5.aLista de Exerc´ıcio de SMA-304 ´
Algebra Linear
Exerc´ıcio 1. Uma companhia de transportes disp˜oe de 4 caminh˜oes com capacidade para
transportar 5.000 kg, 4 caminh˜oes de 10.000 kg de capacidade e 2 caminh˜oes de 20.000 kg de
capacidade. O custo por hora dos caminh˜oes do primeiro tipo ´e 200 reais, do segundo 300 reais
e do terceiro 400 reais. Como devem ser usados os caminh˜oes para transportar uma carga de
80.000 kg, para que o custo seja m´ınimo?
Exerc´ıcio 2. Uma ind´ustria produz porcas, parafusos e pregos, podendo usar dois m´etodos
distintos (mas n˜ao simultaneamente) para produzi-los. O primeiro m´etodo produz 3.000 porcas,
2.000 parafusos e 2.500 pregos por hora, enquanto o segundo produz 4.000 parafusos e 4.000
pregos por hora, mas nenhuma porca. A ind´ustria trabalha 18 horas por dia e tem uma
encomenda de 5.000 porcas, 5.000 parafusos e 5.000 pregos. Durante quantas horas ela deve
empregar cada m´etodo para fazer a entrega o mais rapidamente poss´ıvel?
Exerc´ıcio 3. Verifique se o operador ´e diagonaliz´avel e, em caso positivo, determine uma base
ordenada que diagonaliza o operador e dˆe a representa¸c˜ao matricial nesta base.
a)A:R3×R3, A(x, y, z) = (x, x + 2y, x +y−3z).
b)A:R3×R3, A(x, y, z) = (x−y , 2x+ 2y+ 2z, x +y−2z).
c)A:R3×R3, A(x, y, z) = (x−2y , 3y−4z, −y+ 3z).
d)A:R3×R3, A(x, y, z) = (x, x + 2y, x +y−3z).
e)A:C3×C3, A(x, y, z) = (x, −2x+y+ 2z , −2x+ 2y+ 3z).
f)A:R2×R2, A(x, y) = (5x−y, x + 3y).
g)A:R3×R3, A(x, y, z) = (y , z, −x−y).
Exerc´ıcio 4. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Os operadores AeAttem os mesmos autovetores.
( ) Sejam a matriz de um operador A:Rn→Rnna base canˆonica e Muma matriz cujas
colunas s˜ao autovetores L.I. de A. Ent˜ao M−1AM ´e diagonal.
( ) Se λ´e autovalor do operador invert´ıvel Aent˜ao λ−1´e autovalor de A−1.
( ) O polinˆomio caracter´ıstico do operador A+B´e a soma dos polinˆomios caracter´ısticos de
AeB.
( ) Duas matrizes triangulares semelhantes s˜ao iguais.
Exerc´ıcio 5. Para quais valores de aas matrizes abaixo s˜ao diagonaliz´aveis?
a)A=1 1
0ab)B=1a
0 1 .
Exerc´ıcio 6. Mostre que a matriz A=1 2
3 2 ´e semelhante `a matriz 4 0
0−1.
Calcule: A100 eA1000.
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