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SUMÁRIO
- 1 – INTRODUÇÃO ..............................................................................................
- 1.1 – História ....................................................................................................
- 1.2 – Conceito e exemplos .............................................................................
- 2 – DESENVOLVIMENTO .................................................................................... - 2.1 – Tipos........................................................................................................ - 2.1.1 – Injetora........................................................................................... - 2.1.2 – Sobrejetora..................................................................................... - 2.1.3 – Bijetora........................................................................................... - 2.2 – Domínio................................................................................................... - 2.3 – Contradomínio........................................................................................ - 2.4 – Imagem.................................................................................................... - 2.5 – Gráficos.................................................................................................. - 2.6 – Operações com funções...................................................................... - 2.7 – Tipos especiais (Explicação, exemplo, gráfico)................................ - 2.7.1 – Constante..................................................................................... - 2.7.2 – 1º grau........................................................................................... - 2.7.3 – Módulo.......................................................................................... - 2.7.4 – Quadrática (2º grau).................................................................... - 2.7.5 – Pares e impares........................................................................... - 2.7.6 – Periódicas..................................................................................... - 2.7.7 – Inversa.......................................................................................... - 2.7.8 – Exponencial.................................................................................. - 2.7.9 – Trigonométrica.............................................................................
- 3 – CONCLUSÃO
- 4 – REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
1- INTRODUÇÃO
1.1- HISTÓRIA
Em 1694 foi introduzido o termo “função” por Leibniz, designando qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. A palavra função foi posteriormente usada por Leonhard Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e: y = F( x ). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de dizer que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Durante o Século XIX, iniciou-se a formalização todos os diferentes ramos da matemática. Por exemplo, a Teoria dos conjuntos, Dirichlet criou a definição "formal" de função moderna, sendo caso especial de uma relação, cuja é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. 1.2- CONCEITO E EXEMPLOS Função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y = f ( x ). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f. Função é uma associação a cada valor do argumento x a um único valor da função f ( x ). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída. Alguns exemplos:
2 - DESENVOLVIMENTO
2.1 - TIPOS
2.1.1 – INJETORA
Função injetora ou injetiva são funções onde a imagem (DESTINO) vai possuir apenas um domínio (ORIGEM), isto é elementos distintos de X terão valores distintos correspondentes em Y. Considerando a função X (a 1 ≠ a 2 ) no domínio corresponderão na imagem Y valores distintos (b 1 ≠ b 2 ). Exemplos:
Gráficos:
2.1.2 - SOBREJETORA
Função sobrejetora ou sobrejetiva é determinada quando o seu conjunto imagem é igual ao conjunto destino. Ou seja para todo y є B, existe pelo menos um x є A. Tal que f ( x ) = y. Exemplos:
. Gráficos:
problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado. Ex: Função x^2 , definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada). Há 3 conjuntos especiais associados a função. Domínio é o conjunto de todos os elementos x para a definição da função. Contradomínio é o conjunto dos elementos contidos, cujos se relacionam a elementos do domínio. Imagem é um subconjunto de contradomínio. A função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação. A função é diferente da função . De acordo com a teoria dos conjuntos, uma função deve ser definida rigorosamente por três dados (conjuntos):
conjunto G de pares ordenados, chamado de gráfico da função conjunto X chamado de domínio conjunto Y chamado de contradomínio , contra-domínio ou codomínio Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas.
- f:R R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,)
- f:[0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]
- A função modular é definida por f:R R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:
- Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R R, definida por Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por: GRÁFICOS Função pode ser considerada um conjunto de pares ordenados (x; y), criados de acordo com determinado critério; plotados em um sistema de coordenadas cartesianas. Os pares ordenados assim criados produzem o que se chama de gráfico da função. O conjunto dos valores x é chamado domínio da função, e o conjunto dos y é chamado imagem da função. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Em funções também existe a possibilidade de serem realizadas as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão) gerando uma nova função. Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais: (f+g)(x) = f(x)+g(x) (f-g)(x) = f(x)-g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x)
Função constante é dita quando todos os seus elementos de origem (Domínio) possuem um mesmo Destino (Imagem). É do tipo f(x) = k , onde k não depende de x. EXEMPLOS: a) f(x) = 5 b) f(x) = - GRÁFICOS: FUNÇÃO DO 1º GRAU Função do 1° grau também conhecida como função afim é toda função que possui um número de Domínio pertencente ao conjunto dos números reais possui um correspondente também real. Definida pela fórmula f(X): ax + b com a ≠0, sendo a e b reais. EXEMPLO: f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1 f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = - f(x) = x ; a = 1 e b = 0
GRÁFICO:
x y=f(x)=x+ -2 - -1 0 0 1 1 2 2 3 Através do gráfico identifica-se se uma função é crescente ou decrescente. Gráficos: crescente e decrescente respectivamente: y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 y = -x+ ( a<0 ); onde a=- Função crescente Função decrescente FUNÇÃO MODULAR Para entender função modular é preciso lembrar o que é modulo: o módulo de um número real como |x| é o valor absoluto de x. Ou seja, o todo número negativo fica positivo e todo número positivo mantém o seu sinal. Sendo assim é aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|. Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:
,se 0
,se 0
x x
x x
f x
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chama-se função quadrática a função Real que associa, a cada número real X, o número real aX² + bX + C, onde a, b e c são reais e a≠0. Exemplos:
- f(X)= 2x² + 5x + 6, onde a= 2, b= 5 e c= 6
- f(X)= – x² + x – 1, onde a= – 1, b= 1 e c= – 1
- f(X)= ⅔x² + √5 , onde a=⅔, b=0 e c=√ Gráfico: f(x)=-x^2 +2x- O sinal da função determinará para onde a sua concavidade será voltada e qual o eixo ele vai cortar. Analisando os valores de Δ (Delta resultante da fórmula de bháskara) e de a. FUNÇÃO PARES E ÍMPARES Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. x -1 0 1 2 3 f(x) -6 -3 -2 -3 -
Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x). Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=- 5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem. FUNÇÃO PERIÓDICA Muitas situações ou fenômenos à nossa volta são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Por exemplo, todos ou dias acontece o nascer do sol e o pôr-do- sol. A cada 28 dias a Lua estará da mesma
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Função exponencial é uma função na qual a variável (incógnita) se encontra no expoente. A função exponencial pode ser escrita de forma geral, veja como: f : R → R+ tal que f(x) = ax, sendo que a R+ e a ≠ 1. Veja alguns exemplos de (^) funções exponenciais: f(x) = 3x, função exponencial de base 3 e expoente x (variável). f(y) = 3 y, função exponencial de base 3 e expoente y (variável). 5 f(x) = 0,5x, função exponencial de base 0,5 e expoente x (variável). f(x) = √5x, função exponencial de base √5 e expoente x (variável). Gráfico de função exponencial Dada a função f(x) = ax, veja como ficarão os gráficos dependendo do valor de a (base).
Função exponencial crescente onde a>1 Função exponencial decrescente onde a< Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são características para qualquer gráfico de função exponencial. O gráfico (curva) nunca irá interceptar o eixo x, pois a função exponencial não possui raiz. O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". A trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc. Função seno Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R® R, f(x) = sen x O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja: Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1].
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva) f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa) Função secante Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde kÎ Z. Sinal da função Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno. Função cossecante Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z. Sinal da função Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno. Função cotangente Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z. Sinal da função
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno. Exemplo gráfico A função seno Observe que esse gráfico é razoável. Pois: Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1. Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0. Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1. Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.
