Baixe Matemática: Pré-cálculo - Aula 03 e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Conversa inicial
Olá! Seja bem-vindo à nossa terceira aula. Nela, iremos abordar um tema muito importante e constantemente presente em nossas vidas:
as funções. Nesta aula e nas próximas discutiremos sobre o que são funções e como as funções podem ser utilizadas na resolução de
diversos problemas práticos.
Para começarmos, vamos assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre
os conteúdos dessa aula no material on-line!
Contextualizando
As funções estão presentes nas mais diversas situações
Quando vamos ao mercado fazer compras, o total a ser pago é dado em função dos produtos comprados, preços e quantidades.
As funções podem servir de inspiração para construções dos mais diversos tipos, como o Memorial da Paz de Hiroshima destacado na imagem.
A água que sai da mangueira ou de um chafariz descreve um movimento com a forma de uma parábola, curva associada a uma função quadrática.
NÍVEL Graduação CURSO (^) Engenharia de Produção DISCIPLINA Pré-Cálculo MÓDULO A1 2016 AULA (^) 3 PROFESSOR (^) Prof. Me. Ricardo Zanardini
As funções podem descrever também a trajetória de objetos. Uma bola de futebol, por exemplo, muitas vezes descreve um movimento que acompanha uma parábola.
As funções logarítmicas são utilizadas no estudo da intensidade de terremotos, pois são muito adequadas a problemas que envolvem grandezas com uma grande amplitude de valores.
As intensidades dos terremotos têm uma amplitude de valores muito grande. Na escala Richter, a magnitude M de um terremoto é igual ao logaritmo da razão entre sua intensidade física I e a intensidade física Io de um terremoto tomado como padrão. Logo: M = log(I/Io)
Na química, podemos utilizar funções logarítmicas para medirmos a acidez de soluções que está relacionada com a concentração do íon hidrogênio.
A concentração do íon hidrogênio [H+] pode variar desde 10^0 mol/L até 10 -14^ mol/L. O pH é o logaritmo decimal do inverso da [H+]. Logo: pH = log (1 / [H+])
Funções e suas propriedades
As funções estão presentes em diversos problemas do nosso cotidiano. Desde situações simples, tais como a compra de alguns produtos até problemas mais específicos, como, por exemplo, um estudo sobre o crescimento populacional ou até mesmo a estimativa do tempo da morte de uma pessoa.
Antes de começarmos as nossas explicações, vamos assistir a um vídeo sobre a importância das funções:
https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg
Funções
associado a um único elemento do contradomínio. A figura a seguir mostra isso.
No entanto, muitas vezes podemos ter relações que não são classificadas como funções. Isso ocorre quando um valor da variável independente x está associado a dois ou mais valores. A figura abaixo ilustra isso.
Mas, de fato, que problemas podem ser representados por funções? A resposta é bem simples. Na prática, temos diversas situações envolvendo funções. Vamos apresentar algumas aplicações.
Primeiro, vamos imaginar a situação onde uma pessoa vai até um supermercado para comprar algumas frutas. Essa pessoa pega 1 quilo de maçã, dois quilos de banana e uma dúzia de laranjas. O total a ser pago pela compra é função da quantidade comprada de cada produto
e, para que possamos determinar o total da compra, precisamos também saber qual é o preço cobrado pelas frutas adquiridas.
Vamos organizar essas informações em uma tabela para facilitar a resolução do problema:
Produto Quantidade Preço Total Maçã 1 kg R$ 5,00 por quilo 1x5=5, Banana 2 kg R$ 2,00 por quilo 2x2=4, Laranja 1 dúzia R$ 4,00 por dúzia 1x4=4, Total da compra --- --- 5+4+4=13,
Nesse caso, conhecendo o preço das frutas e as quantidades que foram compradas, podemos determinar o total da compra a partir da soma dos valores que serão pagos pelos produtos adquiridos em função das quantidades de cada um deles. Logo, no caso dessa compra, o total a ser pago é dado em função das quantidades adquiridas de cada produto. Essas quantidades são as variáveis do nosso problema. Nos nossos estudos, vamos nos concentrar em funções de uma variável.
Como exemplo, podemos relacionar a alta do preço da gasolina em função do tempo ou também o lucro de uma empresa em função da quantidade vendida do seu produto. Nessa aula e nas próximas veremos muitas aplicações das funções nas mais diversas áreas do conhecimento.
O vídeo a seguir apresenta importantes tópicos relacionados às funções:
Algo parecido acontece com a função f x x^1 3. Nesse caso, a
condição de existência da função é que o denominador seja diferente de zero, ou seja, x 3 0. Nesse caso, temos x 3. Logo, o domínio
dessa função é Df x R , x 3 .
Graficamente podemos observar o comportamento da função em torno do ponto x=-3.
Vamos agora analisar o domínio da função f x x. Como
sabemos, não é possível, dentro do conjunto dos reais, calcularmos a raiz quadrada de um número negativo. Logo, x deve ser maior ou igual a zero. Nesse caso, o domínio da função consiste em todos os
números reais maiores ou igual a zero, ou seja, Df x R , x 0 .
Graficamente, temos:
Em relação à função f x x 5 , o domínio consiste em x 5 0 ou,
equivalentemente, (^) x 5.
A imagem abaixo mostra o gráfico da função f x x 5.
Além do domínio, temos também a possibilidade de analisarmos a imagem de uma função. Em algumas situações, a imagem de uma função consiste em todos os números reais. Em outros casos, o conjunto imagem consiste em um subconjunto dos reais.
Se considerarmos, como exemplo, a função f(x)=2x, o conjunto imagem (Im) de f consiste em todos os números reais. Podemos escrever, então, que Im=R. O gráfico a seguir ilustra esse fato.
Por outro lado, quando há qualquer tipo de interrupção na função, dizemos que a função é descontínua. O tipo de descontinuidade da função e pode ser classificado como descontinuidade de salto, removível ou infinita.
A descontinuidade de salto, como o nome diz, apresenta um salto no ponto de descontinuidade. O gráfico abaixo ilustra esse tipo de descontinuidade.
A descontinuidade removível consiste em uma interrupção da função no ponto de descontinuidade.
E, finalmente, a descontinuidade infinita ocorre quando, no ponto de descontinuidade, a função tende a infinito.
O vídeo a seguir ilustra a relação entre funções descontínuas e problemas do cotidiano:
https://www.youtube.com/watch?v=Axalqv09SpE&index=15&list=PLf asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc
Funções Crescentes
Sempre que, ao aumentarmos o valor da variável independente, a variável dependente tem um acréscimo no valor, temos uma função crescente. Uma função pode ser crescente para todo o domínio ou em um determinado intervalo. De um modo geral, uma função é dita
Uma função decrescente representa, por exemplo, o tempo para a realização de uma determinada atividade. Quanto maior o número de pessoas envolvidas, menor o tempo total para a realização desse trabalho.
Funções Constantes
Se há alteração no valor da variável independente, mas mesmo assim não há alteração no valor da variável dependente, a função é dita constante. Para as funções constantes, temos que x (^) 2 x 1 y 2 y 1.
Para entendermos o que é uma função constante, podemos imaginar o salário mínimo que, em um determinado intervalo de tempo, não se altera com o passar do tempo.
Extremos de Funções (Máximos e Mínimos)
Em muitas aplicações do cotidiano, queremos o maior lucro possível, a maior audiência possível... por outro lado, também queremos minimizar custos ou a utilização de matérias-primas. Nesse caso, as funções podem ser muito úteis. Com o auxílio das funções podemos determinar máximos e mínimos de problemas práticos.
No gráfico abaixo, o ponto x 1 indica um máximo local da função, ou seja, em torno do ponto x 1 a função assume o maior valor exatamente
em x 1. O ponto x 2 indica um mínimo local. Note que em torno desse ponto, a função assume o menor valor no ponto x 2.
Mais adiante estudaremos diversos problemas envolvendo máximos e mínimos de funções.
Simetria
Para finalizarmos, vamos abordar a simetria de funções. O que é simetria? A simetria é a correspondência em forma, grandeza e posição de partes situadas em lugares opostos de uma reta ou plano ou também em torno de um centro ou de um eixo. No caso das funções, temos a simetria em relação ao eixo y e também a simetria em relação à origem do sistema de eixos coordenados.
Quanto à simetria em relação ao eixo y, a função é dita função par,
pois f ^ x ^ f x. O gráfico abaixo ilustra bem isso.
Como exemplo, vamos considerar a função y x^3. A relação entre os valores de x e de y pode ser analisada na tabela a seguir. x y=x^3
- 3 - 27
- 2 - 8
- 1 - 1 0 0 1 1 2 8 3 27
Como f x f x para todo x pertencente ao domínio, a função
y x^3 é uma função ímpar e, nesse caso, simétrica em relação à origem. A figura a seguir mostra o gráfico da função y x^3.
1) Nas funções abaixo, determine o domínio de cada uma.
a) b) c) +
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolução:
a) Neste caso o domínio é o conjunto dos Reais, pois não ocorre nenhuma situação de restrição, ou.
b) Para esta função linear, o domínio é o conjunto dos reais devido não haver restrições presentes, ou.
c) Para esta situação, observa-se que a função +
apresenta denominador, onde não é aceito valor nulo, ou seja, o denominador deve ser diferente de zero, ou ainda. O domínio
será ou.
d) Para esta situação, ocorre um denominador, porém neste aparece uma constante, o que não é uma restrição para domínio. Tem-se como solução o conjunto dos Reais, ou.
e) Na função observa-se a ocorrência de raiz de índice
par, o que implica no radicando ser maior ou igual a zero. Tem-se , com valores aceitos para x, ou ou.
f) Na função ocorre uma raiz de índice par no
denominador, sendo uma dupla restrição, ou seja, o radicando
c)
d)
e)
Resolução: Uma função é contínua quando o traçado de seu gráfico pode ser feito sem retirarmos o lápis do papel, ou seja, sem interrupções no traçado.
As descontinuidades podem ser de três tipos: salto, removível ou infinita.
As descontinuidades por salto podem ocorrer em funções que sejam definidas por equações diferentes para cada região do domínio real
As descontinuidades removíveis e infinitas ocorrem devido a presença da variável (x) no denominador da equação de definição da função.
As descontinuidades removíveis ocorrem em funções onde o numerador pode ser fatorado e permita simplificação com a expressão do denominador.
As descontinuidades infinitas ocorrem quando não há possibilidade de fatoração de numerador ou denominador e posterior simplificação da equação. À esquerda do valor de x (que não pertence ao domínio), a função tende a infinito (negativo ou positivo) e à direita do valor de x (que não pertence ao domínio), a função tende a infinito (positivo ou negativo).
a) A função é contínua porque não apresenta
denominador.
b) A função é descontínua, porque no
denominador tem-se o fator , ou seja, com a variável x. Este
denominador nunca poderá ser nulo, pois não é possível realizar
divisão por zero. Deve-se fazer ou
O domínio são todos os valores reais, com exceção de.
Observando o numerador é possível reescrever por
fatoração Pode-se escrever a equação original
como e simplificar o fator do
numerador e do denominador, resultando. Quando ocorre
a simplificação ocorre a remoção da descontinuidade.
O Wimplot apresenta o gráfico após a remoção da descontinuidade. Antes da remoção da descontinuidade o gráfico seria uma reta com o ponto (-2,1) em aberto.
