (Transferência Fuvest 2002) Sabendo que a figura abaixo é o esboço do gráfico de uma função f (x) = p(x) q(x) , em que^ p^ e^ q^ são polinômios, tem-se
x
y
a. grau p = grau q ≥ 2. b. grau p = grau q ≤ 2. c. grau p > grau q > 2. d. grau p > grau q = 2. e. grau p < grau q = 2.
31. Seja f (x) =
4 x + 5 x^2 − 1
. Prove que f tem exatamente um ponto de inflexão e que esse ponto pertence ao intervalo ] − 3, − 2 [. Esboce o gráfico de f. 32. (Transferência 2017) Considere as funções deriváveis f e g cujos gráficos estão esboçados abaixo:
1 2 3 x
y
1 2 x
y
f 1
g
3
Seja h = f ◦ g. Sabendo que x = 1 é ponto de mínimo local de g e que g( 1 ) = 1, é correto afirmar que a. h′( 1 ) > 0. b. h′( 1 ) < 0. c. x = 1 é ponto de inflexão de h. d. x = 1 é ponto de mínimo local de h. e. x = 1 é ponto de máximo local de h.
33. Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. (a) Se f ′(x) > 0, para todo x > a, então (^) x→lim+∞ f (x) = +∞. (b) Se f é derivável até segunda ordem com f ′(x) > 0 e f ′′(x) > 0, para todo x > a, então (^) x→lim+∞ f (x) = +∞. (c) Se lim x→+∞
f ′(x) = 0 então lim x→+∞
f (x) = L ∈ R. (d) Se existe uma assíntota para f (quando x → +∞) com coeficiente angular m e se existe lim x→+∞
f ′(x) = L, então L = m. (e) Se lim x→+∞
f ′(x) = m ∈ R , m 6 = 0 então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m.
34. Seja f (x) = (x + 6 )e1/x. Para quais valores de k a equação f (x) = k tem exatamente duas soluções reais? 35. Ache o ponto de mínimo de f (x) = ex^
x no intervalo ]0, +∞[. Use isso para provar que
ea+b ab
≥ e^2 , para todos a > 0 e b > 0.
52. Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos 2 pedaços seja: (a) máxima?; (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é 2/3 da altura do triângulo. 53. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máxima.
C
A
a B
54. Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 10m de diâ- metro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto B (veja figura abaixo). Seja α o ângulo AOC. Sabendo que ela pode caminhar duas vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α , as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo. (Observação: considere que a pessoa pode somente caminhar ou somente nadar).
α
A
B
C
O
55. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a vertical de modo a obter a máxima capacidade.
L
L L θ θ
56. Um muro de 2 metros de altura está a 1 metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apóiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro? 57. Seja k um número real. Prove que todas as funções f : R → R tal que f ′(x) = k f (x), para todo x ∈ R são da forma cekx, com c ∈ R. 58. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. (a) 3
8, 2; (b) ln(1, 3); (c) sin(0, 1).
59. Mostre que: (a) |sin x − x| ≤
x^3
, ∀x ∈ R ; (b) 0 ≤ ex^ −
1 + x +
x^2 2
x^3 2
, ∀x ∈ [0, 1].
60. Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f (x) = 3
x em torno de x 0 = 1.
61. Determine P 3 (x), o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f (x) = 5
x em torno de x 0 e dê a fórmula para o erro E(x) = f (x) − P 3 (x). Use este polinômio com um x 0 conveniente para avaliar 5
34 com erro inferior a 5−^2 · 2 −^15.
62. Seja n > 1 um inteiro. Determine Pn(x), o polinômio de Taylor de ordem n da função f (x) = sin( 2 x) em torno de x = 0.
63. Seja n > 0 um inteiro ímpar. Mostre que ∣ ∣∣ ∣∣sin^ x^ −
x −
x^3 3!
x^5 5!
n− 2 1 xn n!
∣∣ ≤^
|xn+^2 | (n + 2 )!
, ∀x ∈ R.
Avalie sin 1 com erro inferior a 10−^5.
64. Determine o polinômio de Taylor de ordem n da função f (x) = ex^ em torno de x 0 = 0 e avalie e com erro, em módulo, inferior a 10−^5. Mostre ainda que
∣ex
2 −
1 + x^2 + x
4 2 +^
x^6 3! +^ · · ·^ +^
x^2 n n!
∣ ≤^ e
x^2 x 2 n+ 2 (n+ 1 )! ,^ ∀x^ ∈^ R^ e então avalie^ e
0,25 (^) com erro
inferior a 2−^18.
65. Seja f :]a, b[→ R uma função de classe C^2 e suponha que x 0 ∈]a, b[ seja um ponto crítico de f. Mostre que: (a) se f ′′(x 0 ) > 0, então x 0 é um ponto de mínimo local de f ; (b) se f ′′(x 0 ) < 0, então x 0 é um ponto de máximo local de f.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
66. Sejam I um intervalo aberto e f : I → R uma função derivável. (a) (Teorema de Darboux) Mostre que se a, b ∈ I, com a ≤ b, então para todo y entre f ′(a) e f ′(b), existe x ∈ [a, b] tal que f ′(x) = y.
Observação 0.2. Não supomos f de classe C^1. Isso tornaria o exercício trivial.
(b) Conclua que não existe função f : R → R , derivável, tal que f ′( 0 ) = 1 e f ′(x) = 0 para todo x 6 = 0. (c) Determine uma função f : R → R , derivável em todo ponto, tal que f ′^ não seja contínua.
67. Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo α a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m > 1.
Ferrovia
Rodovia
β
α
68. Um corpo de peso P apoiado sobre um plano horizontal deve ser deslocado horizontalmente pela aplicação de uma força de intensidade F. Qual o ângulo α com a horizontal deve formar a força para que a intensidade da mesma necessária para mover o corpo seja mínima, admitindo coeficiente de atrito μ > 0?
α
F
P
R
Observação 0.3. Para cada α ∈ [0, π 2 ] fixo, o valor mínimo da força F para movimentar o bloco é tal que a diferença entre a componente horizontal de F e a força de atrito R seja positiva, i.e. F cos α − μ (P − F sin α ) ≥ 0, ou seja, F ≥ (^) cos α + μ P μ sin α.
69. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o compri- mento da maior barra que pode passar a esquina?
RESPOSTAS
(a) 0 (b) 0 (c) 1 (d) 0 (e) 0 (f) 0 (g) 1 (h) 1 (i) 1 (j) e^4 (k) 16 (l) +∞ (m) 1 (n) − 12 (o) 3 (p) e^15 (q) e^2 (r) e (s) e
(^32) (t) 1 (u) e
(^2) π (v) 3
e (w) 1 (x) (^23)
7. (d) 9. (b) 11. 4 < k < 5 14. (a) 20. a ≤ e
(^1) e
21. (c) 22. (a) a = 16; (b) a = − 54 23. (a) 24. (a) 26. (a), (b), (c), (e) 27. (a) 28. (c) 30. (a) 32. (e) 33. Verdadeiras: (b) e (d) 34. 0 < k < 4e−1/2^ ou k > 9 3
e
35. (a) 1 36. Não há soluções se k < 0; tem 1 so- lução se k = 0 ou k > (^) e^42 ; tem 2 so- luções se k = (^) e^42 ; tem 3 soluções se 0 < k < (^) e^42. 37. (a) −1;
2 (b)
17 8 ;
32 27
(c) 1; 14 + ln4 (d) 3
−3; 0 (e) 0; 27
38. a = 28 39. a = 2 40. (c) 41. (b) 42. (a) 1; (b) (^) π^4 43. altura: 4; raio: 2
2 π
2 π + 12
46. π 4 47. (c) 48. soma mínima: h =
2; a soma nunca é máxima.
49. b +
b^2 + 4 a^2
50. (5, 0) e (−5, 0) 51. (b) 52. (a) Deve-se formar apenas um qua- drado;√ (b) o lado do quadrado é 3 L 9 + 4
54. menor tempo α = π ; maior tempo α = π 3 55. θ = π 6
56.
69. (a2/3^ + b2/3)3/
