Matematica Financeira para Concursos, Provas de Administração Empresarial

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MATEMÁTICA

FINANCEIRA

PARA CONCURSOS

Conteúdo

1. Noções Básicas -------------------------------- 02

2. Juros Simples , Ordinário e Comercial ------- 04

Taxa Percentual e Unitária

Taxas Equivalentes

Capital, Taxas e Prazos Médios

Montante

Desconto Simples e Comercial

Valor Atual e Desconto Racional

Equivalência de Capitais

3. Juros Compostos ------------------------------ 12

Montante

Valor Atual

Interpolação Linear

Taxas Proporcionais

Taxas Equivalentes

Taxas Nominais e Efetivas

Capitalização

Convenção Linear

Convenção Exponencial

Desconto Racional

Equivalência de Capitais

Rendas Certas

ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros

Capitalização Composta Î os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.

• comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;
• salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.
• No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente , enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa Î o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.

2. JUROS SIMPLES

Conceito: é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal

J = C x i x n

Onde:

J = juros C = capital inicial i = taxa unitária de juros n = número de períodos que o capital ficou aplicado

Observações:

• a taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente;
• em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100)

Juro Comercial Î para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.

Juro Exato Î no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias.

• sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial

Taxa Nominal Î é a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização.

Taxa Proporcional Î duas taxas são denominadas proporcionais quando existe entre elas a mesma relação verificada para os períodos de tempo a que se referem.

i 1 = t 1

i 2 t 2

Taxa Equivalente Î duas taxas são equivalentes se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo montante no fim do mesmo prazo de aplicação.

• no regime de juros simples , duas taxas equivalentes também são proporcionais;

Capital, Taxa e Prazo Médios

Î em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros , desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo.

Capital Médio (juros de diversos Capitais)Î é o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentes por prazos diferentes que produzem a MESMA QUANTIA DE JUROS.

C (^) md = C 1 i 1 n 1 + C 2 i 2 n 2 + C 3 i 3 n 3 + ... + Cn in n (^) n i 1 n 1 + i 2 n 2 + i 3 n 3 + ... + in n (^) n

Taxa Média Î é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo período de tempo , para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais.

Taxa (^) md = C 1 i 1 n 1 + C 2 i 2 n 2 + C 3 i 3 n 3 + ... + C (^) n in n (^) n C 1 n 1 + C 2 n 2 + C 3 n 3 + ... + C (^) n n n

Valor Atual Î o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate , ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.

Vc = N - Dc

Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.

N = $ 2000 Dc = N. i. n = $ 2000. 1.30. 65/ n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469, i = 130 a.a. = 1. Dc =? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469, Vc =? Vc = $ 1.530,

Desconto Racional Î o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título.

Dr = N x i x n ( 1 + i x n )

Ex.: Qual o desconto racional de um título com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m.?

N = $ 270 Dr = N. i. n / (1 + i. n)

n = 2 meses Dr = $ 270. 0.03. 2 / (1 + 0.03. 2)

i = 3 a.m. = 0.03 a.m. Dr = $ 16,20 / 1.

Dr =? Dr = $ 15,

Valor Atual Racional Î é determinado pela diferença entre o valor nominal N e o desconto racional Dr

Vr = N - Dr

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Capitais Diferidos Î quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados de empréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes , estes capitais são denominados DIFERIDOS.

Capitais Equivalentes Î por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão EQUIVALENTES , em uma certa data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais.

Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial Î

Æ Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instante n’ e de V’c o de outro título no instante n’ , o valor atual destes títulos pode ser expresso como segue:

Vc = N ( 1 – i.n ) e V’c = N’ ( 1 – i. n’ )

Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c , então:

N’ = N ( 1 – i x n) 1 – i x n’

onde:

N’ = Capital Equivalente

N = Valor Nominal

n = período inicial

n’ = período subseqüente

i = taxa de juros

Ex.: uma promissória de valor nominal $ 2000, vencível em 2 meses, vai ser substituída por outra, com vencimento para 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem ser descontados à taxa de 2 % a.m., qual o valor de face da nova promissória?

$ 2.000 N’

N’ =? ] ] ] ] ] ]

N = $ 2.000 0 1 2 3 4 5

n’ = 5 meses

n = 2 meses

I = 2 % a.m. = 0,02 a.m.

N’ = N (1 – i. n) / 1 – i. n’ = 2.000 (1 – 0.02. 2) / (1 – 0.02. 5)

4. JUROS COMPOSTOS

Conceito: No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados , passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no período seguinte.

Juros Compostos Î são aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anterior

Cálculo do Montante Î vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses.

CAPITAL

( C )

Juros ( J )

Montante ( M )

1º Mês 1.000 100 1.

2º Mês 1.100 110 1.

3º Mês 1.210 121 1.

4º Mês 1.331 133 1.

• Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente.

S = P ( 1 + i ) n

Onde:

S = Soma dos Montantes

P = Principal ou Capital Inicial i = taxa de juros n = nº de períodos considerados

• a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;

Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá retirar? S =? 0 i = 8 % a.m.

$ 800 n = 3

Dados: Pede-se: S =?

P = $ 800

n = 3 meses

i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.

S = P (1 + i ) n^ = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3 S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1. S = $ 1.007,

Valor Atual Î Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve ser investida à taxa de juros i para que se tenha o montante S , após n períodos, ou seja, calcular o VALOR ATUAL de S.

• Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual

P = S / ( 1 + i ) n

Onde:

S = Soma dos Montantes P = Principal ( VALOR ATUAL ) i = taxa de juros n = nº de períodos considerados

Interpolação Linear Î é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i ) n^ , quando o valor de n ou de i não constam da tabela financeira disponível para resolver o problema.

• a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros “quebradas” ou períodos de tempo “quebrados”. Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias
• Como a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i ) n^ para números “quebrados”, devemos procurar os valores mais próximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra de três, deste modo:

Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 % a.m., após 10 meses, a juros compostos.

A tabela não fornece o fator ( 1 + i ) n^ correspondente a 3.7 %, mas seu valor aproximado pode ser calculado por interpolação linear de valores fornecidos na tabela.

Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na linha correspondente a 10 períodos ( n ), obtêm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) n^ que são, respectivamente, 1.343916 e 1.480244. Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referente a 3.7 %:

• para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0. (1.480244 – 1.343916);
• para 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) n^ terá um acréscimo de x. Portanto:

0.7 % ------------- x

x = 0.

• Somando-se o valor encontrado ( 0.09543 ) ao do fator ( 1 + i ) n^ correspondente à taxa de 3 % ( 1.343916 ), teremos o fator ( 1.439346 ) correspondente à taxa de 3.7 %.

Î Duas taxas são EQUIVALENTES quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante , num mesmo intervalo de tempo.

Temos, então: C = ( 1 + ie ) n^ , onde: ie = taxa de juros equivalente C k = ( 1 + ik ) nk^ , onde: ik = taxa de juros aplicada

• Como queremos saber a taxa de juros equivalente ( ik ), para um mesmo capital, temos: C = Ck Î ( 1 + ie ) n^ = ( 1 + ik ) nk

Então: ie = ( 1 + ik ) k^ - 1

- Esta fórmula é utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia, mês, trimestre), obter a taxa maior equivalente (ex.: semestre, ano).

Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m.?

ik = 10 % a.m. = 0.1 a.m. ie =?

k = 1 ano = 12 meses Î ie = ( 1 + ik ) k^ – 1 = (1 + 0.1) 12 - 1 = 2. ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentual Î ie = 213,84 %

TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)

Î No regime de juros simples, as taxas são sempre EFETIVAS. Para melhor compreensão dos conceitos de Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema de juros compostos, vamos considerar os seguintes enunciados:

1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos à taxa de 10 % a.a., com capitalização anual, durante 2 anos? Solução: Tal enunciado contém uma redundância, pois em se tratando de uma taxa anual de juros compostos, está implícito que a capitalização ( adição de juros ao Capital ), é feita ao fim de cada ano , ou seja, é anual. Elaborado visando o aspecto didático, este enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada é a de 10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % é uma TAXA EFETIVA.
2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos, à taxa de 10 % a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos?

Solução: Este segundo enunciado também apresenta uma incoerência, pois sendo uma taxa anual , os juros só são formados ao fim de cada ano e, portanto, decorridos apenas 1 semestre, não se terão formados ainda nenhum juros e, por conseguinte, não poderá haver capitalização semestral. Portanto, na prática costuma-se associar o conceito de TAXA NOMINAL ao de TAXA PROPORCIONAL Assim, se a taxa de juros por período de capitalização for i e se houver N períodos de capitalização, então a TAXA NOMINAL iN será:

IN = N x i

O conceito de TAXA EFETIVA está associado ao de taxa equivalente. Assim, a taxa efetiva ie pode ser determinada por equivalência , isto é, o principal P , aplicado a uma taxa ie , durante um ano, deve produzir o mesmo montante quando aplicado à taxa i durante n períodos.

i = ( 1 + ie ) 1/n^ - 1

Ex.: Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados mensalmente, pelo prazo de 1 ano. Qual a taxa nominal e a taxa efetiva.

a) Taxa Nominal

IN = N x i Î 12 x 0.04 = 0.48 Î IN = 48 % a.a. Î Taxa Nominal

b) Taxa Efetiva P = $ 100 S = P (1 + i) n S =? i = 4 % a.m. = 0.04 a.m. S = 100 x ( 1 + 0.04) 12 n = 12 meses S = 100 x 1. S = $ 160,

Logo, J = 160,10 – 100 Î J = $ 60,10 , que foi produzido por $ 100; então: ie = 60,10 % a.a.

A taxa equivalente também poderia ser determinada pela fórmula: i = ( 1 + ie ) 1/n^ - 1

ie = ( 1 + i) n^ - 1 = (1 + 0.04) 12 – 1 = 1.60103 – 1 = 0. ie = 0.6010 Î transformando-se para a forma percentual, temos: ie = 60,10 % a.a.

CAPITALIZAÇÃO EM PERÍODOS FRACIONÁRIOS

Î No regime de capitalização composta, os juros são capitalizados ao final de um período inteiro de capitalização (mês, ano, bimestre, semestre, etc). Dentro deste conceito, qual o tratamento a ser dado para os períodos não inteiros de uma operação? Nestas situações pode ser adotada a CONVENÇÃO LINEAR ou a EXPONENCIAL.

• Antes de resolver a questão, devemos ter a taxa e o período de capitalização numa única unidade de tempo , isto é, homogeneizados. Como temos a taxa anual , vamos determinar a taxa mensal equivalente. Temos: Dados: P = $ 100 Pede-se: i =? S = $ 112, n = 12 meses S = P ( 1 + i )n^ Î

112,6825 = 100 ( 1 + i )^12 ( 1 + i ) 12 = 1.

• consultando a tabela de ( 1 + i ) n , a taxa correspondente ao fator 1.1268, para n = 12 , obtém-se i = 1 %. Como n está expresso em meses, a taxa será de 1 % a.m. Voltando ao problema, temos:

S = P ( 1 + i ) n ( + p / q)^ = 135.000 ( 1 + 0.01) 27

• Como a tabela de ( 1 + i ) n^ para i = 1 e n = 18, obtém-se 1.196147 e para n = 9, obtém-se 1.093685, logo: S = 135.000 x (1.196147) x (1.093685)

S = $ 176.608,

ATENÇÃO: Ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários , o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Definido que será a LINEAR , deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Caso definido que será empregada a EXPONENCIAL, será utilizada a taxa equivalente.

DESCONTOS COMPOSTOS

Î Corresponde à soma dos descontos simples , calculados isoladamente em cada período de capitalização.

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

Î O desconto racional composto é calculado sobre o valor atual (presente) de um título , utilizando-se do regime de capitalização composta. Dessa forma, o desconto racional composto ( real, ou racional, ou “por dentro”) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valor presente (ou atual) de um título. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o valor atual, resulta no valor futuro( ou nominal ) do título.

D (^) r = S. ( 1 + i ) n^ - 1 ( 1 + i ) n

Ex.: O valor do desconto real de uma nota promissória, que vence em 36 meses, é de $ 11.318,19. Admitindo-se que é utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional, qual o valor nominal do título? Dados:

D = $ 11.318,19 Pede-se: S =?

i = 2 % a.m. = 0.02 a.m. n = 36 meses

- Aplicando-se a fórmula, encontramos: Î 11.318,19 = S x (1 + 0.02)^36 – 1 / ( 1 + 0.02) 36 Î

S = $ 22.202,

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Î Trabalhando-se no regime de capitalização simples , a equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data “zero”.

Î No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racional composto), a EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.

Ex.: Considere uma dívida de $ 2.000 no final de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 10 % a.m. Quanto seria o valor do capital da data de hoje? Capital A =?

Capital B = $ 2.000 Î capital B = Capital A i = 10 % a.m. = 0.10 a.m. 2.000 = capital A ( 1 + 0.10) 3 n = 3 meses 2.000 = capital A ( 1.1 x 1.1 x 1.1)

Capital A = 2.000 / 1.331 Î C = $ 1.502,

RENDAS CERTAS

Î Denomina-se Renda o conjunto de 2 ou mais pagamentos , ocorridos em épocas distintas , OBJETIVANDO a formação de um capital ou o pagamento de uma dívida.

Termos Æ os pagamentos (prestações ou depósitos) são os termos da Renda.

Montante da Renda Î quando a renda for destinada à formação de um capital , este CAPITAL será denominado de Montante da Renda.

Valor Atual da Renda Î se o objetivo da renda for o pagamento de uma dívida , O VALOR DA DÍVIDA será designada por Valor Atual da Renda.

Graficamente, temos:

S

R R R

• quanto ao vencimento dos termos as Rendas podem se classificar em:
• rendas imediatas – (ou postecipadas ) - quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período (convenção de fim de período do fluxo de caixa)
• rendas antecipadas - quando os pagamentos ocorrem no início de cada período;
• rendas diferidas – quando o pagamento (ou recebimento) dos termos passa a ocorrer após determinado período de tempo ( prazo de carência )

1. RENDAS IMEDIATAS

Valor Atual de uma Renda Imediata Î o valor atual (ou presente) de uma renda equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de um bem) que será pago em prestações.

1 2 3 4 ..... n

Renda imediata Î 0

R R R R R

P = R x ( 1 + i ) n^ - 1 i x ( 1 + i ) n

Onde:

P = Capital R = Renda ou Prestação i = Taxa de juros n = Períodos

Ex.: Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de $ 250,000, em 5 parcelas, à uma taxa de 5 % a.m.? Dados: P = $ 250.000 Pede-se: R =? n = 5 meses i = 5 % a.m. = 0,05 a.m. P = R .( (1 + i)n^ - 1) / i. (1 + i) n 250,000 = R. ((1 + 0,05)^5 – 1) / 0,05. (1 + 0,05)^5. 250,000 = R. (1,276281 – 1) / (0,05. 1,276281) R = (250,000 x 0,063814) / 0,276281 Î R = $ 57.743,

Montante de Rendas Imediatas Î O montante de uma renda imediata corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, durante n períodos, a uma taxa i de juros.

• devemos lembrar que o valor presente da série de n termos da renda , no instante zero , deve ser EQUIVALENTE AO MONTANTE S NO INSTANTE ZERO.

S = R x ( 1 + i ) n^ - 1 i

Onde:

S = Montante R = Renda ou Prestação i = Taxa de juros n = Períodos

Ex.: Se quisermos ter $ 2,000,000 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 15 % a.m.? Dados: S = $ 2,000,000 Pede-se: R =? n = 12 meses i = 15 % a.m. = 0,15 a.m. S = R. ((1 + i)n^ - 1) / i

2,000,000 = R. ((1 + 0,15) 12 - 1 ) / 0,15 Î 2,000,000 = R. 4,35025 / 0,

R = 2,000,000 x 0,15 / 4,35025 Î R = $ 68,961.

2. RENDAS ANTECIPADAS

Valor Atual de uma Renda Antecipada Î Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período e dos demais no final dos respectivos períodos. Nas Rendas antecipadas , o 1º pagamento ocorre no instante zero e os demais pagamentos ocorrem no início de cada período.

1 2 3 4 ..... n

Renda IMEDIATA Î 0

R R R R R

1 2 3 n

Renda ANTECIPADA Î 0

R R R R R

Î Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única diferença é que o primeiro termo , na renda imediata , ocorre no fim do 1º período , enquanto na antecipada , o 1º pagamento ocorre no instante zero.

Î Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período, automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).