CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO MARANHÃO
DIRETORIA DE ENSINO SUPERIOR – DESU
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – NUEAD
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Barra do Corda
2009
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Matemática para Computadores, Notas de aula de Matemática
Curso de Licenciatura em Informática
Tipologia: Notas de aula
Antes de 2010
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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO MARANHÃO
DIRETORIA DE ENSINO SUPERIOR – DESU
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – NUEAD
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Barra do Corda 2009
SUMÁRIO
MODULO I - FUNDAMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA
Objetivos
- Compreender a lógica em seu contexto histórico;
- Reconhecer e trabalhar com os símbolos que são usados nas lógicas, proposicional e de predicados;
- Determinar o valor lógico de uma expressão na lógica proposicional;
- Verificar se argumento sentencial é válido;
- Manipular tabelas-verdade;
- Verificar se uma sentença é tautologia, contradição ou contingência;
- Utilizar a lógica de predicados para representar sentenças;
- Determinar o valor lógico de alguma interpretação de uma expressão na lógica de predicados;
- Utilizar o método dedutivo para demonstrar a validade de argumentos na lógica proposicional e na lógica de predicados.
Conteúdo
- Introdução ao Estudo da Lógica Formal
- Lógica Proposicional
- Lógica de Predicados
Capitulo 1 Introdução ao Estudo da Lógica Formal
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. (Celina Abar, 1999)
Por ter relação direta com a Ciência da Computação, o estudo da Lógica mostra-se indispensável ao estudante da área de Informática. São várias as possibilidades de aplicações diretas do raciocínio lógico-matemático: desde linguagens de programação mais simples até resolução de problemas com Inteligência Artificial.
Todo o fundamento da computação tem suas raízes na matemática, uma vez que esta é quem possibilita à Ciência a formalização de vocabulários e notações com alto poder de definição. Também é graças à matemática que podemos fazer abstrações e raciocínios precisos e rigorosos. Tudo isto só é possível devido ao uso da lógica para entendimento do raciocínio matemático, sendo utilizados princípios que possibilitam a distinção entre raciocínios válidos e outros não válidos.
Neste capitulo serão apresentados os conceitos básicos da lógica matemática, cujo domínio é essencial para estudos futuros sobre linguagens de programação, teoria da computação, sistemas digitais e inteligência artificial.
1.1. Caracterização e Histórico da Lógica
Há na literatura inúmeras definições para a Lógica, dentre as quais destacamos: “a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.” (WIKIPEDIA, 2009)
“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais atingimos a verdade [...] É a ciência das leis do pensamento.” (FONTES, 2008)
Percebemos pelas definições apresentadas que a Lógica é o estudo das leis gerais do pensamento e as diferentes maneiras de aplicar corretamente essas leis na investigação da verdade. Em outras palavras, podemos dizer que a Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das conclusões a que chegamos a partir das evidências que as sustentam. De maneira mais geral, é possível dizer que a Lógica é “o estudo do raciocínio” (D’OTAVIANO; FEITOSA, 2003).
A Lógica teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C., como uma ciência dedicada ao estudo dos atos do pensamento a partir de sua estrutura ou forma lógica, sem levar em consideração qualquer conteúdo material (FONTES, 2008). Em termos mais simples, diz formas de raciocínio
Além desses princípios básicos, podemos afirmar que toda proposição, por ser uma oração, possui sujeito e predicado, além de sempre ser uma oração declarativa (IEZZI; MURAKAMI, 1993).
Exemplo 1.1 – Proposições
Considere as seguintes orações: a) Cinco é menor que oito. b) Como é o seu nome? c) Ai, que susto! d) Sete menos três. e) Vá dormir.
A frase (a) é uma proposição, pois é possível definir que ela é verdadeira. As frases (b) e (c) não podem ser avaliadas como verdadeira ou falsa, portanto não são proposições. Note que a frase (b) é uma pergunta e a frase (c) é uma exclamação. Quanto à frase (d), nota-se que ela não possui predicado, por isso ela também não constitui uma proposição. A frase (e) também não assume nenhum valor lógico e, portanto, não é uma proposição.
Auto Avaliação 1.
Analise as orações seguintes e diga quais delas são proposições.
- Que horas são?
- Cristóvão Colombo descobriu o Brasil.
- A raiz quadrada de 25 é 5.
- Realize suas tarefas com atenção.
- Não se desespere, este exercício é muito fácil!
1.3. Valores Lógicos das Proposições
O valor lógico de uma proposição está diretamente associado ao resultado de sua avaliação como verdadeira ou falsa. Neste caso, dizemos que o valor lógico verdade (V) está associado às proposições verdadeiras, assim como o valor falsidade (F) está vinculado às proposições falsas.
Lembre-se: Pelos princípios da não contradição e do terceiro excluído, toda proposição possui UM, e apenas UM, dos valores lógicos (V ou F).
Exemplo 1.2 – Valores Lógicos das Proposições
Considere as seguintes proposições:
a: O Brasil é dividido em cinco regiões. b: Santos Dumont é o pai da Informática.
O valor lógico da proposição (a) é a verdade (V) e o valor lógico da proposição (b) é a falsidade (F).
As representações simbólicas destes valores são respectivamente: V(a) = V e V(b) = F
Auto Avaliação 1.
Determine o valor lógico de cada uma das proposições seguintes.
- A cor do cavalo branco de Napoleão é branca.
- Imperatriz é a Capital do Maranhão.
- A raiz quadrada de 16 é menor que a metade de 10.
- O Brasil é uma República Presidencialista.
- A metade de 5 menos 2 é um número inteiro positivo.
1.4. Classificação das Proposições
As proposições do Exemplo 1.2 são ditas proposições simples ou atômicas, uma vez que não é possível decompô-las em proposições mais simples.
Existem, ainda, proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas ou moleculares, formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por meio de conectivos lógicos.
São cinco os conectivos lógicos: E – OU – NÃO – SE ... ENTÃO – SE, E SOMENTE SE
Exemplo 1.3 – Proposições Compostas
Nas proposições seguintes, os conectivos estão destacados. a) Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. b) Windows não é um software livre. c) Vou à praia ou ao cinema. d) Se eu estudar, então serei aprovado em Matemática para Computação. e) Serei aprovado em Matemática para Computação se, e somente se , eu estudar.
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, podemos representar a proposição Pelé é brasileiro pela letra a e a proposição Maradona é argentino pela letra b , por exemplo. A proposição composta, Pelé é brasileiro e Maradona é argentino podem ser representados A e escrita da seguinte maneira: A: Pelé é brasileiro e Maradona é argentino.
Antes de passar para o próximo tópico, tente responder a pergunta abaixo.
Para cada possibilidade de valor da proposição a, devem ser associadas todas as possibilidades para a proposição b.
Auto Avaliação 1.
Considere as seguintes proposições simples:
p: A raiz quadrada de 9 é igual 3. q: 5 menos 2 é igual a 3. r: O dobro de 1,5 é igual a 3.
Deseja-se formar uma proposição composta S utilizando-se as proposições p, q e r. Monte uma árvore de possibilidades e escreva a tabela- verdade com todas as combinações possíveis de valores lógicos para p, q e r.
Agora que você já sabe como representar numa tabela-verdade as possíveis combinações de valores lógicos para um conjunto de proposições simples, podemos prosseguir e analisar de que forma os conectivos interferem na definição do valor lógico de uma proposição composta.
Os conectivos estão associados a operações lógicas, as quais são realizadas sobre as proposições e obedecem a algumas regras. Na Tabela 1, são mostradas as operações lógicas, com seus respectivos operadores (conectivos) e símbolos.
Tabela 1: Operações e Operadores Lógicos Operação Operador Símbolo Negação NÃO ¬ Conjunção E (^) ∧ Disjunção OU (^) ∨ Condicional SE ... ENTÃO (^) → Bicondicional SE, E SOMENTE SE ↔
O detalhamento de cada uma dessas operações é dado a seguir e o seu entendimento é essencial para o estudo e compreensão da Lógica Matemática.
1.6. Operações Lógicas
1.6.1. Negação
Podemos utilizar o conectivo NÃO (¬) para formar uma nova proposição, cujo valor lógico é oposto ao da proposição original. Se tivermos uma proposição p , sua negação será ¬p. Caso o valor lógico de p seja V, o valor de ¬p será F, e vice versa.
A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:
Exemplo 1.5 – Negação
Sejam as proposições: a: A capital do Maranhão é São Luís. b: Todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica. c: Existem alunos estudiosos.
A negação da proposição (a) é definida com o uso do advérbio NÃO. Desta forma: ¬a: A capital do Maranhão não é São Luís. É possível, ainda, escrever a negação de (a) da seguinte forma: É falso que a capital do Maranhão é São Luís. As demais proposições deste exemplo exigem um pouco mais de atenção. A negação de b (¬b) seria: Nem todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica ou Existem alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica, ou, ainda, Há alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica. Quanto a proposição (c), sua negação (¬c) pode ser escrita da seguinte forma: Não existem alunos estudiosos ou Todos os alunos não são estudiosos.
1.6.2. Conjunção
Com o uso do conectivo E (∧) é possível ligar duas proposições, formando uma nova proposição chamada conjunção, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas as proposições que a compõem forem verdadeiras. Deste modo, p ∧ q (lê-se “p e q”) é a conjunção das proposições p e q e tem como valor lógico a verdade quando os valores de p e de q forem simultaneamente a verdade.
A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:
Para melhor entendimento, acompanhe a seguinte situação:
A empresa fictícia SoftHard abriu uma vaga para programador de sistemas, com a exigência de que os candidatos soubessem programar em C e em Java.
Desta situação podem ser extraídas duas proposições:
V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∧ b) = V(a) ∧ V(b) = V ∧ F = F
A conjunção c Ù d tem como valor lógico a verdade. Observe:
V(c) = V e V(d) = V, portanto V(c ∧d) = V(c) ∧ V(d) = V ∧ V = V
1.6.3. Disjunção
Quando usamos o conectivo OU (∨) é possível ligar duas proposições para formar uma terceira proposição denominada disjunção, cujo valor lógico é a falsidade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente falsas. Assim, p ∨ q (lê-se “p ou q”) é disjunção das proposições p e q e tem como valor lógico a falsidade se p e q assim o forem simultaneamente.
A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:
Considere que a empresa SoftHard modificou a exigência para a contratação do programador de sistemas. Agora, os candidatos devem programar em C ou programar em Java.
Neste caso, a definição de quem será contratado é baseada na operação lógica disjunção, cujos operandos são:
p: O candidato sabe programar em C q: O candidato sabe programar em Java
A tabela-verdade para este caso é a seguinte:
Neste caso, João poderá ser contratado (p ∨ q = V), pois sabe programar em C (p = V) e também em Java (q = V). Marcos, que programa em C (p = V), apesar de não programar em Java (q = F), poderá ser contratado (p ∨ q = V), pois é bastante programar em pelo menos uma das duas linguagens, conforme a exigência da empresa. Do mesmo modo, Ari, que não programa em C (p = F), mas programa em Java (q = V) também poderá ser contratado (p ∨ q
= V). Apenas Simone não seria contratada (p ∨ q = F), pois não programa nem em C (p = F) nem em Java (q = F).
Uma disjunção só é uma falsidade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente uma falsidade.
Exemplo 1.7 – Disjunção Sejam as proposições: a: Gonçalves Dias é um poeta maranhense. b: A lua é quadrada. a ∨ b: Gonçalves Dias é um poeta maranhense ou a lua é quadrada.
c: 5 – 3 > 2 d: 10 é um número primo. c ∨ d: 5 – 3 > 2 ou 10 é um número primo.
A disjunção a ∨ b tem como valor lógico a verdade. Observe: V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∨ b) = V(a) ∨ V(b) = V ∨ F = V
A disjunção c ∨ d tem como valor lógico a falsidade. Observe: V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ∨ d) = V(c) ∨ V(d) = F ∨ F = F
1.6.4. Condição
Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição p → q (lê-se “se p então q” ou “p implica q”), chamada condição ou implicação, onde p é chamado antecedente e q conseqüente, e cujo valor verdade é a falsidade quando p for uma verdade e q uma falsidade.
Existem outras maneiras de expressar p → q em linguagem natural, como: “p é condição suficiente para q”, “p somente se q”, “q é condição necessária para p” ou “p é conseqüência de q”. Por exemplo, a proposição “Uma alimentação equilibrada é uma condição necessária para uma vida saudável” pode ser reescrita da seguinte maneira “Uma vida saudável é conseqüência de uma alimentação equilibrada” ou ainda, “Se tens uma vida saudável, então tens uma alimentação equilibrada”. Note que o antecedente é “uma vida saudável” e o conseqüente é “uma alimentação equilibrada”.
A tabela-verdade da condição é a seguinte:
Amazônia Legal estar no Brasil não se deduz do simples fato de o relógio marcar as horas. Da mesma forma, não se poderia afirmar que 10 é um número primo em conseqüência de Machado de Assis ter escrito Dom Casmurro. A única relação existente entre o antecedente e o conseqüente é relativa aos seus valores lógicos.
O que uma condicional afirma é somente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente. (ALENCAR FILHO, 2002)
1.6.5. Bicondição
Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição p ↔ q (lê-se “p se, e somente se, q”), chamada bicondição, cujo valor verdade é a verdade quando p e q forem simultaneamente uma verdade ou uma falsidade.
Perceba que a bicondição é uma implicação válida “nos dois sentidos”, ou seja, são duas condições simultâneas. No sentido da ida, p é o antecedente e q é o conseqüente e no sentido da volta, q é o antecedente e p o conseqüente. (MENEZES, 2008).
A tabela-verdade da bicondição é seguinte:
Antes de prosseguir, tente responder a pergunta abaixo:
Pare e Reflita: Como se chegou a esta tabela-verdade para p ↔ q?
A tabela-verdade da bicondição foi construída levando-se em consideração que ela é, na verdade, uma conjunção de duas implicações: (p → q) ∧ (q → p). Podemos, portanto, construir uma tabela-verdade para a conjunção das duas implicações, como segue:
Uma bicondição é verdadeira quando as proposições que a compõe possuem o mesmo valor lógico.
Exemplo 1.9 – Bicondição
Sejam as proposições: a: O Brasil fica na América do Sul. b: No verão faz calor. a ↔ b: O Brasil fica na América do Sul se, e somente se, no verão faz calor.
c: 13 é divisível por 2. d: 10 é um número primo. c ↔ d: 13 é divisível por 2 se, e somente se, 10 é um número primo.
e: Domingo é um dia útil. f: O Sol é uma estrela. e ↔ f: Domingo é um dia útil se, e somente se, o Sol é uma estrela.
A bi-implicação a ↔ b tem como valor lógico a verdade. Observe:
V(a) = V e V(b) = V, portanto V(a ↔ b) = V(a) ↔ V(b) = V ↔ V = V
A implicação c ↔ d tem como valor lógico a verdade. Observe: V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ↔ d) = V(c) ↔ V(d) = F ↔ F = V
A implicação e ↔ f tem como valor lógico a falsidade. Observe: V(e) = F e V(f) = V, portanto V(e ↔ f) = V(e) ↔ V(f) = F ↔ V = F
Assim como na implicação, a bi-implicação afirma somente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente.
Auto Avaliação 1.
Determine o valor lógico das proposições a seguir:
(a) A metade de dois é um e cinco é um número primo. (b) Gonçalves Dias é francês ou os macacos são répteis pré-históricos. (c) Se o relógio marca as horas, então sen30° = 1. (d) São Luís é uma ilha se, e somente se, os papagaios podem voar.
E agora, como saber qual das duas expressões está representada pela fórmula? Para solucionar problemas deste tipo, os conectivos obedecem a uma ordem de precedência, que é a seguinte:
- Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os mais externos;
- Negação (¬);
- Conjunção (∧) e disjunção (∨);
- Condição (→);
- Bicondição (↔).
Com base no exposto, pode-se afirmar que na fórmula p ∧ q → r a conjunção tem precedência sobre a condição. Então, a expressão simbolizada pela fórmula é “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa”. Para representar a segunda expressão, é preciso fazer uso de parênteses: p ∧ (q →r).
Pare e Reflita: Como se constrói uma tabela-verdade de uma fórmula?
Para determinar o valor lógico de uma fórmula é comum recorrer-se a construção de uma tabela-verdade, a qual mostrará todos os casos em que a fórmula será verdadeira (V) ou falsa (F).
A seguir é apresentado um conjunto de passos que auxiliam na construção de tabelas-verdade.
Regra prática
- Conte o número de proposições simples e calcule o número de linhas da tabela, sabendo que uma fórmula composta de n proposições simples gera uma tabela com 2n^ linhas;
- Desenhe a tabela e escreva cada proposição simples sobre a primeira linha;
- Para a iésima proposição simples (i ≤ n), atribua alternadamente 2 n – i^ valores V seguidos da mesma quantidade de valores F.
- Em seguida, realize as operações lógicas, obedecendo à ordem de precedência. Para cada operação, crie uma nova coluna na tabela.
Considere a seguinte fórmula: p → (q ∧ r).
Aplicando a regra 1, notamos que existem três proposições simples na fórmula dada, o que implica dizer que a tabela-verdade terá 2^3 = 8 linhas.
Assim, temos (regra 2):
Pela regra 3, temos que p é a primeira proposição simples, assim, devemos preencher a coluna correspondente com 2^3 –1^ = 2^2 = 4 valores V seguidos da mesma quantidade de valores F.
Para a segunda e a terceira proposições temos, respectivamente: 2 3–2^ = 21 = 2 valores V, seguidos da mesma quantidade de valores F, alternadamente e 2 3–3^ = 2^0 = 1 valor V e também 1 valor F, alternadamente.
A regra 4 indica a resolução de cada uma das operações lógicas, seguindo uma ordem de precedência. Assim, iniciamos por resolver a conjunção entre parênteses.