Matemática Financeira: Juros Simples, Juros Compostos e Sistemas de Amortização, Teses (TCC) de Matemática Financeira

Baixe Matemática Financeira: Juros Simples, Juros Compostos e Sistemas de Amortização e outras Teses (TCC) em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!

CENTRO TÉCNICO-EDUCACIONAL SUPERIOR DO OESTE

PARANAENSE – CTESOP

ENSINO DA MATEMÁTICA: TEORIA E PRÁTICA

THIAGO ANGELO ZOLIM

ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

ASSIS CHATEAUBRIAND – PR

THIAGO ANGELO ZOLIM

ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Monografia apresentada ao curso de Pós- Graduação ‘Lato Sensu’ do Centro Técnico-Educacional Superior do Oeste Paranaense – CTESOP, como requisito parcial, para obtenção do grau de especialista em Ensino da Matemática: Teoria e Prática. Orientação: Prof. Ms Marcelo Carlos Gimenes

ASSIS CHATEAUBRIAND – PR

Dedico este trabalho aos meus pais que foram compreensivos nos meus momentos de estresse e aos meus amigos que me ajudaram muito nos momentos difíceis.

Professores, há aos milhares. Mas professor é profissão, não é algo que se definhe por dentro, por amor. Educador, ao contrário, não é profissão; é vocação. E toda vocação nasce de um grande amor, de uma grande esperança. (Rubem Alves)

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho descreve uma pesquisa bibliográfica sobre a importância do ensino da matemática financeira para a formação de um cidadão analítico e crítico diante das operações financeiras. Como o autor é acadêmico do curso de pós- graduação em educação matemática, faz-se um estudo bibliográfico sobre a disciplina. Procura-se no decorrer do texto apresentar e analisar a importância da matemática financeira para que o indivíduo obtenha resultados favoráveis em uma operação financeira. Diante do mundo capitalista no qual vivemos, há necessidade de aumentar os rendimentos financeiros, tanto pessoais, quanto empresariais. Para isso, devemos ter conhecimento de diferentes formas de obter ganhos em variadas naturezas de aplicações financeiras. Nesse contexto, o trabalho buscará demonstrar teorias e aplicações de juros simples, juros compostos e sistemas de amortizações, propiciando mostrar qual a importância da matemática financeira na vida do indivíduo, propondo assim, a disciplina como parte da grade curricular nos cursos de matemática. Para que a pessoa não fique estacionada no tempo, é necessário entender sobre as operações financeiras, fórmulas e cálculos. Assim, desenvolve-se esse trabalho para demonstrar quais formas de cálculos financeiros para determinada operação e evidenciar o quanto é importante o ensino da matemática financeira para que possamos ser analíticos e críticos, levando em conta a importância de que tal aprendizado comece a ser passado nas séries iniciais de nossas escolas. Todo trabalho científico necessita de um método para definir sua linha de pesquisa, a qual oferece sustentação do mesmo. Por isso se torna necessário demonstrar e caracterizar as metodologias que serão utilizadas para a execução do mesmo. Barros & Lehfeld (2000), afirma que “metodologia corresponde a um conjunto de procedimentos a serem utilizados na obtenção do conhecimento”. Ou

2. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Na época em que os homens viviam em comunidades restritas, tirando da natureza todos os produtos de que tinham necessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comunicação entre as diversas sociedades. Mas com o desenvolvimento do artesanato e da cultura e em razão da desigual repartição dos diversos produtos naturais, a troca comercial mostrou-se pouco a pouco necessária. O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocam diretamente gêneros e mercadorias correspondentes a matérias-primas ou a objetos de grande necessidade. Por vezes, quando se tratava de grupos que entretinham relações pouco amistosas, essas trocas eram feitas sob a forma de um escambo silencioso. Umas das partes depositava, num lugar previamente estabelecido, as diversas mercadorias com as quais desejava fazer a troca e, no dia seguinte, encontrava em seu lugar os produtos propostos pelo outro parceiro. Se a troca fosse considerada conveniente levavam os produtos, senão retornava-se no dia seguinte para encontrar uma quantidade maior. O mercado podia então durar vários dias ou mesmo terminar sem troca quando as duas partes não podiam encontrar terreno para entendimento. Com a intensificação das comunicações entre os diversos grupos e a importância cada vez maior das transações, a pratica do escambo direto tornou-se rapidamente um estorvo, não se podiam mais trocar mercadorias segundo o capricho de tal ou qual indivíduo ou em virtude de um uso consagrado ao preço de indetermináveis discussões. Houve, portanto a necessidade de um sistema relativamente estável de avaliações e de equivalências de caráter econômico. A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. Nas ilhas do Pacífico as mercadorias foram estimadas em colares de perolas ou de conchas. Após certo período, começou-se por trocar faixas de tecido por animais ou objetos. O tecido era a moeda, a unidade era o palmo de fita de duas vezes oitenta fios de largura. À medida que o comercio se desenvolvia, os metais desempenharam um papel cada vez maior nas transações comerciais, vindo a tornar-se fim das contas a “moeda de troca” preferida dos vendedores e compradores. A partir de então, graças

ao padrão de metal, as mercadorias passaram a não mais ser trocadas ao simples prazer dos contratantes ou segundo usos consagrados frequentemente arbitrários, mas em função de seu “justo preço”. Aprendendo a contar abstratamente e agrupar todas as espécies de elementos o princípio da base, o homem aprendeu assim a estimar, avaliar e medir diversas grandezas. Aprende igualmente a atingir e conceber números cada vez maiores, antes mesmo de ser capaz de dominar a idéia do infinito. Pôde elaborar também varias técnicas operatórias e erguer-se os primeiros rudimentos de uma aritmética inicialmente pratica, antes de torna-se abstrata e conduzir a álgebra, onde hoje temos a Matemática Financeira amplamente desenvolvida. Assim, hoje temos que a Matemática Financeira é o ramo da matemática que se ocupa do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu campo de aplicação são as operações financeiras, entendendo-se como tais as de empréstimo, financiamento, aplicação e investimento. Seu principal objetivo é fornecer instrumentos matemáticos (fórmulas, tabelas, gráficos, diagramas) que permitam a analise e a comparação de operações financeiras e a tomada de decisão quanto a elas.

Ela vem normalmente expressa na forma percentual, seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 36% a.a. ( a.a. significa ao ano) 18% a.s. (a.s. significa ao semestre) 12% a.q. (a.q. significa ao quadrimestre) 9% a.t. (a.t. significa ao trimestre) 6% a.b. (a.b. significa ao bimestre) 3% a.m. (a.m. significa ao mês) 1% a.d. (a.d.significa ao dia) 3.1.1.1 Taxa de juros nominal, efetiva e real A taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação de juros (capitalização). É chamada de taxa nominal. Exemplo: 15% a.a., cujos juros são pagos mensalmente. Tem-se aí que a taxa de juros nominal é de 15 % a.a., porém a capitalização é mensal. Já a taxa efetiva é a taxa obtida em um certo período, que pode ser um mês, um semestre, um ano. Assim se a aplicação do exemplo fosse por seis meses, ter-se-ia, em juros simples, uma taxa efetiva de 7,5% a.s., visto ter sido este o período de aplicação. A taxa efetiva em juros simples é obtida a partir da taxa nominal, e consiste na divisão desta pelo número de capitalizações que a incluem, sendo acumulada pelo prazo de transação. A taxa real de uma aplicação será calculada, excluindo o percentual de inflação que a taxa efetiva embute. 3.1.2 Cálculo do Juro Simples Segundo Crespo (1999), “o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade”.

Assim sendo:  C é o capital inicial ou principal;  J é o juro simples;  n é o tempo de aplicação; e  i é a taxa de juro unitária, Podemos escrever: J = C x i x n Que é a fórmula de cálculo do juro simples. É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. Exemplo: Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200.00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual o valor do juro a ser pago? Resolução: Temos: C = 1.200. n = 2 anos i = 30% a.a. = 0,3 a.a. Como: J = C x i x n Temos: J = 1.200,00 x 0,3 x 2 J = 720, Logo, o juro a ser pago é de R$ 720.00. 3.1.3 Montante Crespo (1999), define que “o montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro relativo ao período de aplicação”. Gomes e Mathias (1996), definem “como montante de um capital, aplicado à taxa i e

Ou seja, podemos escrever a fórmula do seguinte modo: Exemplo: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i 1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i 2 = 20% a.a. = 0,20 a.a. n 1 = 3 meses n 2 = 12 meses Como: Substituindo-se os valores: Que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,05 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais. 3.1.5 Taxas Equivalentes Segundo Gomes e Mathias (1996), “duas taxas se dizem equivalentes se, aplicando um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro. Sejam as taxas de juros i , referente a 1 período e i m referente à fração 1/ m , supostas equivalentes. Pela definição dada, seja:

Jim = C x im x m Como as taxas são supostas equivalentes, ambas devem ter gerado o mesmo juro, ou seja: Ji = Jim Portanto: C i = C i m m Isto é: Toma-se então evidente que, no regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. É, portanto, indiferente falar-se que duas taxas de juros são proporcionais o que são equivalentes. Exemplo: Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J 1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = R$ 4.800, Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por 2 anos, teremos um juro igual a: J 2 = 10.000,00 x 0.24 x 2 = R$ 4.800, Constatamos que o juto que será gerado é igual nas duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a. 3.1.6 Juro Comercial e Juro Exato

É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal ( N ) e o valo atual ( Va ) de um compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento, também conhecido como desconto verdadeiro. Para que seja alcançado o valor do desconto racional ( Dr ), calculada para um valor nominal ( N ), a uma taxa de juros determinada ( i ), e para um dado prazo de antecipação ( n ), tem-se esta fórmula: Dr = O valor descontando ou atual ( Va ), de acordo com a definição, é dado por: Va = Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 33.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto racional e qual o valor a pagar? Solução: N = 33.000, n = 3 meses i = 40% a.a.; i = 40% a.a. / 12 meses; i = 3,33% a.m. a) o desconto: Dr =

Dr = Dr = Dr = Dr = R$ 3.000, b) o valor atual: Va = Va = Va = Va = Va = R$ 30.000, Assim, R$ 30.000,00 é o valor atual do compromisso. 3.2.2 Desconto Comercial ou “Por Fora”