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As funções exponenciais e logarítmicas estão presentes no estudo de fenômenos que envolvem taxas de crescimento e de decrescimento.
- FUNÇÃO E LOGARITMO
Os conhecimentos sobre Função podem ser utilizados em várias áreas de conhecimento. Por exemplo, a escala Richter é uma escala logarítmica, usada na astronomia para medir o brilho das estrelas.
Capítulo 1
FUNÇÃO
Na Antiguidade, os matemáticos utilizavam tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas tentando relacionar, por exemplo, a altura do som emitido por cordas submetidas a seu comprimento. Nessa época, o conceito de função não era claro.
No século XVII, Descartes e Pierre de Fermat visualizaram números, relacio- nando-os e inventando o plano cartesiano (sistema de eixos coordenados), quan- do se tornou possível transfomar problemas geométricos estudando funções.
Portanto, a introdução de coordenadas permitiu a criação de novas curvas, iniciando o estudo de funções definidas por relações entre variáveis.
Recordando Produto Cartesiano
Dados os conjuntos A= {2, 3, 4} e B={5, 6}. Construiremos um novo conjunto, formado por todos os pares ordenados, em que o primeiro elemento pertença ao A e o segundo elemento pertença ao B.
Esse conjunto chama-se Produto Cartesiano. A X B (Lê-se: A cartesiano B) A X B={(2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)} Portanto: Produto Cartesiano é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), onde x ∈ A e y ∈ B, ou seja: A X B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B} Representamos esse produto na forma de diagrama.
Sistema Cartesiano
Podemos representar pares ordenados no plano cartesiano.
Exemplo: O ponto C (–1, 2) dado na página anterior está no 2º quadrante.
Relação Sejam os conjuntos A={2, 3, 4} e B={5, 6}, em que
A X B={(2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}
Consideremos alguns subconjuntos de A X B:
a)
R 1 = {(3, 5), (4, 6)}
b)
R 2 = {(2, 5)}
COORDENADAS
Descartes visualizou os números relacionando-os com o plano cartesiano. O plano cartesiano é fácil e mais claro visualmente. Ele é importante na resolução de problemas da vida prática, como para determinar área de terrenos, o crescimento anual da população de um país, a temperatura de um local a cada hora, e no próprio desenvolvimento da Matemática.
c)
R 3 = {(2, 6), (3, 6), (4, 5)}
Esses subconjuntos de A X B são relações.
Definindo: Relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano. Uma relação ¸ de A em B pode ser determinada por meio de uma lei de formação. Com relação aos conjuntos A e B dados, podemos ter as seguintes relações:
R 4 ={(x, y) ∈ A X B / x < y} ou R 4 ={(3, 5), (4, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 5)} R 5 ={(x, y) ∈ A X B / x + 2} ou R 5 ={(3, 5), (4, 6)}
Ou também por meio de gráficos. R 1 ={(3, 5), (4, 6)} R 3 ={(2, 6), (3, 6), (4, 5)}
Reconhecimento de Gráfico de Função
Observe cada gráfico e diga em quais deles y é uma função de x: a) b)
COMO PODEMOS APLICAR
A FUNÇÃO NA QUÍMICA?
Perceba como a linguagem matemática pode ser empregada pela Química. Podemos relacionar o conjunto A, formado por água do mar, oxigênio, gasolina, álcool, água destilada, nitrogênio e prata com sua classificação B: substância pura simples, mistura ou substância pura composta, obtendo assim uma função em que para cada elemento há sempre um único elemento correspondente.
Nos exemplos a e b, cada valor possível de x corresponde a um único y.
c)
O exemplo c não é um gráfico de uma função, pois com um mesmo x não podemos encontrar dois pontos na curva. Um modo prático para reconhecermos se um gráfico representa ou não uma função é traçarmos uma reta vertical sobre o gráfico (paralelo ao eixo y). Se essa reta intercepta o gráfico em mais de um ponto, ele não representa uma função. Resumindo: Na representação gráfica de uma função y=f(x), podemos visualizar as- pectos importantes do comportamento da função, tais como:
- seu domínio e sua imagem;
- suas raízes;
- intervalos em que ele é crescente ou decrescente;
- pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.
Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função
Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 7} e a função f de A em B, definida por f (x) = x + 2, com x ∈ A e y ∈ B.
No exemplo dado, temos:
- 3 é imagem de 1, x=1, y=3 ou f(1)=
- 4 é imagem de 2, x=2, y=4 ou f(2)=
- 5 é imagem de 3, x=3, y=5 ou f(3)=
Obs.: Im ⊂ CD (o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio).
Outros exemplos:
- Sendo A={1, 2, 3} e B {1, 3, 5, 6, 7, 9}, determine o conjunto imagem da função f: A → B, definida por f(x) = 2x + 1
Solução:
f(1) = 2 · 1 + 1 = 3 f(2) = 2 · 2 + 1 = 5 f(3) = 2 · 3 + 1 = 7 Im(f) = { 3, 5, 7}
- Verifique se os diagramas dados representam uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio, o contradomínio e a imagem.
a)
Representa uma função D = {1, 3, 5, 7} CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Im = {1, 2, 4}
b)
Não representa uma função
- Seja f uma função de ¸ em ¸, definida por f(x)=2x 2 – 1, calcule: a) f(–1) Solução: f(–1) = 2. (–1) 2 – f(–1)=2 – 1 f(–1)=
b) (^) f 1 2
Solução:
- Nos gráficos a seguir, indique o domínio e o conjunto imagem das se- guintes funções: a)
D = {x ∈ ¸ / 0 ≤ x ≤ 6} Im = {y ∈ ¸ / –1 ≤ y ≤ 2}
Em alguns casos, é necessário excluirmos valores de x para que f(x) seja definida.
Exemplos: Nas funções reais abaixo, determine o domínio: a) f(x) = x 2 + x – 1 D(f)= ¸ pois, para qualquer x ∈ ¸, existe x^2 + x – 1 ∈ ¸
b)
f(x) x 2
Observe que f(x) só será definida para x – 2 ≠ 0.
Note que
f(2) 2 2 0
, ou seja, ∃^ f(2).
Devemos excluir do domínio os valores de x que anulem o dominador. D(f) = {x ¸ / x n 2} c) (^) f(x) = 3x − 5 Observe que f(x) só será definida para 3x – 5 ≥ 0. Resolvendo a inequa- ção, temos:
Sempre que x aparece no radicando de um radical par de uma função, devemos excluir do domínio os valores de x que o tornam negativo.
3x 5 0 3x 5 5 x 3
Então, (^) D(f) x / x 5 3
d)
3x f(x) x 1
f(x) só será definida para x –1 > 0. x–1 > 0 x > 1 Então, D(f) = {x ∈ ¸ / x > 1}
e) (^) f(x) = 3 5x + 10
D(f) = ¸, pois quando x aparece no radicando de um radical ímpar, pode- mos colocar qualquer valor de x ∈ ¸.
f) x f(x) x 2 x 1
Solução: Devemos ter simultaneamente: x – 1 > 0 x + 2 ≥ 0 x > 1 x ≥ –
Colocando esses resultados na forma de intervalo, a solução será a inter- secção dos intervalos na reta real.
Assim:
D = {x ∈ ¸/ x > 1}
Classificação das Funções
Função Injetora
Uma função será injetora se a cada elemento distinto do conjunto A cor- responder elementos distintos do conjunto B. Exemplo:
A função inversa de f, indicada por f –1^ , é obtida invertendo a ordem dos elementos de cada par ordenado da função dada:
f –1^ = {(1, 2), (4, 5)}
Na prática, na resolução de exercícios envolvendo função inversa, basta trocar x por y e isolar o novo y.
Exemplos: a) y = x – 4. Trocando x por y, em y = x – 4, temos: x = y – 4 y = x + 4 Isolando y, vem:
b) y = 3x + 5 Trocando x por y, temos: x = 3y + 5 3y = x – 5 Isolando y, vem: x 5 y 3
c) (^) x 1 y , com x 3 x 3 y 1 x Trocando x por y, temos : y 3 x(y 3) y 1 xy 3x y 1 xy y 3x 1 y(x 1) 3x 1 3x 1 y x 1
− = ≠ −
−
- = −
- = − − = − − − = − − − − = −
Função Composta Dadas duas funções, f e g, podemos obter uma nova função, representada por (g o f)(x) = g[f(x)] chamada de função composta de g com f.
Exemplos:
- Dadas as funções f e g definidas por: f(x) = x + 3 e g(x) = 2x + 5, determine as funções compostas fog(x), gof(x) e fof(x). Solução: fog(x) = f[g(x)] fof(x) = f[f(x)] N g(x)
f[g(x)] = 2x + 5 + (^3) f[f(x)] = x + 3 + 3
f[g(x)] = 2x + 8 f[f(x)] = x + gof(x) = g[f(x)]
f(x)
g[f(x)] = 2(x + 3) + 5
g[f(x)] = 2x + 6 + 5 g[f(x)] = 2x + 11
- Dadas as funções f(x) = 2 + 3x e g(x) = x + a, determine o valor de a de modo que f[g(x)] = g[f(x)].
Solução: f[g(x)] = 2 + 3(x + a) g[f(x)] = 2 + 3x + a f[g(x)] = 2 + 3x + 3a Sendo: f[g(x)] = g[f(x)] (^2) + 3x+ 3a (^) = 2 + 3x+a 3a – a = 2 – 2 2a = 0 ⇒ a = 0
Função Constante
Chamamos de função constante toda função do tipo: f(x) = b Exemplos:
a) b)
f(x) = 2 f(x) = – Observe que na função constante o domínio é D(f) = ¸ e Im = {b}.
Função Identidade
Chamamos de função identidade toda função do tipo: f(x) = x. Sendo a ordenada igual à abscissa, o ponto (x, x) passa pela origem dos eixos.
Na função identidade f(x) = x, temos D(f) = ¸ e Im(f) = ¸.
Função Linear
Chamamos de função linear toda função do tipo: f(x) = ax, com a ∈ ¸ e a ≠ 0. A representação gráfica será uma reta que passa pela origem do sistema de eixos.
Note que, se a > 0, então f(x) = ax é crescente.
Se a < 0, então f(x) = ax é decrescente.
Exemplos:
a) f(x) = 2x
Atribuindo valores para x, temos: f(0) = 2. 0 = 0 f(–1) = 2. (–1) = – f(2) = 2. 2 = 4
