Matematica para concurso V1, Provas de Engenharia Elétrica

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000000600 600000% JAMAIS DESISTA! = 3,14159265358 ... Ama | 3 no Eu . 1 Deus do mm g : segue ' fielmente “ MARCUS VINICIUS REIS FERREIRA Engenheiro Eletricista e Matemático - Professor de Matemática do 2º grau e Curso Pré-Vestibular (JENSM -- Instituto de Educação Nossa Senhora Medianeira) Barra do Pirai — RJ Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou partes do mesmo, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia ou outros), sem permissão expressa do autor. DISTRIBUIÇÃO: Marcus Vinicius Reis Ferreira Praça Fausto Bastos, 05 Barra do Piraí - RI 27230-410 Tel.: (0x424) 9999-1330 2 OD ease mana mesocarpo ss 1, chama-se potência enósima de 4, que se indica por «”, ao produto de 1 fatores iguais à «. Assim 142- PROPRIEDADES |» PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BA- SE Para multiplicar potências de mesma base, deve-se conservar a base e adicionar os expoentes, isto é mo tt q = tt 2. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Para dividir potências de mesma base, deve- se conservar a base e subtrair os expoentes, isto é: “ mom RR AA: E 3. POTÊNCIA DE POTÊNCIA Para elevar uma potência a um exposnte, de- ve-se conservar a base e multiplicar 05 expoentes, isto é: ig n fer car [a 380 n o p . Logo, (e?) a 4. FOTÊNCIA DE UM PRODUTO Para elevar um produto a um expoente, ele- e cada fator a esso expoente, isto é; ad x 64 R do guto, Seo ois que vos di maior deles é 7 leg, sendo à soma de dois mis or está para 10 assim le esses números. omo o mm fx y= 720 xo V O xey IO 6 10+6 16 ToagSzo r=A500 É 10 6 Logo: R.: Os números são 450 e 270. 5. AS idades de duas pessoas estão na razão de 7 para [o Admitindo-se que a diferença das idades seja iguala 8 anos, calcular a idade de cada uma. Solução: Vamos tepresentar por x a idade da mais ve-. lha e por y a idade da outra. Assim: Logo: R As idades são 56 anos « 48 anos. dido GRANDEZAS INVERSAMENTE PRO- PORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas um certo número de vezes, a outra diminui ( ou aumenta) o mesmo número de vezes. Consegilentemente, se duas grandezas são inver- samente proporcionais, «4 razão de dois valores quaisquer de uma delas é igual 20 inverso da razão dos dois valores correspondentes da outra Exem, A distância entro Barra do Piraí e Rio de lanei- ro é de 100km. Um veiculo pode percorrer essa distância com diferente velocidades Vamos examinar a relação que existe entre gran- dezas velocidade « tempo gasto no percurso Velocidade Drempo — 25kmh id horas 50kmih | IZhoras | 100&mih lho 1º Situação Com velocidade de 25koyb, à tempo gasto de dd horas, Com velocidade de China, o teropo Com velocidade de 25km/h, o tempo gasto é de 4 horas. Com velocidade de 100km/h, o tempo gasto é de Vhora. a8tm/ * Razão entre as velocidades Sob lh (1 100%m/ h dhoras 4 * Razão entre os tempos: thora nelusão: Uma razão é o inverso da outra, Nesse caso, dizemos que as duas grandezas (velo- cidade do automóvel e o tempo gasto) são inversamente proporcionais 24- REGRA DE TRÊS SIMPLES Há muitos problemas que podem ser resolvidos por meio das proporções. Sejam 4 e & duas grandezas di- retamento ou inversamente proporcionais. Conhecendo duas medidas a, e a, de À e uma medida correspondente 4, de B, podemos determinar a medida correspondente b; de B. emma pos Este tipo de problema chama-se Regra de Três Simples, ss 2.4.1: REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA As duas grandezas são diretamente proporcionais, Exemplo: Uma pessoa ganha R$ 1620,00 por 18 dias de . trabalho. Quanto ganhará por 7 dias do mesmo trabalho diário? Sejam G o quanto ganha e D 9 número de di ão diretamente proporcionais, porque se trabalhas- se o dobro de dias, ganharia o dobro, por exemplo s D G “ Número de dias Quanto ganha : 18 1620 : 7 4 “ As flechas. desenhadas no mesmo sentido, todi cam que as grandeza De 6 são diretamente proporcion Podemos, então, armar à proporção de acordo com a oríen- , ão das flechas, Daí: . RT k Uma pessua dando 36 passos por mínuto per corre em 30 minutos urma certa distância. Que tempo es pessoa levará para percorrer essa mesma distância se der ; 45 passos par minuto? Solução: Sejam P o número de passos por minuto e Fo ; tempo gasto. Pe T são inversamente proporcionais, por-.. que, se essa pessoa reduzir à metade o número de pa: À por minuto, o tempo gasto será o dobro, por exemplo. p T tg 30 45 IR Observe que as flechas foram desenhadas uma o * sentido contrário da outra, indicando que as grandezas P e T são inversamente proporcionais. o Para que a grandeza P seja diretamente propor cional a 'Y, devemos escrever a razão inversa dos valores . que expressam a grandeza P. Assim: Aron 2.5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas envolvendo mais de duas grandezas proporcionais são resolvidos por meio de uma regra práti- ca chamada regra de três composta. Exemplo: Se 45 pedreiros executam uma obra em [6 dias, trabalhando 7 horas por dia, quantos pedreiros serão preci- sos para executar q mesma obra em 12 dias, trabalhando 50 horas por dia? Indicamos por P o número de pedreiros, D o o de dias e Ho número de hotas por dia. Assim: Db H P | 16 iz 45 12 10 x Vamos comparar a grandeza que contém a incós nita P com cada uma das out as: * Pe são inversamente proporcionais, fixado H * Pe são inversamente proporcionais, fixado [3 Assim, a grande: as Helo P samente proporcional a diretarmen- Portanto, serão precisos 42 pedreiros. Exemplo: Cinco máquinas funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produzem 9000 parafusos. Em quantos dias 6 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 4800 parafusos? Solug Indicando por M o número de máquinas, 5 o número de horas por dia, D o número de dias e P o número de parafusos. Temos: M H D Pp t 5 | 6 30 9000 6 8 x 4800 Assim, D é: * inversamente proporcional a M; * inversamente proporcional a H e * diretamente proporcional a P, Então: M H Db P [s É 8 30 2000 5 6 x 4800 30-5-5. 4800 Portanto, são precisos 1Q dias. 2.6 EXERCÍCIOS i- A fotografia que tirei de uma escola tem ÍZem de comprimento por 9em de altura. Quero ampliá-la, de forma que tenha 36cm de comprimento. Qual será q alínra, em cm, da ampliação? als b)20 c)25 dj27 cjnda, Na feira de ciência de uma escola, um grupo vai tra balhar com escalas e resolveu fazer uma miniatura semelhante à pirâmide de Quéops no Egito, que tem a sua base quadrada com aproximadamente 230m de lado « altura é aproximadamente de 146m. balhada numa escala de 1:400. mento de lado e da altura, em cm, vespectivamen dessa miniatura? à5 5. A terovira proporcional dos números x 6 12.6 9 número que se repete, o valor de n2 bj4 6 3 enda é A diferença entre dois mimeros é 45, O maior está para 14 assim como o menor está para 5. O produto desses números, vale: a) 1640 b)1750 c)1800 d)650 cnda. 7» As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo são proporcionais aos números 3,4, 6% 7. Quanto mede cada um dos ângulos, se a soma das medidas dos ângulos intemos de um quadrilátero convexo vale 360º? a) 549, 72º, 108º e 126º d)54º, 729, 110º e 124º b) 52º, 74º, 108º 6 126º enda, 6) 30º, 76º, 108º e 126º 8. “Três torneiras despejam num reservatório, por minu- to, 154, 84, e 13/ de água, respectivamente. A quanti- dade de água, em litros, que cada torneira despejou no reservatório, para enchê-lo completamente, se a sua capacidade é de 1998, é: a) 832,5, 444 e 721,5 d) 832,5, 443,5 b) 832, 444,5 e 721,5 ejnda c) 832,5, 444,5 6 721 E a E %8- Um trilho de 20m de comprimento sofre um alonga- mento de 3mm, para um acréscimo de temperatura de 1 16º€. Determine o alongamento sofrido por um trilho de lâm de comprimento, para um acréscimo de tem- peratura de 20ºC. a) 2,625mm ma c)3.150mm ejuda. A b)2.780r9m d) 3,.250mm 29- Para colocar 6000 tijolos num caminhão e transportá- los por uma distância de 24km, 3 homens demoraram 8 horas. Quantos homens serão necessários para co- locar 15000 tijolos em um caminhão e transportá-los por uma distância igual, em 5 horas? a) to bji2 e) dd do ejnda. ts e A importância de R$ 36.000.000.00 deve ser repartida entre três cidados À. Be €, de modo que us parcelas sejam diretamente proporcionais ao número de seus . habitantes. Quanto deve receber cada uma se as po- pulações são. respectivamente, de 50000, 70000 & BODOD habitantes”? a) R$ 10.000.000,00, R$ 14.000,000,00 « j R$ 12.000.000,00 DYRS 10.000.000,00, R$ 15.000.000,00 e + “5 14,000,000.00 1E000,006,0 % ES O0O DOG distâncias de cada uma à ponte, pe coube a cada cidade, se as distâne: e 15km? rgunta-se: quanio 3 de 3lum, 2km a) R$ 3.000.000,00. R$ 1.000.000,00 e ' RS 600.000,00 b) R$ 2.500.000,00, R$ 1.500.000,00 e m R$ 600.000,00 ) €) R$ 3.000.000,00, R$ 960.000,00 e a R$ 700.000,00 t d) R$ 2.900.000,00. RS 1.000.000,00 e 1a R$ 700.000,00 ejuda. t 32- Pelo transporte de 350kg de mercadorias a 20km de N distância, certa empresa cobrou R$ 140,00. Quanto cobrará para transportar 9000kg. a 300km de distân- cia, se, devido ao longo percurso, essa empresa fizer o - abatimento de 4 9 ê a) R$ 40.000,00 by R$ 42.000,00 c) R$ 35.000,00 ejnda. cd) R$ 30.000,00 SOLUÇÃO 1- Fotografia origina! Fotografia ampliada R.: Letra d. 2 Pirâmide o A h=146m pe riginal Pirâmide em miniatura 250m Como a escala é de AGO, temos Então = 5 Tigr o es 57 30º 60º —+» Tereeito ângalo = Quarta proporcional Então: 302 +60º+2= 180º => = 180º — 90º => 1: == 90º >g 30º Logo: — mitos x = 180º 60º x . Ro Letra d. 3º atmero 2y=2-18=36 2º número x=2-9=18 4. E número x=9 y Cálculo da quarta proporcional: 18-36 ue o gu 7 9 x R.: Letra b. X-y=45 Cálculo de y: 23 Ro Letra db Logo, os ângulos Hu Letra a x+yrz= 958 * Cálculo da quantidade de água que a torneira x despejou: > x == 832,57 15 * Cálculo da quantidade de água que a tomeira despejou: % = 58,525 yo d4M * Cálculo da quantidade de água que a torneira z despejou: R: Letra a, arprz=450 * Cálculo do prêmio do funcionário x: E) Ecasosoamas0 > >= R$22500 2 * Cáfeulo do prêmio do funcionário p: Ro Le ra a i6- Velocidade Skin x A velocidade e q 1 mente propor metade a vel exemplo. 4 sa pessoa 16: d será o dobro, po! 2x > x Blond A ca EE > x 7 5006 Bo Letra 12- Pessoas Dias 4 L3 º Inverter 16 25 +15 2: 404 x á “Aumenta o número de pessoas --» diminui o número de dias” assim: 16 Ojo pa 1620 sv 0 dias x 25 4 R.: Letra b. 13- Tempo Velocidade 3 horas I 60km/h dr verter É | x 60430=90 km) Verte” + “Aumenta a velocidade --» dimingi o tempo' 90 3:60 mpsiilioo yo Zhoras do 90