Baixe Matemática: Pré-cálculo - Aula 06 e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Conversa inicial
Olá! Chegamos à última aula de Pré-Cálculo!
Você percebeu o quanto já evoluímos nessa disciplina? Para completar o conteúdo teórico dessa disciplina, na aula de hoje vamos tratar de funções compostas e de funções inversas. Falaremos também sobre ponto de equilíbrio.
Assista ao vídeo do professor Ricardo sobre os conteúdos da aula acessando o material on-line!
Contextualizando
Em muitos momentos de nossas vidas, precisamos tomar decisões, no campo profissional e também no pessoal. Mas você já parou para pensar em como tomamos decisões?
O processo de tomada de decisões segue critérios previamente estabelecidos. Para comprarmos uma roupa, por exemplo, podemos estabelecer alguns critérios tais como o modelo, o tamanho e o preço. Se as três condições são satisfeitas, concretizamos a compra. Se pelo menos um desses critérios não estiver de acordo com o esperado, a compra não é realizada.
NÍVEL Graduação CURSO (^) Engenharia de Produção DISCIPLINA (^) Pré-Cálculo MÓDULO A1 2016 AULA 6 PROFESSOR Prof. Me. Ricardo Zanardini
É claro que os critérios são muitas vezes subjetivos e podem variar de acordo com quem está tomando a decisão ou de acordo com o contexto em que esses critérios se encontram.
A matemática pode ser muito útil no processo de tomada de decisões. Estudos comprovam que a falta de conhecimento matemático pode provocar muitos prejuízos em situações que envolvem quantidades.
Ao escolhermos uma operadora de telefonia celular, por exemplo, temos diversos planos disponíveis e com preços variados. Vamos supor que temos dois planos de telefonia celular que mais chamaram a atenção e que estão de acordo com as expectativas.
O primeiro plano tem uma mensalidade de R$ 39,90 com 50 minutos de ligações. Ultrapassando esses 50 minutos, cada minuto adicional tem um custo de R$ 0,79. O outro plano tem uma mensalidade de R$ 49, também com 50 minutos para ligações e cada minuto adicional tem um custo de R$ 0,69.
Se formos utilizar no máximo 50 minutos por mês, o primeiro plano é o mais adequado, pois tem uma mensalidade menor. No entanto, se ultrapassarmos esses 50 minutos, iremos pagar pelo tempo adicional de conversa. Mesmo tendo uma mensalidade mais barata, os minutos adicionais do primeiro plano são mais caros do que os do segundo plano.
Nesse caso, o primeiro plano será vantajoso até um certo ponto. Depois disso, o segundo plano será mais viável financeiramente.
Mas que ponto é esse? Até quantos minutos adicionais o primeiro plano é melhor? A partir de quantos minutos o segundo plano é melhor?
Isso e muito mais é o que veremos nessa aula!
As funções compostas estão relacionadas a problemas onde temos grandezas associadas entre si por duas ou mais leis de composição.
p(t)=45+0,2t^2 mil habitantes.
a) Qual é a função que relaciona o nível de monóxido de carbono com o tempo?
Nesse caso, temos a relação entre o nível de monóxido de carbono e a população, dada por m(p)=0,7p+1 e temos também a relação entre a população e o tempo, dada por p(t)=45+0,2t^2. Precisamos relacionar o nível de monóxido de carbono com o tempo. Para isso, na função m(p)=0,7p+1, vamos substituir a variável p pela expressão 45+0,2t^2 , pois p(t)=45+0,2t^2.
m(p(t))=0,7(45+0,2t^2 )+
Vamos agora aplicar a lei distributiva, multiplicando 0,7 por 45 e também 0,7 por 0,2t^2
m(p(t))=31,5+0,14t^2 +
Somando 31,5 com 1, temos
m(p(t))=32,5+0,14t^2
Que é a relação entre o nível de monóxido de carbono e o tempo.
b) Qual é o nível atual de monóxido de carbono?
Sabemos que a relação entre o nível de monóxido de carbono e o tempo é dada por:
m(p(t))=32,5+0,14t^2
Para sabermos o nível atual de monóxido de carbono, vamos substituir a variável t por 0.
m(p(0))=32,5+0,14(0)^2 m(p(0))=32,5+0,14(0)
m(p(0))=32,5+ m(p(10))=32,5 ppm
Portanto, o nível atual de monóxido de carbono é de 32,5 partes por milhão.
c) Qual será o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos?
Para determinarmos o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos, basta substituirmos t por 10 na expressão
m(p(t))=32,5+0,14t^2 ,
O que resulta em
m(p(10))=32,5+0,14(10)^2 m(p(10))=32,5+0,14(100) m(p(10))=32,5+ m(p(10))=46,5 ppm
Sendo assim, o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos será de 46,5 partes por milhão.
Seja as funções f(t)=2t^2 -5t e t(x)=4x+1. Escreva a função f(t(x)).
Resolução:
Sabemos que f(t)=2t^2 -5t e que t(x)=4x+1. Para encontrarmos f(t(x)), basta substituirmos 4x+1 no lugar de t na função f(t)=2t^2 -5t:
f(t(x))=2(4x+1)^2 -5(4x+1).
Em primeiro lugar precisamos resolver a potência (4x+1)^2.
f(t(x))=2(16x^2 +8x+1)-5(4x+1)
Vamos agora efetuar as multiplicações:
f u ^3 u^ 2 u^2
Onde u x^2 1.
A seguir, dois vídeos apresentando exercícios resolvidos relacionados às funções compostas.
https://www.youtube.com/watch?v=NKIuiSk4zSs
https://www.youtube.com/watch?v=Dfy6Eov80SY
- Considere as funções dadas a seguir denotadas por f(x) e g(x). Determine o domínio destas funções. Determine as expressões (equações) das funções compostas (f+g)(x), (f-g)(x), (g-f)(x), (f.g)(x), (f/g)(x), (g/f)(x), (fog)(x) e (gof)(x) e os domínios destas funções.
a) e
b) e
c) e
Resolução:
a) Para a função tem-se: pois não
ocorrem restrições nesta função. Em relação a função e
ocorre uma raiz de índice par, fazendo com que no
radicando somente sejam aceitos valores não negativos, ou
ou ainda resultando. As
expressões resultantes e os correspondentes domínios, para as funções compostas serão:
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste caso x=1 deve ser excluído)
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste caso x=0 e x=-3 devem ser excluídos, porém estes valores não pertencem ao domínio de sobreposição das funções originais, restando então o domínio informado)
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste caso x=0 deve ser excluído)
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste caso no denominador ocorre a função exponencial que NUNCA se anula, restando apenas a observação do numerador que envolve a radiciação, onde o radicando deve ser não negativo).
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo conjunto imagem contenha os valores do domínio de f(x). A variável x
pode assumir qualquer valor real, ocasionando em valores sempre
positivos, ou seja, o radicando será sempre positivo que é a condição de existência de raízes de índice par).
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo conjunto imagem contenha os valores do domínio de g(x), ou onde:
c) Para a função tem-se: pois não
ocorrem restrições nesta função. Em relação a função e
ocorre uma situação de logaritmo, fazendo com que
no logaritmando somente sejam aceitos valores positivos, ou
resultando. As expressões resultantes e os
correspondentes domínios, para as funções compostas serão:
Para fixarmos melhor o que aprendemos até aqui, vamos assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre a resolução de problemas sobre funções compostas! Para isso, acesse o material on-line!
Funções inversas
Além das funções compostas, um estudo útil e importante é sobre funções inversas. Para podermos determinar a função inversa de uma dada função, precisaremos, primeiro, saber o que são funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Para isso, vamos assistir ao vídeo a seguir.
https://www.youtube.com/watch?v=tQ7o3EezYo
Para sabermos como encontrar a inversa de uma função, temos um vídeo bem interessante.
https://www.youtube.com/watch?v=mRIW3fFw3eE
Sabemos que uma função f relaciona valores de y a partir de certos valores de x. Mas será que temos como fazer o processo inverso, ou seja, conhecendo y, saber qual é o valor de x?
y x?
x y
Caso exista essa possibilidade, temos uma situação onde é feita a inversão de uma função. Para podermos determinar a inversa de uma função f, essa função f deve ser bijetora. Mas o que é uma função bijetora? Uma função bijetora é uma função que atende a seguinte condição:
para x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 )e CD^ f Im f ,
Ou seja, cada valor de y deve estar associado a um único valor de x e todos os valores do contradomínio devem estar associados aos elementos do domínio de f.
Bom, agora que sabemos o que é uma função bijetora, podemos definir o que é uma função inversa.
Se f é uma função bijetora com domínio A e imagem B, então f-1^ (função inversa de f) é a função com domínio em B e imagem em A definida por
f-1(b)=a se e somente se f(a)=b.
Podemos visualizar o que é uma função inversa observando a imagem a seguir.
Se f relaciona s elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, a inversa f-1^ relaciona esses elementos de B com os elementos do conjunto A. É bom ressaltar que nem todas as funções possuem inversa.
1. Para as funções dadas a seguir, faça a representação gráfica e utilize o teste da linha horizontal para verificar se a função terá inversa.
a)
b)
c) Admite inversa
d) Não admite inversa
e) Admite inversa
f) Admite inversa
g) Admite inversa
Vamos assistir ao professor Ricardo falando um pouco mais sobre as funções inversas? Acesse o material on-line!
Exemplos relacionados às funções inversas
Em diversas situações práticas podemos fazer uso das funções inversas. Por exemplo, se temos o lucro em função das vendas dado por
L=1,5x-
É possível estimarmos as vendas em função do lucro:
x ( y 1 ) y
Multiplicando x por y e x por 1, temos:
xy x y
Subtraindo x e subtraindo y dos dois membros, temos:
xy y x
Vamos agora colocar y em evidência:
y ( x 1 ) x
O próximo passo é dividir ambos os membros por x-1:
1 x y x
Como a variável x está no numerador com o sinal negativo, podemos ainda simplificar essa expressão. Para isso, vamos colocar, no denominador, o sinal negativo em evidência:
x
y x
Finalmente, comparando os sinais do numerador e do denominador, temos a função inversa dada por:
x y x (^1)
Vamos ver agora diversos exemplos de funções e, caso existam, suas respectivas inversas.
f ( x ) f ^1 ( x )
5 x 1 5
x 1
1
1
x
x 1
1
x
x
x^2 A função f(x)=x^2 não possui inversa, pois f não é bijetora. Contra-exemplo: f(2)=4 e f(- 2)=4.
x^33 x
ex ln x
3 x 2
,^2
x^2 2 x
- Calcule as funções inversas das funções dadas.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
a) Para a função: faz-se e isolando y
vem ou. A seguir o gráfico das duas funções, a
original e a inversa.
