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Índice
Função Exponencial e Logaritmos
Resumo Teórico .................................................................................................................................. Exercícios............................................................................................................................................ Dicas .................................................................................................................................................. Resoluções .........................................................................................................................................
Função Exponencial e Logaritmos
Resumo Teórico
Potência
Sendo a Î IR e n Î IN , temos:
Def.: a^1 a a a
0 n 1 n
= ×
ì í î +
Consequência: a n a a a a n vezes
= 1 2× 4 × 4 K 3
Propriedades das Potências
P1: a m^ × a n^ = am^ +n
P2: a a
a
m n = m^ - n
P3: (a m n) = am^ ×n
P4: (a × b) m^ = a m^ × b m
P5: a b
a b
m (^) m m
æ èç^
ö ø÷^
Obs. 1: a 1 a
n n
Obs. 2: n^ a m= amn (n Î IN* e a m^ ³ 0)
Função Exponencial
É toda função da forma y = a x^ com a Î IR , a > 0 e a ¹ 1.
Propriedade dos logaritmos
P1: log (^) a (b. c) = log (^) a b + log (^) a c
P2: loga b c
æ èç^
ö ø÷^
= log (^) a b – log (^) a c
P3: loga b n^ = n log (^) a b
P4: log b 1 an^ n = log (^) a b
Fórmula de mudança de base: log (^) b a = log^ a log b
c c
Equação Logarítmica
1.o Tipo: log (^) a f(x) = log (^) a g(x) Û f(x) = g(x) 2.o Tipo: log (^) a f(x) = a Û f(x) = aa^ (a Î IR)
Obs.: Ao resolver as equações logarítmicas, é necessário verificar as condições de existência da equação inicial.
Inequação Logarítmica
1.o Tipo: log < log
Se 0 < a < 1 loga f(x) < log (^) a g(x) Û f(x) > g(x)
inverte o sentido (0 < base < 1)
Se a > 1 log (^) a f(x) < log (^) a g(x) Û f(x) < g(x)
mantém o sentido (base > 1)
2.o Tipo: log < a (a Î IR)
Se 0 < a < 1 loga f(x) < a Û f(x) > aa
inverte o sentido (0 < base < 1)
Se a > 1 log (^) a f(x) < a Û f(x) < aa
mantém o sentido (base > 1)
Obs.: Ao resolver as inequações logarítmicas, é necessário verificar as condições de existência da inequação inicial.
Exercícios
- A figura ao lado mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é: a.^1 4 b. 2 c. 3 d. 4 e. 10
- O número x > 1 tal que log (^) x2 = log 4 x é:
a. 2 4
b. 2 2 c. 2 d. 2 2 e. 4 2
- O número real x que satisfaz a equação log 2 (12 – 2 x) = 2x é
a. log 2 5 b. log 2 3 c. 2 d. log 2 5 e. log 2 3
- Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1, coincide com o próprio número n?
a. nn^ b.^1 n
c. n 2 d. n e. n n^1
- Considere a função f, definida por f(x)= log (^) a x. Se f(a) = b e f(a+2) = b + 1, os valores respectivos de a e b são: a. 2 e 1 b. 2 e 2 c. 3 e 1 d. 3 e 2 e. 4 e 1
- O mais amplo domínio real da função dada por f(x) = log (2x 3 - 1)é
a. ìíx Î IR x¹ î
üý þ
b. ìíx Î IR x> î
üý þ
c. ìíx Î IR < x £ 1 î
üý þ
|^1
d. { x Î IR |x ³1} e. { x Î IR |x ¹1}
- Se o par ordenado (a; b) é a solução do sistema 2 2 log (3x 4) 1 log (y 1)
x y y 10 10
ì í
ï îï^
, então a × b é igual a
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9
Resoluções
- Alternativa d.
Do gráfico, temos: x = 0,25 e y = – 1. Sendo y = log (^) b x, vem: – 1 = log (^) b 0,25 Þ – 1 = log (^) b^1 4
Þ b –1^ =^1 4
Þ b = 4
- Alternativa b.
log (^) x2 = log 4 x Aplicando a propriedade de mudança de base: loga b = log^ b log a
c c
(b > 0, a > 0 e a ¹ 1, c > 0 e c ¹ 1) temos: log^2 log x
log x log 4
2 2
2 2
Como log 2 2 = 1 e log 2 4 = 2 vem: 1 log x
log x 2 2
=^2
(log 2 x)^2 = 2
log x = 2
log x = 2 ou log x = 2 não serve pois x > 1)
2
2
2
± Þ
ì í
ï
î (
ï
De log 2 x = 2 obtemos, pela definição de logaritmo, que x = 2 2
- Alternativa e.
Devemos ter 12 – > 0 (condição de existência) log 2 (12 – 2 x) = 2x Û 2 2x^ = 12 – 2 x^ Û 2 2x^ + 2 x^ – 12 = 0 Û Û (2x) 2 + 2 x^ – 12 = 0 Seja 2 x^ = y y^2 + y – 12 = 0 y = -^1 ±^7 2
Þ y = – 4 ou y = 3
Se y = – 4 temos que 2 x^ = – 4 (não convém, pois 2 x^ > 0 para todo x real) Se y = 3 temos que 2 x^ = 3, que satisfaz a condição 12 – 2 x^ > 0. Sendo 2 x^ = 3, conclui-se que x = log 2 3
- Alternativa e.
Seja x a base procurada. É dado no enunciado que: log (^) xn = n para 0 < x ¹ 1 e n > 1 Assim, log (^) xn = n Û x n^ = n Û (x )n^ = (n) Û x =n n^1 n^11 n
- Alternativa a.
f(x) = log (^) a (x)
condições de existência
0 a 1 e x 0
ì íï îï Se f(a) = b, temos que log (^) a (a) = b\b = 1 Se f(a + 2) = b + 1, temos que log (^) a (a + 2) = 2\a 2 = a + 2 a^2 – a – 2 = 0 Þ a =^1 2
± (^) Þ a = 2, a = – 1 (não serve)
Resposta: a = 2 e b = 1
- Alternativa d.
f(x) = log (2x 3 - 1) Para que exista f(x) Î IR, devemos ter: log 3 (2x – 1) ³ 0 log 3 (2x – 1) ³ 0 × log 3 3 Þ log 3 (2x – 1) ³ log 3 3º log 3 (2x – 1) ³ log 3 1 Þ 2x – 1 ³ 1 Þ 2x ³ 2 Þ x ³ 1 Então: D(f) = { x Î IR | x ³ 1}
- Alternativa b.
2 log (3x 4) log 10 + log (y – 1)
x+y y 10 10 10
ì íï îï
2 2 x^ y 2
y x y 2y x y
x y 2 y
= Û +^ = Û + = Û =
log 10 (3x + 4) = log 10 10(y – 1) Û 3x + 4 = 10(y – 1) Û Û 3x + 4 = 10y – 10 Û 3x = 10y – 14 condição de existência: 10(y – 1) > 0 Þ y > 1 Assim, o sistema dado é equivalente a: x^ y 3x 10y 14
ì í î 3x = 10x – 14 Þ – 7x = – 14 Þ x = 2 Como x = y temos que y = 2 (satisfaz a condição y > 1) Logo, a solução do sistema (a; b) é (2; 2) Então: a × b = 2 × 2 = 4
