FUNDAÇÃO ESCOLA TÉCNICA LIBERATO SALZANO VIEIRA DA CUNHA
A Matemática da Eletrônica
Material de Auxílio ao Estudante de
Eletrônica
Gabriel Borges Fernandes
Samuel Armbrust Freitas
Yan Prates Pimentel
4514324 - 7
Novo Hamburgo, 2012
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Material didático, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
Material didático para auxilio ao estudante de Eletrônica
Tipologia: Notas de estudo
2013
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FUNDAÇÃO ESCOLA TÉCNICA LIBERATO SALZANO VIEIRA DA CUNHA
A Matemática da Eletrônica
Material de Auxílio ao Estudante de
Eletrônica
Gabriel Borges Fernandes
Samuel Armbrust Freitas
Yan Prates Pimentel
Novo Hamburgo, 2012
O Processo de conhecer envolve um imaterial transformar-se, uma identificação imaterial, e, por fim, o conhecimento é ele próprio uma variável dependente da imaterialidade.
James Bryant Conant
1. ELETRÔNICA DIGITAL
A matemática euclidiana tem como um dos princípios a infinidade, tanto positiva como negativa, englobando tudo o que há entre esses dois extremos. Essa é a matemática linear, contrapondo-se com esse modelo temos a matemática discreta. Scheinerman (2003) fala que um exemplo de diferenciação seria a comparação de dois relógios: um analógico e um digital. No analógico quando um ponteiro salta de um segundo para o próximo ele não está referenciando somente aqueles dois valores de segundos, ele passa por todos os infinitos números decimais entre os dois segundos. Já o relógio digital não, ele salta de um segundo para o próximo somente alternando suas luzes.Para o digital não existe nada entre aqueles dois segundos. Assim como o sistema de números reais desempenha papel central na matemática contínua, os inteirossão o instrumento principal da matemática discreta. A matemática discreta oferece excelentes modelos e ferramentas para analisar fenômenos do mundo real que podem modificar-se abruptamente e que estãodefinidamente em um estado ou em outro. A matemática discreta é o instrumento de escolha em uma diversidade de aplicações, dos computadores ao planejamento de chamadas telefônicas, e das atribuições de pessoal à genética.” SCHEINERMAN, Edward R., Mathematics: a discreteintroduction. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: (Thomson Learning Edições, 2003, p.30).
Scheinerman (2003) diz que em matemática linear temos a álgebra, com operações como
. Na matemática discreta temos a álgebra booleana, que se projeta longe da álgebra
ordinária.Ela trata não com números, mas com afirmações. Na álgebra normal as variáveis podem ter infinitos valores, enquanto na álgebra booleana as variáveis só contêm dois valores possíveis: verdadeiro e falso. Para compreender melhor a álgebra booleana basta olhar para ela com conjunções. Por exemplo: “João e Maria nasceram no mesmo ano”.O uso da conjunção aditiva “e” remete que tanto João como Maria nasceram no mesmo ano. Se os dois nasceram no mesmo ano essa frase adquire um valor verdadeiro, não só João, ou só Maria, se não essa sentença seria falsa, e não verdadeira. Outro exemplo seria: “Ele me ligará agora ou daqui a três horas”.O uso da conjunção alternativa “ou” remete que o interlocutor pode receber a ligação tanto agora quanto daqui a três horas.Se ele receber a ligação agora ele não precisará receber outra ligação daqui a três horas, mas se ele não recebê-la agora ele pode recebê-la daqui a três horas. Agora, se ele não receber ligação alguma essa sentença torna-se falsa, mas com qualquer uma das hipóteses tornando-se real, a sentença vira verdadeira.
Linguisticamente não é comum uma frase contendo “ou” ser verdadeira pelos dois lados da conjunção, porém na matemática discreta isso é possível e comum (SCHEINERMAN, 2003). Caso isso aconteça, a resposta continua sendo verdadeira. Um exemplo pode ser visto em: “Antônio ou Leonardo pode resolver este problema para você”. Só um dos dois é requisitado para o serviço, porém eles podem ir em dupla resolver o problema, mesmo que seja desnecessário a presença de duas pessoas. Por outro lado temos o exemplo: “Venda sua casa ou more nela”. O interlocutor pode vender sua casa, dando um valor verdadeiro para a afirmação. Se ela for vendida, ele não poderá viver nela, obrigando a segunda operação a ser falsa. Quando um dos fatores for realizado a frase terá valor verdadeiro e não poderá ter seus dois requisitos completos. Isso nunca ocorre em lógica booleana. Um último tópico seria o uso da conjunção adversativa “não”, como na frase: “Não usarei a roupa branca”. Essa frase adquira valor verdadeiro se o sujeito não usarroupa branca e falso se o sujeito vestir uma roupa branca. Esses são as conjunções que determinam a falsidade ou veracidade da frase.Determinando se ela foi verdadeira ou falsa. Esses conceitos foram utilizados pelo matemático Boole para a atribuição de operações aritméticas para resolução de problemas. George Boole viveu de 1815 até 1864. Em 1854 ele publicou um livro chamado An Investigation of the Laws of Thought (Uma Investigação das Leis do Pensamento), e nesse livro ele cria a álgebra booleana (IDOETA E CAPUANO, 1998). Idoeta e Capuano (1998) falam que no início da era eletrônica, ainda na chamada “eletrônica a vácuo”, todos os problemas eram resolvidos utilizando-se sistemas analógicos, com sistemas lineares. Foi somente em 1938 que o engenheiro americano Claude Elwood Shannon resolveu problemas de circuitos telefônicos usando relés aplicando a álgebra booleana. Ele lançou um livro chamado Symbolic Analysis of Relay and Switching (Análise simbólica de relés e chaveamento), criando o campo de eletrônica digital. Com um pequeno conhecimento de Eletrônica Digital, podemos ver as operações booleanas aplicadas no exemplo de Idoeta e Capuano (1998):
Figura 1 – Representação em circuito da porta lógica AND.
Tabela 1.1. - Representação padrão. Tabela 1.2. – Representação em cascata.
Ao compararmos as tabelas 1.1 e 1.2, podemos ver claramente a utilização dos algarismos ao invés das afirmações. A tabela 1.1, de Idoeta e Capuano (pg.43 1998), utiliza-se dos algarismos, enquanto a tabela 1.2, de Scheinerman (p. 13 2003), utiliza-se das expressões verdadeiro e falso , tornando linguisticamente lógico a expressão “verdadeiro e verdadeiro”, contrapondo-se ao “um e um”. Na primeira comparação da equação booleana com a linear vimos que podemos utilizar a mesma equação para as duas matemáticas. Podemos unificar as duas concepções de equações limitando os valores das equações lineares. Como na booleana temos verdadeiro e falso podemos limitar a linear para “1” e “0”, respectivamente. Usemos a mesma equação exemplo anterior:
Se atribuirmos os valores “1” para x e “0” para z , temos a resposta de y sendo zero. Não por coincidência, quando escolhemos verdadeiro e falso a resposta foi falso. Assim sendo, podemos sim ver verdadeiro como “1” e falso como “0”. Idoeta e Capuano (1998) falam que soa estranho o fato que 1 + 1 = 1, mas temos que admitir isso. Quando relacionamos operações booleanas com matemática linear, temos que podar alguns pedaços da matemática linear para que haja sentido. Normalmente 1 + 1 = 2, porém não existe espaço para “2” em lógica booleana, então 1 + 1 = 1. Temos que lembrar-nos que são ideias relacionadas, não números. Em matemática linear temos a operação de inversão dos números, mas aqui essa inversão de valores é a troca de verdadeiro para falso ou falso para verdadeiro. Usualmente usado com um traço em cima da variável que será invertida. Normalmente em sentenças não temos somente um articulador ou, e e não, temos todos combinados para formar uma frase. Para os próximos parágrafos tomemos como exemplo a frase: “Limpe o quarto ou a sala, ou então varra a cozinha e não embaixo da geladeira”.
Podemos ter o exemplo em álgebra booleana. Relacionando “limpar o quarto” com a variável x , “limpar a sala” com a variável z , “varrer a cozinha” com a e “não varrer embaixo da geladeira” com b. Resultando na equação:
( ) ( )
Digamos que o sujeito limpou a sala, mas não seu quarto e varreu a cozinha e não varreu embaixo da geladeira, teremos as seguintes variáveis com seus valores definidos: x = verdadeiro ; z = falso ; a = verdadeiro ; b = falso ; Substituindo as variáveis por seus valores podemos resolver a equação:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Podemos contrapor essa equação com uma linear, limitando-a em “0” e “1” e utilizando-se de uma barra para a inversão de um valor:
( ) (^) ( ̅ )
Utilizando os mesmos valores adquiridos pelas variáveis anteriormente, teremos de convertê- la em algarismos binários:
x = 1; z = 0; a = 1; b = 0; Repetindo o procedimento acima, teremos: ( ) ( ̅ ) ( ) ( ) ( )
Tabela 3. – Formas de manipulação porta lógica AND.
Neste caso vemos que há uma relação com a operação erelacionando a veracidade da digital e da íris. Neste caso o símbolo da Porta Lógica seria (IDOETA E CAPUANO, 1998):
Figura 4. - Representação Digital de uma porta lógica AND.
De novo aqui podemos ter um sinal elétrico equivalente ao valor lógico que será comparado pelo circuito e dado uma resposta para a porta. O último caso é o da operação não, que, ao contrário das outras duas é aplicada somente em uma variável. Podemos compará-la com um cachorro e um gato, eles nunca ficam no mesmo ambiente, se o gato está dentro de casa o cachorro estará fora, se o cachorro estiver dentro de casa o gato estará fora.
Tabela 4. – Formas de manipulação de uma porta lógica NOT.
Aqui a porta lógica utilizada fica em uma linha só. Com uma entrada e uma saída, essa é a porta lógica de negação (IDOETA E CAPUANO,1998):
Verdadeira Verdadeira Sim Falsa Verdadeira Não Verdadeira Falsa Não Falsa Falsa Não
Cachorro está em casa Gato está em casa Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro
Figura 5. – Representação Digital de uma porta lógica NOT.
Novamente o circuito será utilizado com sinais elétricos e depois convertido com portas lógicas. Anteriormente utilizamos a frase “Limpe o quarto ou a sala, ou então varra a cozinha e não em baixo da geladeira” para relacionarmos com lógica booleana e vimos que ela tem a forma de equação de:
( ) ( )
Então, podemos fazer uma tabela que relacione as veracidades e um circuito de portas lógicas que aplicará a equação.
X Z A B Saída Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Falso Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro
Curiosidade
Se criarmos uma frase “essa sentença é falsa” ela irá adquirirá o valor verdadeiro se a sentença tiver o valor falso. Isso é impossível de se conceber, tornando um paradoxo.
Exercícios:
Identifique e relacione, até esse ponto do capítulo, todas as expressões “ou”, “e” e “não”.
Resolva as seguintes equações dado que:
a = verdadeiro ; b = verdadeiro ; c = falso. a) (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ ) b) (^ )^ (^ )^ (^ )^ ( ) c) (^ )^ ( ) (^ ) d) (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )
- Desenhe, para cada uma das equações acima, o seu circuito equivalente em portas lógicas.
2. ELETRÔNICA FUNDAMENTAL
2.1. UNIDADES DE MEDIDA
Visto que não há necessidade de um estudo completo das unidades de medida, devido ao conhecimento de que esse assunto é o primeiro estudado na Fundação Escola Técnica Liberato Salzano Vieira da Cunha, sendo matéria integrante e essencial para todos os cursos e seus respectivos fins. Sendo assim, as unidades de medida abordadas neste material, serão apenas as aplicadas diretamente à eletrônica, expostas de forma básica sem demais aprofundamentos. Além das potências de base 10, é importante a mostra das unidades de medida do S.I relativas às constantes mais utilizadas neste estudo. Essas constantes estão dispostas na tabela a seguir:
Tabela 6. – Unidades sistema S.I
Grandeza Física Unidade Símbolo Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Corrente elétrica Ampère A Temperatura termodinâmica Kelvin^ K Quantidade de matéria Mole mol Intensidade luminosa Candela cd
Grandeza Física Unidade S.I. Símbolo
Outras Unidades S.I.
Expressão em unidades básicas do SI Potência Watt Hz - - Carga elétrica Coulomb C - Potencial elétrico Volt V
Resistência elétrica Ohm Ω
Figura 7. – Exemplodo gráfico de uma função constante.
Este comportamento pode ser expresso pela função, derivada da lei ohm:
( )
De onde, sendo U constante e R um resistor fixo, a corrente também será constante. Essa função é denominada função constante , pois não possui o coeficiente linear (“a”) da função f(x) = ax + b.
2.2.2. Resistores Variáveis :
Para Gussow (1997) a concepção de resistores variáveis é definida como os componentes que são usados para variar a quantidade de resistência em um circuito. Podem ser chamados de potenciômetros ou reostatos. Os potenciômetros apresentam normalmente a composição de um elemento resistivo composto por carbono, enquanto os reostatos apresentam este elemento resistivo composto por fio enrolado, porém, em ambos os casos o contato direto que é feito com esse material se dá por um braço deslizante que indica o valor da resistência acionada no contato deste braço. Dentre esses resistores variáveis, ainda existem os resistores que variam seu comportamento de acordo com as condições do ambiente: LDR (Light Dependent Resistors) , NTC (Negative Temperature Coefficient) e PTC (Positive Temperature Coefficient). Esses resistores são de grande
utilidade na eletrônica moderna, pois são feitos especialmente para determinadas situações. O LDR, por exemplo, é resistor não linear que varia em função da luz incidente.O dispositivo apresentando resistência em seus terminais em função da intensidade de luz incidente.
Figura 8. – Resistor Dependente da Luz (LDR).
Seu comportamento pode ser percebido pelo gráfico a seguir, regido por uma função inicialmente considerada , onde se possui L = Luminosidade medida em Lux, L e a como constantes do material de acordo. De acordo com o seu comportamento não linear, a obtenção de um gráfico só é possível por meio de práticas, pois não possui uma equação padrão, porém é sabido que seu comportamento é exponencial, o qual pode ser percebido no gráfico a seguir:
Figura 9. – Gráfico do comportamento do LDR.
Como pode ser percebido, seu comportamento exponencial, assemelha-se muito com um comportamento de uma função de grau 2 ( função exponencial ) com coeficiente angular (“a”) menor que 1(um):
2.3. CONDUTÂNCIA
Sendo R uma constante de proporcionalidade chamada resistência, a constante G = R-1^ é chamada de condutância. Quando U é dado em volts e I em ampères, temos R em Ω e G em Ω-1:
Ao passo que resistência é a oposição à passagem de corrente, a condutância é a capacidade de condução que um material possui. É a capacidade de permitir que elétrons percorram seu espaço físico, sendo representada por uma função inversa. As funções inversas são definidas aquelas que possuem o conjunto imagem de da primeira, igual ao conjunto domínio da segunda, possuindo a recíproca verdadeira. Porém, para Dante (2005), função inversa possui uma definição diferente. Sua explicação é demasiada expositiva, abrangendo conteúdos não explorados no ensino fundamental. Finalizando o estudo de resistores, dois casos particulares importantes, são os que Waters (1981) classifica como sendo os correspondentes aos valores zero e infinito da resistência, representados, respectivamente, pelas palavras curto-circuito e circuito aberto. O primeiro se caracteriza por apresentar uma tensão nula e o segundo pela corrente nula.
2.4. LEI DE OHM
Antes de tudo é necessário esclarecer a definição da equação da lei de ohm, e para essa definição deve-se possuir um conhecimento prévio de funções. As funções são classificadas por seu termo de maior grau, o termo de maior grau, é o valor que possui o maior expoente, o qual pode ser qualquer numero real, incluindo o 0 (zero). No estudo de eletrônica básica a primeira função estudada é a função de primeiro grau (expoente 1) e será abordada de duas formas distintas por dois matemáticos diferentes. De acordo com Dante (2005), as funções de primeiro grau são classificadas pela presença ou ausência de termos constituintes de sua forma original. Uma função de primeiro grau completa, possui os termos A e B, coeficiente linear e um coeficiente angular, respectivamente. Essa função completa é chamada Função Afim, representada por: ( )
Na ausência do coeficiente linear, a função é classificada como Função Constante, podendo ser representada por:
( )
Já no caso de não possuir apenas o coeficiente linear, a função é classificada como Função linear. Essa função pode ser representada por:
( )
Por último, na ausência do coeficiente angular, e com o coeficiente linear possuindo valor igual a 1, a função é denominada Função Identidade, e é expressa por:
( )
Nesse exemplo podemos ver que para todos os valores de x, a função terá o mesmo valor, e consequentemente, a equivalente de cada valor no eixo vertical será igual a x. Em um momento diferente buscou-se uma abordagem diferente do assunto. Na álgebra a função da linearidade comporta a aditividade e homogeneidade e é representada por ( ) , onde x é uma constante real. Fazendo-se x igual a α, obtêm-se: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Com isso, para qualquer valor de α e β, demonstra-se a aditividade da função linear. Multiplicando uma constante ao valor de x, nota-se que ao multiplicarmos a variável pela constante, o resultado é igual ao valor da imagem da função no ponto x, pela constante, demonstrando assim a homogeneidade da função linear. Dessa forma podemos relacionar a Lei de Ohm à função Linear.