Matem´atica Comercial e Financeira
Notas de aulas de Matem´
atica para o
curso de Administrac¸ ˜
ao de Empresas
Prof. Ulysses Sodr´
e
Departamento de Matem´
atica - UEL
Londrina-PR, 4 de Abril de 2008
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Matemática Financeira: Juros Simples e Compostos, Descontos e Amortizações, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática Financeira
Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operações financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2020
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Matem´atica Comercial e Financeira
Notas de aulas de Matem´atica para o
curso de Administrac¸ ˜ao de Empresas
Prof. Ulysses Sodr´e [email protected]
Departamento de Matem´atica - UEL
Londrina-PR, 4 de Abril de 2008
ii
Ulysses Sodr´e 2008 [email protected]
Notas de aulas de Matem´atica Financeira, contendo diversos materiais utilizados em minhas aulas na Universidade Estadual de Londrina e tamb´em fora dela. Desejo que tais notas sejam apenas um roteiro para as aulas e n˜ao espero que as mesmas venham a substituir qualquer livro de Matem´atica Comercial e Financeira. A ordem do material ´e aquela normalmente tratada em livros sobre o tema. Alguns conceitos foram extra´ıdos de alguns livros, mas muitos deles foram fortemente modificados. Em l´ıngua portuguesa, existem poucos materiais de dom´ınio p´ublico, mas em l´ıngua inglesa h´a diversos materiais que est˜ao dispon´ıveis na Internet. Suge- rimos que o leitor realize pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Vers˜ao compilada no dia 4 de Abril de 2008.
P´agina Matem´atica Essencial
Endere¸cos da P´agina: 250 links - atualizada: http://mat.uel.br/matessencial/ 168 links - desatualizada: http://www.sercomtel.com.br/matematica/
“PORQUE DEUS AMOU O MUNDO DE TAL MANEIRA QUE DEU O SEU FILHO UNIG ENITOˆ , PARA QUE TODO AQUELE QUE NELE CR E Nˆ AO˜ PEREC¸ A, MAS TENHA A VIDA ETERNA. PORQUE DEUS ENVIOU O SEU FILHO AO MUNDO, N AO PARA QUE JULGASSE O MUNDO˜ , MAS PARA QUE O MUNDO FOSSE SALVO POR ELE. QUEM CR Eˆ N’ELE N AO˜ E JULGADO´ ; MAS QUEM N AO CR˜ ˆE, J A EST´ A JULGADO´ ; PORQUANTO N AO CR˜ E NO NOME DO UNIGˆ ENITOˆ FILHO DE DEUS. E O JULGAMENTO E ESTE´ : A LUZ VEIO AO MUNDO, E OS HOMENS AMARAM ANTES AS TREVAS QUE A LUZ, PORQUE AS SUAS OBRAS ERAM M AS´. PORQUE TODO AQUELE QUE FAZ O MAL ABORRECE A LUZ, E N AO VEM PARA A LUZ˜ , PARA QUE AS SUAS OBRAS N AO˜ SEJAM REPROVADAS. MAS QUEM PRATICA A VERDADE VEM PARA A LUZ, A FIM DE QUE SEJA MANIFESTO QUE AS SUAS OBRAS S AO˜ FEITAS EM DEUS.” A B´IBLIA SAGRADA, JO AO˜ 3:16-
- 1 Elementos b´asicos em Matem´atica Financeira Conte ´udo
- 1.1 Capital
- 1.2 Juros
- 1.3 Notac¸ ˜oes comuns que ser˜ao utilizadas neste material
- 1.4 Compatibilidade dos dados
- 2 Juros simples
- 2.1 Juros simples
- 2.2 Montante simples
- 3 Fluxo de caixa
- 3.1 Exemplos importantes de Fluxos de Caixa
- 4 Juros compostos
- 4.1 Montante composto
- 4.2 Calculando logaritmos no navegador para a Internet
- 4.3 Fator de Acumulac¸ ˜ao de Capital (Fator de P para S)
- 4.4 C´alculo do FAC com uma calculadora comum
- 4.5 Fator de Valor Atual
- 4.6 C´alculo do FVA com uma calculadora comum
- 4.7 C´alculo de juros Compostos
- 5 Taxas
- 5.1 Taxa Nominal
- 5.2 Taxa Efetiva
- 5.3 Taxa Real
- 5.4 Conex˜ao entre as taxas real, efetiva e da inflac¸ ˜ao
- 5.5 Taxas equivalentes
- 5.6 C´alculos de taxas equivalentes
- 6 Descontos
- 6.1 Tipos de descontos
- 6.2 Desconto Simples Comercial (por fora)
- 6.3 Desconto Simples Racional (por dentro)
- 6.4 Desconto Comercial composto (por fora) CONTE ´UDO iv
- 6.5 Desconto Racional composto (por dentro)
- 7 Financiamento pelo Sistema Price
- 8 Sistemas de amortizac¸ ˜ao
- 8.1 Sistema de Pagamento ´unico
- 8.2 Sistema de Pagamentos Vari´aveis
- 8.3 Sistema Americano
- 8.4 Sistema de Amortizac¸ ˜ao Constante (SAC)
- 8.5 Sistema Price (Sistema Francˆes)
- 8.6 Sistema de Amortizac¸ ˜ao Misto (SAM)
- 8.7 Sistema Alem˜ao
- 9 Estudo matem´atico do sistema alem˜ao
- 9.1 O Modelo matem´atico
- 9.2 F´ormulas b´asicas
- 9.3 Exemplo t´ıpico
- 10 An´alise de investimento ou financiamento
- 10.1 Valor Presente L´ıquido (NPV)
- 10.2 Taxa Interna de Retorno (IRR)
- 10.3 Conex˜ao entre NPV e IRR
- 10.4 An´alise entre dois Investimentos
- 10.5 An´alise entre dois Financiamentos
- 10.6 A Matem´atica do Valor Presente L´ıquido (NPV)
- 11 Divis˜ao em partes proporcionais
- 11.1 Propriedades das proporc¸ ˜oes
- 11.2 Divis˜ao em duas partes diretamente proporcionais
- 11.3 Divis˜ao em v´arias partes diretamente proporcionais
- 11.4 Divis˜ao em duas partes inversamente proporcionais
- 11.5 Divis˜ao em v´arias partes inversamente proporcionais
- 11.6 Divis˜ao em duas partes direta e inversamente proporcionais
- 11.7 Divis˜ao em n partes direta e inversamente proporcionais
- 11.8 Regra de Sociedade
Sec¸ ˜ao 1 Elementos b´asicos em Matem´atica Financeira 1
1 Elementos b´asicos em Matem´atica Financeira
A Matem´atica Financeira ´e uma ferramenta ´util na an´alise de algumas alterna- tivas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A id´eia b´asica ´e simplificar a operac¸ ˜ao financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matem´aticos.
1.1 Capital
O Capital ´e o valor aplicado atrav´es de alguma operac¸ ˜ao financeira. Tamb´em conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em l´ıngua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.
1.2 Juros
Juros representam a remunerac¸ ˜ao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou at´e mesmo, com algumas condic¸ ˜oes mistas.
Regime Processo de funcionamento Simples Somente o principal rende juros. Compostos Ap´os cada per´ıodo, os juros s˜ao incorporados ao Capital, pro- porcionando juros sobre juros.
1.3 Notac¸ ˜oes comuns que ser˜ao utilizadas neste material
C Capital.
n n´umero de per´ıodos.
j juros simples ap´os n per´ıodos.
J juros compostos ap´os n per´ıodos.
r taxa percentual de juros.
i taxa unit´aria de juros i =
r 100
P Principal ou valor atual.
M Montante obtido em capitalizac¸ ˜ao simples.
S Montante obtido em capitalizac¸ ˜ao composta.
2.2 Montante simples 3
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1250,00 durante 4 anos (48 meses) a taxa de` 2% ao m^es s˜ao dados por:
j =
1250 , 00 × 2 × 48
Se a taxa ´e r% ao dia, usamos d como o n´umero de dias para obter os juros exatos (n´umero exato de dias) ou comerciais simples com a f´ormula:
j = P r d 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1250,00 durante 6 meses (180 dias) a taxa de` 0,02% ao dia s˜ao dados por:
j =
1250 , 00 × 0 , 02 × 180
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), `a taxa de 0,2% ao dia, s˜ao dados por:
j =
1250 , 00 × 0 , 2 × 181
2.2 Montante simples
Montante ´e a soma do Capital com os juros. O montante tamb´em ´e conhecido como Valor Futuro. Em l´ıngua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas cal- culadoras financeiras pela tecla FV. O montante ´e dado por uma das f´ormulas:
M = P + j = P( 1 + i n)
Exemplo: Se a taxa de uma aplicac¸ ˜ao ´e de 150% ao ano, quantos meses ser˜ao necess´arios para dobrar um capital aplicado atrav´es de capitalizac¸ ˜ao simples?
Objetivo: M=2P, Dados: i =
= 1 , 5, F´ormula: M = P( 1 + in).
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), ent˜ao 2=1+1,5 n, logo n=2/3 ano = 8 meses
Exemplo: Qual ´e o valor dos juros simples pagos `a taxa i=100% ao ano se o valor principal ´e P=1000,00 e a d´ıvida foi contra´ıda no dia 10 de janeiro, sendo que dever´a ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?
Sec¸ ˜ao 3 Fluxo de caixa 4
Contagem do tempo Per´ıodo N´umero de dias De 10/01 at´e 31/01 21 dias De 01/02 at´e 28/02 28 dias De 01/03 at´e 31/03 31 dias De 01/04 at´e 12/04 12 dias Total 92 dias
F´ormula para o c´alculo dos juros exatos:
j = P r d 365 × 100
C´alculo:
j =
1000 × 100 × 92
365 × 100
3 Fluxo de caixa
Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. Em nossa P´agina Matem´atica Essencial, existem v´arios links sobre Matem´atica Financeira que constru´ımos e que est˜ao dando suporte a este curso.
Fluxo de Caixa ´e um objeto gr´afico com dados sobre Entradas e Sa´ıdas de capital, realizadas em certos per´ıodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado como uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicac¸ ˜oes.
A entrada de dinheiro em um caixa do sistema banc´ario poder´a ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indiv´ıduo que pagou a conta dever´a colocar uma seta para cima. A invers˜ao das setas ´e algo comum e pode ser realizada sem problema.
Exemplo: Seja uma situac¸ ˜ao em que depositamos inicialmente de R$5.000, em uma conta rendendo juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que continuemos a depositar mensalmente valores de R$1000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6o. mˆes desejamos saber o Valor Futuro de todos estes
3.1 Exemplos importantes de Fluxos de Caixa 6
o capital num certo instante, sendo que, t=0 indica o dia atual, Ek e a Entrada´ de capital no momento k e Sk e a sa´´ ıda de capital num momento k.
Nosso objetivo aqui ´e construir de fluxos de caixa (gr´aficos) e pouca atenc¸ ˜ao ´e dada `a resoluc¸ ˜ao dos problemas. Se vocˆe tem algum Fluxo de Caixa interes- sante, envie o mesmo para que venhamos a construir tal gr´afico.
Na seq¨uˆencia, apresentaremos uma colec¸ ˜ao de situac¸ ˜oes e construiremos os fluxos de caixa das mesmas (do ponto de vista da pessoa). Tais situac¸ ˜oes s˜ao comuns nas operac¸ ˜oes financeiras. Resolveremos apenas alguns exerc´ıcios, mas os interessados poder˜ao encontrar mais informac¸ ˜oes no site Matem´atica Essencial cujo link est´a indicado na segunda p´agina deste material, onde existem mais informac¸ ˜oes sobre o assunto.
Exemplo 1 Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar´a R$11.000, daqui h´a um mˆes. Fluxo de Caixa 01
- 000 ↑ 0 1 ↓
- 000
Exemplo 2 Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar´a em duas parce- las iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do pr´oximo mˆes. Fluxo de Caixa 02
- 000 ↑ 0 1 2 ↓ ↓
- 000 6. 000
Exemplo 3 Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar´a R$ 5.500, em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias. Fluxo de Caixa 03
- 000 ↑ 0 1 2 ↓ ↓
- 500 6. 500
3.1 Exemplos importantes de Fluxos de Caixa 7
Exemplo 4 Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar´a R$ 1.000, em 15 parcelas iguais a partir do mˆes seguinte.
Fluxo de Caixa 04
- 000 ↑ 0 1 2 ... 14 15 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
- 000 1. 000 1. 000 1. 000 1. 000
Exemplo 5 Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagar´a em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do mˆes seguinte.
Fluxo de Caixa 05
- 000 ↑ 0 1 2 ... 23 24 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 876 , 54 876 , 54 876 , 54 876 , 54 876 , 54
Exemplo 6 Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagar´a o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje.
Fluxo de Caixa 06
- 000 ↑ 0 1 2 ... 23 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 840 , 00 840 , 00 840 , 00 840 , 00 840 , 00
Exemplo 7 Algu´em comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagar´a em 20 parcelas vari´aveis iniciando com R$ 500,00 e aumentando R$100,00 a cada mˆes, sendo a primeira parcela paga a partir do mˆes seguinte. Fluxo de Caixa 07
- 000 ↑ 0 1 2 ... 19 20 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 500 600 ... 2. 300 2. 400
3.1 Exemplos importantes de Fluxos de Caixa 9
Resoluc¸ ˜ao matem´atica: Como i=7%=0,07; R=1000 e n=5, ent˜ao pela F´ormula do ´ıtem anterior, temos que:
V P = 1000
( 1 + 0 , 07 )^5 − 1
0 , 07 ( 1 + 0 , 07 )^5
Exemplo 11 Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monet´arias a partir deste mˆes. Se a taxa banc´aria de juros e de i% ao mˆ´ es, qual ´e o Valor Presente (VP) deste objeto? Fluxo de Caixa 11 V P = A ↑ 0 1 2 ... n − 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ R R R R R Resoluc¸ ˜ao matem´atica:
A = R +
R
( 1 + i)
R
( 1 + i)^2
R
( 1 + i)^3
R
( 1 + i)n−^1 que tamb´em pode ser escrito na forma
A = ( 1 + i)R
( 1 + i)n^ − 1 i ( 1 + i)n
Exemplo 12 Tome o problema do item 10 e uma nova alternativa. Refinan- ciar a compra do objeto que custa o Valor Presente (obtido no Fluxo de Caixa 10) em 4 parcelas iguais e seguidas a partir do mˆes inicial. Tome a mesma taxa banc´aria de juros. Qual o valor da nova parcela R? Qual o percentual de aumento da prestac¸ ˜ao com relac¸ ˜ao `a prestac¸ ˜ao anterior, com esta alternativa? Fluxo de Caixa 12
100 , 20 ↑ 0 1 2 3 ↓ ↓ ↓ ↓ R? R? R? R? Resoluc¸ ˜ao matem´atica: Como i=7%=0,07; VP=4.100,20 e n=4, ent˜ao pela F´ormula do ´ıtem anterior, temos que:
100 , 20 = ( 1 + 0 , 07 ) R
( 1 + 0 , 07 )^4 − 1
0 , 07 ( 1 + 0 , 07 )^4
Sec¸ ˜ao 4 Juros compostos 10
que pode ser escrito na forma
- 100 , 20 = R 3 , 6243160444
de onde segue que
R =
A nova parcela sobre a anterior aumentou 13,20%. Observac¸ ˜ao: Este percentual poder´a mudar se a taxa aplicada for alterada.
4 Juros compostos
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicac¸ ˜ao de um ´unico valor principal P no instante t=0, `a taxa i de juros (por per´ıodo) durante n per´ıodos.
Exemplo: Considere a situac¸ ˜ao hipot´etica tal que, em 1994 a correc¸ ˜ao da caderneta de poupanc¸a tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
Tempo Data Principal Juros Montante 0 01/01/94 100,00 0,00 100, 1 01/02/94 100,00 50,00 150, 2 01/03/94 150,00 75,00 225, 3 01/04/94 225,00 112,50 337, 4 01/05/94 337,50 168,75 506, 5 01/06/94 506,25 253,13 759,
Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos in´ıcios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.
Anatocismo significa juros sobre juros, o que em uma
linguagem comum, representa Juros Compostos.
A situac¸ ˜ao apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matem´atico,
4.2 Calculando logaritmos no navegador para a Internet 12
4.2 Calculando logaritmos no navegador para a Internet
Quando estiver navegando pela Internet, vocˆe pode obter o logaritmo de um n´umero N em uma base b, escrevendo:
javascript:Math.log(N)/Math.log(b)
na caixa branca do seu navegador, aquela que indica Enderec¸o (Location) da p´agina, pressionando a seguir a tecla ENTER para obter o resultado.
Por exemplo, para obter o logaritmo de 2 na base 10, basta digitar
javascript:Math.log(2)/Math.log(10)
para obter log(2)=0,30103, ap´os pressionar a tecla ENTER.
4.3 Fator de Acumulac¸ ˜ao de Capital (Fator de P para S)
Se i ´e a taxa ao per´ıodo, n ´e o n´umero de per´ıodos, definimos o Fator de Acumulac¸ ˜ao de Capital ou Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como: FAC(i, n) = FPS(i, n) = ( 1 + i)n
Com o Fator de acumulac¸ ˜ao de Capital, podemos escrever o montante com- posto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n), isto ´e:
S = P FAC(i, n) = P FPS(i, n)
4.4 C´alculo do FAC com uma calculadora comum
O FAC(i, n) = ( 1 + i)n^ pode ser obtido em uma calculadora simples, dessas que normalmente n˜ao executam potˆencias. Digitamos i, somamos 1 , pres- sionamos o sinal × (de multiplicac¸ ˜ao) e depois teclamos o sinal = de igualdade n-1 vezes.
Existem algumas variantes da f´ormula do Montante Composto, que s˜ao:
S = P( 1 +i)n^ n =
log(S) − log(P) log( 1 + i)
P = S.( 1 +i)−n^ i =
S
P
) 1 /n − 1
Uma variante da f´ormula de Montante composto ´e usada na obtenc¸ ˜ao do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.
P = S ( 1 + i)−n
4.5 Fator de Valor Atual 13
4.5 Fator de Valor Atual
Se i ´e a taxa ao per´ıodo e n ´e o n´umero de per´ıodos, definimos o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):
FVA(i, n) = FSP(i, n) = ( 1 + i)−n
4.6 C´alculo do FVA com uma calculadora comum
O FVA(i, n) = ( 1 + i)−n^ pode ser obtido em uma calculadora simples, dessas que normalmente n˜ao executam potˆencias. Digitamos i, somamos 1 , pression- amos o sinal × (de multiplicac¸ ˜ao) e o sinal = (igualdade) n-1 vezes para obter FAC(i,n), teclamos o sinal ÷ de divis˜ao e finalmente o sinal = (igualdade) para obter o FVA(i,n), que ´e o inverso do FAC(i,n).
4.7 C´alculo de juros Compostos
Os juros compostos podem ser calculados pela f´ormula:
J = P [( 1 + i)n^ − 1 ]
Problema: Qual ´e o valor dos juros compostos pagos `a taxa i=100% ao ano se o Principal ´e R$1000,00 e a d´ıvida foi contra´ıda no dia 10/01/94 e dever´a ser paga em 12/04/94?
Soluc¸ ˜ao: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
D´uvida: Qual ser´a a f´ormula para juros compostos quando a taxa ´e anual e o per´ıodo est´a indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A id´eia ´e transformar 92 dias em unidades anuais para obter:
n =
de 1 ano ≈ 0 , 252055 =
de 1 ano
Principal: P=1000; Taxa anual: i = 100100 = 1. A f´ormula empregada ´e:
J = P[( 1 + i)n^ − 1 ]
Soluc¸ ˜ao:
J = 1000 [( 1 + 1 )^1 /^4 − 1 ] = 1000 ( 1 , 189207 − 1 ) = 189 , 21
Exerc´ıcio: Vocˆe saberia calcular a raiz quarta e a raiz oitava de um n´umero, usando uma calculadora que s´o extrai a raiz quadrada?
5.3 Taxa Real 15
120% ao mes com capitalizac¸ ˜ao mensal 450% ao semestre com capitalizac¸ ˜ao semestral 1300% ao ano com capitalizac¸ ˜ao anual
5.3 Taxa Real
Taxa Real ´e a taxa efetiva corrigida pela inflac¸ ˜ao do per´ıodo da operac¸ ˜ao.
5.4 Conex˜ao entre as taxas real, efetiva e da inflac¸ ˜ao
A taxa Real (ireal) n˜ao ´e a diferenc¸a entre a taxa efetiva (iefet) e a taxa da inflac¸ ˜ao (iinfl). Existe uma relac¸ ˜ao matem´atica entre estas trˆes taxas, dadas por: 1 + iefet = ( 1 + ireal)( 1 + iinfl)
Exemplo: Se a taxa de inflac¸ ˜ao mensal foi de 30% e um valor aplicado no in´ıcio do mˆes produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, ent˜ao o resultado ´e igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monet´aria aplicada. Assim, a variac¸ ˜ao real no final deste mˆes, ser´a definida por:
∆real = 1 + ireal
que pode ser calculada por:
∆real =
resultado 1 + iinfl isto ´e:
∆real =
o que significa que a taxa real no per´ıodo, foi de:
ireal = 2%
Aplicac¸ ˜ao em poupanc¸a: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupanc¸a proporciona um rendimento real de 0,5% ao mˆes (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflac¸ ˜ao iinfl, isto ´e, deve ser multipli- cado por 1 + iinfl e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.
Exemplo: Se uma pessoa tinha em uma caderneta de poupanc¸a o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflac¸ ˜ao desde esta data at´e 30/05/ foi de 35,64% entao ele ter´a em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:
V = 670. 890 , 45 × 1 , 3564 × 1 , 005 = 914. 545 , 77
5.5 Taxas equivalentes 16
5.5 Taxas equivalentes
Duas taxas i 1 e i 2 s˜ao equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo per´ıodo de tempo, atrav´es de diferentes sistemas de capitalizac¸ ˜ao, produzem o mesmo montante final.
Exemplo: A aplicac¸ ˜ao de R$1000,00 `a taxa de 10% ao mˆes durante 3 meses equivale a uma ´unica aplicac¸ ˜ao com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situac¸ ˜ao.
Figura 1: Taxas equivalentes
Tomando P = 1000 , 00, i 1 = 0 , 1 ao mˆes e n 1 = 3 meses, seguir´a pela f´ormula do Montante composto, que :
S 1 = P( 1 + i 1 )^3 = 1000 ( 1 + 0 , 1 )^3 = 1000 .( 1 , 1 )^3 = 1331 , 00
Tomando P = 1000 , 00, i 2 = 33 , 1% ao trimestre e n 2 =1 trimestre e usando a f´ormula do Montante composto, teremos:
S 2 = C( 1 + i 2 )^1 = 1000 ( 1 + 0 , 331 ) = 1331 , 00
Logo S 1 = S 2 e a taxa de 33,1% ao trimestre ´e equivalente `a taxa capitalizada de 10% ao mˆes no mesmo trimestre.
Observac¸ ˜ao sobre taxas equivalentes: Afirmar que a taxa nominal de uma aplicac¸ ˜ao ´e de 300% ao ano capitalizada mensalmente, significa uma taxa de 25% que est´a sendo aplicada mˆes a mˆes, porque:
i =