Baixe Matemática: Pré-cálculo - Aula 05 e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Conversa inicial
Olá! Estamos começando mais uma aula de Pré-Cálculo.
Nesta aula, vamos falar sobre as funções exponenciais e sobre as funções logarítmicas. As funções exponenciais são muito importantes em problemas relacionados a juros compostos, crescimento populacional, decaimento exponencial, além de outras situações.
Em relação às funções logarítmicas, podemos destacar a aplicação em problemas onde o objetivo é determinarmos o tempo de uma aplicação financeira ou o tempo relativo ao crescimento da população de uma certa região.
Vamos, inicialmente, assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre os conteúdos dessa aula? Para isso, acesse o material on-line!
Contextualizando
As funções exponenciais a as funções logarítmicas estão presentes em muitas situações do nosso cotidiano. Veremos nesta aula que o crescimento do valor de uma dívida ou de um investimento seguem uma função exponencial quando juros compostos são utilizados.
NÍVEL (^) Graduação CURSO (^) Engenharia de Produção DISCIPLINA Pré-Cálculo MÓDULO A1 2016 AULA 5 PROFESSOR (^) Prof. Me. Ricardo Zanardini
Se uma dívida inicial corresponde a R$ 1.500,00, após 12 meses a uma taxa de juros de 12% ao mês o montante (valor inicial mais juros cobrados) será de R$ 5.843,96.
Além do crescimento de uma dívida, as funções exponenciais estão relacionadas às notas de escalas musicais, crescimento populacional entre muitas outras aplicações. O mesmo ocorre com os logaritmos. Podemos encontrar aplicações na música, nas finanças, nas engenharias, na química, etc.
Funções exponenciais
As funções exponenciais são funções escritas sob a forma:
f x a. b^ x
Onde a é diferente de zero, b é positivo e b é diferente de 1. O termo a é o valor da função quando x é igual a zero. O termo b é a base.
Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente. Se b > 1, a função é crescente e se 0 < b < 1, a função é decrescente.
O gráfico ao lado ilustra duas funções exponenciais: uma delas é a
Note que a cada mês o valor da dívida é 10% maior do que o valor da dívida no mês anterior. Por esse motivo, a cada mês multiplicamos a dívida do mês anterior por 1,1, o que corresponde a 100% mais o acréscimo de 10%, pois 100%+10%=110%, o que, na forma decimal, é igual a 1,1. Esse crescimento é o que caracteriza a função exponencial. Abaixo, o gráfico apresenta o crescimento exponencial da dívida em relação ao avanço do tempo.
O valor de b corresponde a 1,1 e, por isso, a função é crescente. Para a construção do gráfico, utilizamos valores inteiros para o expoente n, mas esse expoente pode assumir qualquer valor real. Nesse caso, podemos dizer que a função é contínua, pois não há restrições em relação ao domínio. É claro que, por questões práticas, n deve ser maior ou igual a zero. Mas, matematicamente, n pode assumir também valores negativos.
1. Nas funções dadas a seguir, identifique as que são exponenciais, o fator de multiplicação e o valor da base.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Resolução:
a) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 3, e base igual a 2. b) Não é função exponencial pois a variável x está na base. c) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 5, e base igual a “e”=2,7182... d) Função exponencial, podendo ser reescrita com fator de multiplicação igual
a 4 e base igual a 1/3. e) Função exponencial com fator de multiplicação igual a -2, e base igual a ¼. f) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 5 e base igual a 3, pois a função pode ser rescrita como
1) Considerando os valores da tabela a seguir, verifique se é uma função exponencial. Em caso afirmativo determine o fator de multiplicação, a base e escreva a equação. Identifique se é uma função de crescimento exponencial ou de decaimento exponencial. a) Dados: x f(x) -2 ¾ -1 3/ 0 3 1 6 2 12
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma multiplicação do valor da função por 1/3 ou uma divisão por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma função exponencial (e consequentemente o valor da base, neste caso igual a 1/3). Para determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 5/3. Então a função exponencial é
escrita como sendo. Função de
decaimento exponencial (pois a base b = 1/3 é menor que 1)
d) Dados: x f(x) -2 10 -1 7 0 6 1 7 2 10
Resolução : Observando os valores de f(x) não é possível perceber multiplicação por um valor, ou divisão por um valor, na sequência dos valores da função. Desta forma, NÃO É UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL.
e) Dados: x f(x) -2 30 -1 10 0 10/ 1 10/ 2 10/
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma divisão do valor da função por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma função exponencial (e consequentemente o valor da base, neste caso igual a 1/3). Para determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 10/3. Então a função
exponencial é escrita como sendo.
Função de decaimento exponencial (pois a base b = 1/3 é menor que 1)
2. Transforme as funções exponenciais dadas para a forma de exponencial envolvendo a base “e”.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Resolução:
Para fazer a transformação das funções exponenciais na forma
para a base “e”, na forma é
necessário calcular o valor de “k” como sendo o logaritmo neperiano do valor “b” da base original.
g) Na equação exponencial tem-se b = 10 e logaritmo neperiano é ln (10) = 2,302 585 092 994 .... e considerando 6 casas decimais, tem-se ln (10) = 2,302 585 que é utilizado na equação resultando:
Acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Ricardo sobre funções exponenciais!
Aplicações das funções exponenciais
As funções exponenciais têm diversas aplicações em problemas reais. Além dos juros compostos, as funções exponenciais são muito comuns em problemas relacionados ao crescimento populacional, ao comportamento das frequências das notas musicais relativas à escala ocidental, problemas envolvendo oferta e demanda, depreciação, meia- vida de uma substância, entre outros.
Em relação a problemas sobre meia-vida de uma substância, a decomposição ou desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. A chamada meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que essa substância reduza a sua massa pela metade. Para exemplificarmos, vamos considerar um medicamento de 25 mg que, a cada hora, tem a seguinte concentração:
f(0) = 25 f(1) = 12, f(2) = 6, f(3) = 3, f(4) = 1, f(5) = 0,
Observe que a meia-vida segue um comportamento exponencial descrito pela expressão
f(x) = a.bx. Logo: f(x) = 25(1/2)x.
O valor de a é 25, pois é o valor da função quando x é igual a zero. A base b é igual a ½, pois a cada hora a concentração do medicamento é reduzida pela metade. Graficamente, temos:
A função é decrescente, pois b = ½, valor que está entre 0 e 1.
Uma outra aplicação das funções exponenciais consiste no estudo do crescimento da população de uma determinada localidade. Como exemplo, vamos considerar o crescimento populacional do México. A tabela abaixo apresenta a população do México, em milhões de habitantes, de 1980 a 1986.
Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 População (em milhões) 67,38^ 69,13^ 70,93^ 72,77^ 74,66^ 76,60^ 78,
A frequência das notas musicais também é um caso onde há um crescimento exponencial. A frequência de uma certa nota musical corresponde a 1,0594 vezes a frequência da nota musical anterior. Na tabela abaixo estamos considerando as frequências das notas musicais a partir de uma nota lá cuja frequência é igual a 220 Hz. A sigla Hz é utilizada internacionalmente para indicar o número de oscilações a cada segundo. O ouvido humano consegue ouvir frequências que variam de 20 Hz a 20.000 Hz. Quanto maior a frequência, mais agudo é o som.
lá 220 Hz lá# 233,0819 Hz si 246,9417 Hz dó 261,6256 Hz dó# 277,1826 Hz ré 293,6648 Hz ré# 311,127 Hz mi 329,6276 Hz fá 349,2282 Hz fá# 369,9944 Hz sol 391,9954 Hz sol# 415,3047 Hz lá 440 Hz
Se dividirmos a frequência de uma nota musical pela frequência da nota anterior, podemos verificar que essa razão é sempre igual a 1,0594, um aproximação com quatro casas decimais para a razão 1,059463094... A função exponencial que relaciona a frequência das notas musicais é
f(x) = 220(1,0594)x, x = 0, 1, 2,...
O gráfico é:
Frequências de Notas Musicais
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Uma outra aplicação está relacionada à Biologia. O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias nesse meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será igual a quanto?
Para esse problema, os dados são:
a = 8 b = 2 x = 10 Logo,
8 x 1024
10
f x
f x
f x
f x
f x ab x
x
Portanto, o número de bactérias nesse meio, após 10 horas, é igual a 8.192.
Este valor deve ser arredondado pois a quantidade de pessoas é um valor inteiro resultando 358 805 pessoas. Para o ano de 2018 utiliza- se o valor 3 para a variável t, resultando que deve ser arredondado para 363 290 habitantes. Ano População 2016 354 375 2017 358 805 2018 363 290 b) População atual de 128.357 habitantes com taxa de crescimento
de 1,45 % a.a.. Tem-se = 128.357 , e que
substituindo na fórmula resulta
.
Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em
, que
arredondado resulta 130 218. O valor 2 para o ano de 2017 resultando
com
arredondamento para 132.106 habitantes. Para o ano de 2018 utiliza- se o valor 3 para a variável t, resultando
que deve ser
arredondado para 134.022 habitantes.
Ano População 2016 130 218 2017 132 106 2018 134 022
c) População atual de 1.453.324 habitantes com taxa de
crescimento de 0,7 % a.a. Tem-se = 1.453.324 , e
que substituindo na fórmula
resulta :
.
Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em
, que arredondado
resulta 1 463 497. O valor 2 para o ano de 2017 resultando
com
arredondamento para 1 473 742. Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 3 para a variável t, resultando
arredondado p/
1 484 055 habitantes.
ano População 2016 1 463 497 2017 1 473 742 2018 1 484 055
d) População atual de 52.350 habitantes com taxa de crescimento
de -0,8 % a.a. Tem-se = 52.350 , e que
substituindo na fórmula resulta
. Para as
previsões para os próximos 3 anos resulta em
, que arredondado resulta
2. Escreva as funções exponenciais que satisfazem as condições dadas:
a) Valor inicial = 10, crescente, com taxa de 15% a.a. b) Valor inicial = 55, crescente, com taxa de 2,5% a.m. c) Valor inicial = 23 437, decrescente, com taxa de 1,4% a.a. d) Valor inicial = 250 mg, decrescente, com taxa de 10% a hora. e) Valor inicial de massa de 2,4 g, dobrando o valor a cada 5 dias. f) Valor inicial de massa de 35 g, reduzindo a metade a cada 3 dias g) Valor inicial de massa de 50 g, reduzindo a metade a cada 10 dias.
Resolução: Algumas informações importantes: O valor inicial sempre aparecerá na expressão de definição da função como a constante multiplicativa. Se for um processo crescente, deve-se usar o sinal positivo após o 1 da fórmula, em caso de processo decrescente usar sinal negativo. A taxa é sempre escrita na forma decimal, e não usando percentuais. Dobrar o valor significa aumento de 100% ou 100/100 = 1
Períodos diferentes de 1 ano, 1 mês, 1 dia ou 1 hora, irão modificar o expoente que será sempre dividido pela quantidade não unitária.
a) a.a.
b) a.m.
c) a.a.
d) a.h.
e) em dias
f) em dias
g) em dias.
No vídeo disponível no material on-line , o professor Ricardo nos apresenta algumas aplicações das funções exponenciais.
O número “e”
Vamos agora falar sobre um importante número descoberto pelo matemático suíço Leonard Euler. Esse número, chamado de número de Euler, é representado pela letra “e” e vale, aproximadamente, 2,718281828459045... Usualmente fazemos e=2,72.
Vamos assistir ao seguinte vídeo sobre o número e:
https://www.youtube.com/watch?v=_z9Jpw9FtLk&index=73&list=PLf4as ln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc
Para encontrarmos o valor de e, utilizamos a expressão
n n
^1 1.
Quanto maior for o valor de n, mais próximo de 2,718281828459045...
está o valor de
n n
^1 1.
A tabela a seguir apresenta alguns desses valores.
n 1 2 5 10 100 1000 10000 010000 n n
2 2,25 3 2,488 7 2,593 8 2,704 9 2,716 1 2,718 3 2,
