conjuntos e teoria e suas operações, Notas de aula de Matemática Elementar

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Teoria dos Conjuntos

18 de Junho de 2017

• 1 Introdu¸c˜ao
• 2 L´ogica de primeira ordem
  • 2.1 O alfabeto
  • 2.2 F´ormulas
  • 2.3 Unicidade de representa¸c˜ao
  • 2.4 Omiss˜ao de parˆenteses
  • 2.5 Vari´aveis livres
  • 2.6 Abreviaturas
  • 2.7 S´ımbolos relacionais e funcionais
  • 2.8 Notas sobre a semˆantica
• 3 Primeiros axiomas
  • 3.1 Axioma da extens˜ao
  • 3.2 Axioma do vazio
  • 3.3 Axioma do par
  • 3.4 Axioma da uni˜ao
  • 3.5 Axioma das partes
  • 3.6 Axioma da separa¸c˜ao
  • 3.7 Axioma da regularidade
  • 3.8 Axioma da infinidade
• 4 Produto cartesiano, rela¸c˜oes e fun¸c˜oes
  • 4.1 Pares ordenados
  • 4.2 Produto cartesiano
  • 4.3 Rela¸c˜oes
  • 4.4 Fun¸c˜oes
  • 4.5 Rela¸c˜oes de ordem
  • 4.6 Rela¸c˜ao de equivalˆencia
  • 4.7 Teorema da recurs˜ao
  • 4.8 Aritm´etica dos n´umeros naturais
• 5 Axioma da escolha e suas aplica¸c˜oes
  • 5.1 Axioma da escolha
  • 5.2 Lema de Zorn
  • 5.3 Princ´ıpio da Boa Ordem
  • 5.4 Comparabilidade de conjuntos por fun¸c˜oes injetoras 4 CONTE UDO´
• 6 Conjuntos equipotentes
  • 6.1 O Teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein
  • 6.2 Conjuntos finitos
  • 6.3 Conjuntos enumer´aveis
  • 6.4 Compara¸c˜ao entre conjuntos infinitos
  • 6.5 Conjuntos n˜ao-enumer´aveis: Teorema de Cantor
• 7 Ordinais
  • 7.1 Axioma da Substitui¸c˜ao
  • 7.2 Teorema da Recurs˜ao Transfinita
  • 7.3 Ordinais
  • 7.4 Aritm´etica dos ordinais
• 8 Cardinais
  • 8.1 Cardinais
  • 8.2 Usando os ordinais para enumerar os cardinais
  • 8.3 Aritm´etica cardinal
• Bibliografia

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

O infinito sempre assombrou os matem´aticos e fil´osofos, estando relacionada aos mai- ores paradoxos e crises nos fundamentos da matem´atica, como ´e o caso dos famosos paradoxos de Zeno, de El´eia, que se baseiam em interpreta¸c˜oes tortuosas do conceito de infinitude para “provar” a n˜ao existˆencia de movimento. No desenvolvimento da teoria dos conjuntos, o conceito de infinito desepenha um papel fundamental, sendo respons´avel por uma das maiores crises filos´oficas na hist´oria da matem´atica. Como efeito dessa “crise”, tivemos pressupostos ma- tem´aticos e filos´oficos sendo destru´ıdos, novos questionamentos surgindo, divergˆencias na pr´opria concep¸c˜ao de verdade matem´atica, novas propostas de formaliza¸c˜ao da dis- ciplina. Enfim, como aconteceu com as grandezas incomensur´aveis e a hist´oria do quinto postulado de Euclides (esses dois tamb´em est˜ao diretamente relacionados ao conceito de infinitude) os paradoxos da teoria dos conjuntos contribu´ıram enorme- mente para o enriquecimento do pensamento matem´atico. Vamos refletir um pouco sobre o conceito de conjuntos. Podemos pensar em conjunto como um agrupamento de objetos que compartilham uma propriedade co- mum 1. Assim, podemos pensar na palavra p´assaro como um conjunto de animais que possuem certas caracter´ısticas, como o corpo coberto de penas e reprodu¸c˜ao ov´ıpora. Cada descri¸c˜ao de objetos, animais ou pessoas nos fornece um conjunto. Por exemplo: o conjunto dos p´assaros que voam, ou o conjunto dos alunos da USP. Podemos considerar a no¸c˜ao de conjuntos como um dos primeiros conceitos abs- tratos da mente humana. Um p´assaro ´e um ser vivo que existe independente do pen- samento humano (se deixarmos um pouco de lado excesso de divaga¸c˜oes filos´oficas). Mas a no¸c˜ao de p´assaro – o conjunto de todos os p´assaros do mundo – ´e uma no¸c˜ao abstrata, criada pelo nosso racioc´ınio. O surgimento dos n´umeros naturais – uma das cria¸c˜oes mais ´uteis do pensamento humano e um dos alicerces da matem´atica – pode ser visto como consequˆencia da no¸c˜ao de conjuntos. Dizem alguns historiadores que, h´a muitos s´eculos atr´as, antes de existir a contagem, os pastores usavam um saquinho de pedras para n˜ao perderem

(^1) Isso est´a longe de ser uma defini¸c˜ao. Seria dif´ıcil definir conjunto sem usar algum termo como agrupamento, cole¸c˜ao, ou outro que seja praticamente sinˆonimo de conjunto. Conjunto deve ser tratado como conceito primitivo, que n˜ao requer defini¸c˜ao. O prop´osito deste par´agrafo ´e discutir- mos um pouco a ideia intuitiva de um conceito que j´a conhecemos, antes de entrar na abordagem axiom´atica.

Se pararmos para pensar sobre esse processo de contagem, surgem algumas quest˜oes. Uma poss´ıvel pergunta ´e: ser´a que, no processo de contagem, chegaremos sempre ao mesmo n´umero, indepente da sequˆencia que seguimos? Ou seja, se a crian¸ca come¸car a contar pelo carrinho e depois ir para o boneco, ou fazer o contr´ario, chegar´a no mesmo resultado? Outra quest˜ao: ser´a que os n´umeros naturais s˜ao suficientes para contar a quantidade de elementos de qualquer conjunto? Ou seja, sempre haver´a um momento em que a contagem para em um determinado n´umero?

E justamente a´´ ı que os problemas da infinitude come¸cam. As respostas a essas perguntas s˜ao sim, e sim, mas apenas para os conjuntos finitos. Ali´as, essa pode ser justamente a defini¸c˜ao de conjunto finito: quando existe uma bije¸c˜ao entre ele e o conjunto dos n´umeros menores que um determinado n´umero.

Reparem na sutileza no desenvolvimento do conceito de conjuntos. A princ´ıpio, conjunto ´e um conceito abstrato, mas at´e agora citamos exemplos de conjuntos forma- dos por objetos concretos, como ovelhas, brinquedos e pessoas. Esse tipo de conjunto ´e sempre finito. As vezes, n˜` ao conseguimos contar por impossibilidade f´ısica. Quando dizemos, na linguagem natural, que a quantidade de areia na praia e a quantidade de estrelas no c´eu s˜ao inumer´aveis 3 , dizemos que ´e humanamente imposs´ıvel contar. Mas existe uma quantidade finita delas. Existe um n´umero natural que representa a quantidade de estrelas no c´eu, mesmo que nunca venhamos a saber qual ´e esse n´umero. At´e mesmo a quantidade de ´atomos no universo ´e finita, por mais que seja espantosamente grande.

Acontece que, a partir do momento que criamos conceitos abstratos – como con- juntos e n´umeros – podemos imaginar conjuntos n˜ao s´o de objetos concretos, mas tamb´em de objetos abstratos. Assim, uma vez que inventamos os n´umeros naturais, podemos pensar no conjunto dos n´umeros naturais. Como, para qualquer n´umero natural, sempre existe um maior, ent˜ao o conjunto dos n´umeros naturais ´e infinito.

O conjunto dos n´umeros naturais n˜ao ´e o ´unico conjunto infinito que existe. Temos o conjunto dos pontos de uma reta, o conjunto das retas em um plano, o conjunto das fra¸c˜oes, o conjunto dos n´umeros reais etc. Mas todos esses conjuntos s˜ao fomados por conceitos abstratos, e n˜ao por objetos concretos. N˜ao ´e `a toa, portanto, que a ideia de infinitude seja t˜ao dif´ıcil de assimilar e, por muitas vezes, traia a nossa intui¸c˜ao e senso comum.

Agora voltemos `a primeira quest˜ao: ser´a que a ordem que utilizamos para contar as coisas n˜ao afeta o resultado? Ora, ningu´em havia pensado nessa quest˜ao em conjuntos infinitos. Afinal, um conjunto infinito ´e infinito e pronto. N˜ao tem como contar os elementos de um conjunto infinito. Por´em, algumas mentes mais agu¸cadas ousaram aprofundar-se nas quest˜oes filos´oficas da infinitude. O cientista italiano Galileu Galilei (1564–1642) decidiu usar a no¸c˜ao de fun¸c˜oes bijetoras para comparar conjuntos infinitos, chegando em um resultado bem curioso. Ele considerou a fun¸c˜ao que associa, a cada n´umero natural, o seu dobro, conforme o diagrama seguinte:

(^3) N˜ao confundir com enumer´aveis, que ´e um conceito exclusivamente matem´atico, como ser´a visto

daqui a pouco.

8 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

Com isso, Galilei mostrou que o conjunto dos n´umeros naturais “tem o mesmo tamanho” que o conjyunto dos n´umeros pares. Na ´epoca, isso parecia contradizer o axioma de Euclides que dizia que “o todo ´e sempre maior que a parte”. O conjunto dos n´umeros pares ´e apenas uma parte do conjunto de todos os n´umeros naturais, e ainda assim ambos os conjuntos tˆem o mesmo tamanho, se utilizarmos essa no¸c˜ao de bije¸c˜oes. Notem que isso s´o acontece com conjuntos infinitos. Em um conjunto finito, se tirarmos um ´unico elemento j´a n˜ao conseguimos associar biunivocamente os elementos do conjunto reduzido com os do conjunto todo.

O hotel de Hilbert O matem´atico alem˜ao David Hilbert (1862–1943) deu um exemplo parecido. Se chegamos em um hotel e todos os quartos est˜ao ocupados, ent˜ao sabemos que n˜ao h´a vaga nesse hotel, a menos que uma fam´ılia saia. Agora imaginemos um hotel com infinitos quartos – um para cada n´umero natural – sendo que todos est˜ao ocupados. Chega uma nova fam´ılia querendo se hospedar e o dono n˜ao quer despejar nenhum h´ospede, mas tamb´em n˜ao quer recusar quarto para os rec´em-chegados. Como h´a infinitos quartos – mesmo que todos ocupados – ´e f´acil resolver o problema. Basta passar cada h´ospede para o quarto ao lado. Assim, quem est´a hospedado no quarto 0 vai para o quarto 1, e do quarto 1 para o 2, e assim por diante, sobrando o quarto 0 para os novos h´ospedes. O problema do dono do hotel parece se complicar quando chega um ˆonibus com uma infinidade de h´ospedes, um h´ospede para cada n´umero natural. Mas a solu¸c˜ao ainda ´e simples: ele passa cada h´ospede de um quarto para outro cujo n´umero ´e o dobro do primeiro. Sobra, assim, todos os n´umeros ´ımpares para colocar os novos h´ospedes. E se chegarem infinitos ˆonibus – cada ˆonibus marcado por um n´umero natural diferente – com infinitos passageiros cada um – cada passageiro tamb´em marcado por um n´umero – poder´a ainda o dono do hotel hospedar todo mundo? Sim. E poder´a fazˆe-lo de forma que n˜ao fique nenhum quarto vazio. Basta colocar o n-´esimo passageiro do m-´esimo ˆonibus no quarto 2n^ · (m + 1) (para simplificar, desta vez assumimos que o hotel est´a vazio – fica como exerc´ıcio verificar o que se faria se o hotel estivesse lotado).

O para´ıso de Cantor Aparentemente o paradoxo criado por Galilei n˜ao causou tanto impacto na matem´atica e na filosofia, nem foi devidamente explorado durante alguns s´eculos. Foi s´o no s´eculo XIX que o assunto foi trazido novamente a tona pelo matem´atico alem˜ao Georg Cantor (1845–1918). Dessa vez, o impacto transformou totalmente o rumo da matem´atica moderna e deu in´ıcioa teoria dos conjuntos, que ser´a estudada neste curso.

10 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

0 ←→ −x − 1 1 ←→ −x 2 ←→ −x + 1 3 ←→ x − 1 4 ←→ x 5 ←→ x + 1 6 ←→ − 2 x − 2 7 ←→ − 2 x − 1 8 ←→ − 2 x 9 ←→ − 2 x + 1 10 ←→ − 2 x + 2 11 ←→ −x − 2 12 ←→ −x + 2 13 ←→ x − 2 14 ←→ x + 2 15 ←→ 2 x − 2 16 ←→ 2 x − 1 17 ←→ 2 x 18 ←→ 2 x + 1 19 ←→ 2 x + 2 20 ←→ − 2 x^2 − 2 x − 2

... Agora, para “colocarmos em fila” os n´umeros alg´ebricos basta substituirmos cada polinˆomio pelas suas ra´ızes (em ordem crescente), suprimindo os que j´a foram listados. Fazendo assim obtemos:

0 ←→ − 1 (raiz do polinˆomio −x − 1) 1 ←→ 0 (raiz do polinˆomio −x) 2 ←→ 1 (raiz do polinˆomio −x + 1) 3 ←→ −^12 (raiz do polinˆomio − 2 x − 1) 4 ←→ 12 (raiz do polinˆomio − 2 x + 1) 5 ←→ − 2 (raiz do polinˆomio −x − 2) 6 ←→ − 2 (raiz do polinˆomio −x + 2) 7 ←→ 1 −

√ 3 2 (primeira raiz de^ −^2 x

(^2) − 2 x + 1) 8 ←→ 1+

√ 3 2 (segunda raiz de^ −^2 x

(^2) − 2 x + 1)

... Com isso Cantor mostrou que o conjunto dos n´umeros alg´ebricos “tem o mesmo tamanho” que o dos n´umeros naturais. Isso significa dizer que o conjunto dos n´umeros alg´ebricos ´e enumer´avel, ou seja, podemos enumerar todos seus elementos numa lista infinita, indexada com os n´umeros naturais. E f´´ acil intuir 4 que um subconjunto infinito de um conjunto enumer´avel ´e enu- mer´avel. Assim, os conjuntos dos n´umeros inteiros, racionais e alg´ebricos s˜ao todos enumer´aveis. (^4) A demonstra¸c˜ao rigorosa desse fato ´e mais trabalhosa, como veremos posteriormente.

A essa altura come¸camos a imaginar que todos os conjuntos s˜ao enumer´aveis. Talvez por isso o aparente paradoxo de Galilei n˜ao tenha impactado tanto os ma- tem´aticos. Infinito ´e infinito e parece natural que todos os conjuntos infinitos te- nham o mesmo tamanho. Parece que, se nos esfor¸carmos bem, como fizemos com os n´umeros alg´ebricos, conseguimos colocar qualquer conjunto infinito numa sequˆencia bem comportada. Por´em, Cantor surpreende a todos ao provar que o conjunto dos n´umeros reais n˜ao ´e enumer´avel. Vejamos a prova de Cantor da n˜ao-enumerabilidade dos n´umeros reais. Seja f uma fun¸c˜ao de N em R. Mostraremos que f n˜ao pode ser sobrejetora. Para cada n natural, consideremos an a parte inteira de f (n) e (anm)m∈N a sequˆencia dos algarismos ap´os a v´ırgula na representa¸c˜ao decimal 5 de f (n).

f (0) = a 0 , a 00 , a 01 , a 02 , a 03... f (1) = a 1 , a 10 , a 11 , a 12 , a 13... f (2) = a 2 , a 20 , a 21 , a 22 , a 23... f (3) = a 3 , a 30 , a 31 , a 32 , a 33...

...

Agora mostremos que existe um real r que n˜ao pertence a essa lista. Definimos r da seguinte forma: a parte inteira pode ser qualquer n´umero (0, por exemplo) e a n-´esima casa decimal de r ser´a 1 se ann for 0 e ser´a 0 caso contr´ario. Portanto, para todo n teremos que a n-´esima casa de f (n) difere da n-´esima casa de r, de onde conclu´ımos que r n˜ao est´a na imagem de f. Ou seja, escolhemos um n´umero real que “evita” a diagonal da matriz infinita formada pelas casas decimais de cada n´umero real da sequˆencia. Essa prova ficou conhecida como argumento diagonal de Cantor 6. Com isso Cantor mostrou que o conjunto dos n´umeros reais ´e n˜ao-enumer´avel, isto ´e, realmente a quantidade de n´umeros reais ´e maior que dos n´umeros naturais. Ora, se o conjunto dos n´umeros alg´ebricos ´e enumer´avel, e o conjunto dos n´umeros reais ´e n˜ao-enumer´avel, conclu´ımos que existem infinitos n´umeros reais que n˜ao s˜ao alg´ebricos. Conclu´ımos tamb´em que h´a uma bije¸c˜ao entre os n´umeros reais e os transcen- dentes. De fato, considere em R uma sequˆencia (xn)n∈N de n´umeros transcendentes distintos (por exemplo, xn pode ser π + n) e (an)n∈N a sequˆencia de todos os n´umeros alg´ebricos (lembre-se que os alg´ebricos s˜ao enumer´aveis). Podemos definir uma fun¸c˜ao bijetora do conjunto dos n´umeros reais nos transcendentes da seguinte forma: cada an ´e mapeado para x 2 n, cada xn ´e mapeado para x 2 n+2, e os demais n´umeros s˜ao mapeados para eles mesmos. A demonstra¸c˜ao de Cantor causou uma das maiores controv´ersias da hist´oria da matem´atica. Para alguns, essa prova desvirtua o prop´osito da matem´atica e perde rela¸c˜ao com o mundo real. Para outros, foi uma inova¸c˜ao no pensamento abstrato e um grande passo para a Rainha das Ciˆencias. O matem´atico francˆes Henri Poincar´e

(^5) Aqui assumimos que a representa¸c˜ao decimal ´e aquela que nunca utiliza uma d´ızima de per´ıodo

9. Ou seja, a representa¸c˜ao decimal de 1 que consideraremos ´e 1, 000.. ., e n˜ao 0, 999.. .. (^6) Um argumento semelhante foi usado por G¨odel em uma parte crucial da demonstra¸c˜ao do

Teorema da Incompletude.

precisava ser mostrada, a partir de uma lista de axiomas, n˜ao sendo mais sua defini¸c˜ao o suficiente para garantir a sua existˆencia. Ernest Zermelo (1871–1953) e Abraham Fraenkel (1891–1965) foram os respons´aveis pela formaliza¸c˜ao axiom´atica dos conjuntos, que, em sua homenagem, ficou conhe- cida como sistema ZFC. A letra C vem do inglˆes choice, uma referˆencia ao axioma da escolha, que, pelas polˆemicas em torno dele, costuma ser “evitado” por alguns matem´aticos. Assim, nos referimos ao sistema ZF quando exclu´ımos o axioma da es- colha, e ZFC quando o utilizamos. V´arios matem´aticos gostam de deixar bem claro quando um resultado usa esse axioma, fazendo bastante esfor¸co para n˜ao precisar lan¸car m˜ao dele. Embora o sistema ZFC tenha sido criado por Zermelo e Fraenkel, parte da forma- liza¸c˜ao que temos hoje ´e atribu´ıdo a John von Neumann (1903 – 1957), que tamb´em teve grande participa¸c˜ao na inven¸c˜ao do computador moderno. A l´ogica e a teoria dos conjuntos passaram a seguir caminhos separados – por´em entrela¸cados – na formaliza¸c˜ao da matem´atica. O pr´oximo cap´ıtulo trata dessa dico- tomia.

Exerc´ıcios

Os exerc´ıcios apresentados neste cap´ıtulo s˜ao apenas para fins de uma discuss˜ao intro- dut´oria, sem muita formaliza¸c˜ao, e usando no¸c˜oes intuitivas de conjuntos e fun¸c˜oes.

1. Mostre uma bije¸c˜ao entre o conjunto dos n´umeros inteiros e os naturais.
2. Prove que qualquer subconjunto infinito dos n´umeros naturais ´e enumer´avel.
3. Na bije¸c˜ao que constru´ımos entre os n´umeros naturais e os polinˆomios, encontre o polinˆomio associado ao n´umero 30.
4. Na bije¸c˜ao que constru´ımos entre os n´umeros naturais e os n´umeros alg´ebricos, encontre o n´umero natural associado ao n´umero

5. Suponha que, em um conjunto infinito, existe uma forma de representar cada ele- mento do conjunto como uma sequˆencia finita de s´ımbolos, dentre um conjunto finito de s´ımbolos. Mostre que esse conjunto ´e enumer´avel e use esse resultado diretamente para mostrar que os conjuntos dos n´umeros racionais e dos n´umeros alg´ebricos s˜ao enumer´aveis.

14 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

16 CAP´ITULO 2. L OGICA DE PRIMEIRA ORDEM´

damos o livro Set Theory and Logic, de Robert Stoll.

2.1 O alfabeto

Os s´ımbolos utilizados na linguagem da teoria dos conjuntos s˜ao os seguintes:

Vari´aveis: representadas pelas letras min´usculas: x, y, z,.. .. Eventualmente, s˜ao indexadas pelos n´umeros naturais: x 1 , x 2 , x 3 ,.. ..

Conectivos: ¬ (nega¸c˜ao – “n˜ao”), → (condicional – “se... ent˜ao”), ∧ (conjun¸c˜ao – “e”), ∨ (disjun¸c˜ao – “ou”), ↔ (bicondicional – “se, e somente se”).

Quantificadores: ∀ (quantificador universal – “para todo”), ∃ (quantificador exis- tencial – “existe”).

Parˆenteses: s˜ao os parˆenteses esquerdo e direito: ( e ).

S´ımbolo de igualdade: =

Predicado bin´ario: ∈ (pertence).

2.2 F´ormulas

F´ormulas s˜ao sequˆencias finitas de s´ımbolos do alfabeto que seguem as seguintes regras:

1. Se x e y s˜ao vari´aveis, x ∈ y e x = y s˜ao f´ormulas.
2. Se A e B s˜ao f´ormulas, ¬(A), (A) → (B), (A) ∧ (B), (A) ∨ (B) e (A) ↔ (B) s˜ao f´ormulas;
3. Se A ´e f´ormula e x ´e uma vari´avel, ent˜ao ∀x(A) e ∃x(A) s˜ao f´ormulas.
4. Todas as f´ormulas tˆem uma das formas descritas nos itens 1, 2 e 3.

Por exemplo, pela regra 1, temos que x ∈ y ´e uma f´ormula. Pela regra 1, x = z tamb´em ´e uma f´ormula. A regra 2 nos garante que (x ∈ y) → (x = z) ´e uma f´ormula. Logo, a regra 3 nos garante que ∀x((x ∈ y) → (x = z)) ´e uma f´ormula.

matem´atica, isto ´e, a matem´atica utilizada para formalizar a matem´atica. A l´ogica de primeira ordem ´e a linguagem utilizada na matem´atica. Ent˜ao nos perguntamos qual ´e a linguagem utilizada quando formalizamos a l´ogica de primeira ordem. Obviamente, utilizamos a linguagem natural, mas podemos, posteriormente, formaliz´a-la utilizando a pr´opria ordem de primeira ordem. A essa linguagem que utilizamos para descrever a l´ogica de primeira ordem chamamos de metalinguagem. Em seu livro Uma Breve Hist´oria do Tempo, Stephen Hawking menciona uma hist´oria que serve como uma curiosa alegoria para entendermos o que ´e metalinguagem e metamatem´atica: de acordo com algumas pessoas, a Terra era achatada e estava apoiada no casco de uma tartaruga gigante, sendo que essa tartaruga, por sua vez, estava apoiada no casco de uma outra tartaruga gigante, e assim sucessivamente.

2.3. UNICIDADE DE REPRESENTAC¸ AO˜ 17

De fato, ´e uma express˜ao que “faz sentido” (ou seja, entendemos o que ela significa, independente de ser verdadeira ou n˜ao). Traduzindo para a linguagem natural, seria o seguinte: “para todo x, se x pertence a y ent˜ao x ´e igual a z”. Ou, simplesmente, “z ´e o ´unico elemento de y”. As f´ormulas usadas no processo de constru¸c˜ao de f´ormulas mais complexas s˜ao chamadas de subf´ormulas. Por exemplo, A e B s˜ao subf´ormulas de (A) → (B). No caso do nosso exemplo, as subf´ormulas de ∀x((x ∈ y) → (x = z)) s˜ao x ∈ y, x = z, (x ∈ y) → (x = z) e, para alguns efeitos pr´aticos, consideramos a pr´opria f´ormula ∀x((x ∈ y) → (x = z)) como subf´ormula dela mesma. As f´ormulas que constam no item 1 s˜ao chamadas de f´ormulas atˆomicas, porque n˜ao podem ser divididas em subf´ormulas menores.

2.3 Unicidade de representa¸c˜ao

A regra 4 nos diz que as ´unicas f´ormulas s˜ao aquelas que se enquadram numa das trˆes anteriores. Ou seja, toda f´ormula ´e da forma x ∈ y, x = y, ¬(A), (A) → (B), (A) ∧ (B), (A) ∨ (B), (A) ↔ (B), ∀x(A) ou ∃x(A), onde x e y s˜ao vari´aveis e A e B s˜ao f´ormulas. Uma quest˜ao important´ıssima para evitarmos ambiguidades na limguagem ´e: toda f´ormula pode ser escrita em apenas uma dessas maneiras? Isto ´e, olhando para uma sequˆencia de s´ımbolos que representa uma f´ormula, existe apenas uma maneira de lermos essa sequˆencia de s´ımbolos como uma dessas formas? A resposta ´e sim: se escrevemos uma mesma f´ormula (enxergando f´ormula como sequˆencia de s´ımbolos) de duas das maneiras escritas acima, tanto o s´ımbolo quanto as vari´aveis e f´ormulas envolvidas s˜ao as mesmas, nas duas maneiras. N˜ao demons- traremos isso aqui. Apenas ressaltamos que esse ´e o papel dos parˆenteses na f´ormula. Por exemplo, se n˜ao houvesse parˆenteses, considere a f´ormula x ∈ y → x = z ∨ z ∈ x. Podemos cosider´a-la como da forma A → B, onde A ´e a f´ormula x ∈ y e B ´e a f´ormula x = z ∨ z ∈ x, ou como da forma A ∨ B, onde A ´e a f´ormula x ∈ y → x = z e B ´e a f´ormula z ∈ x. Assim, sem os parˆenteses n˜ao sabemos se se trata de uma disjun¸c˜ao ou de uma implica¸c˜ao, gerando uma ambiguidade que, inclusive, far´a diferen¸ca na inter- preta¸c˜ao da f´ormula. Por´em, com a regra dos parˆenteses na forma¸c˜ao das f´ormulas, ou a escrevemos (x ∈ y) → ((x = z)∨(z ∈ x)) – que n˜ao h´a outra forma de descrevermo- la sen˜ao da forma (A) → (B) – ou escrevemos ((x ∈ y) → (x = z)) ∨ (z ∈ x) – que ´e uma f´ormula exclusivamente da forma (A) ∨ (B). H´a uma nota¸c˜ao que dispensa o uso de parˆenteses e, mesmo assim, ´e livre de ambiguidades. Chama-se nota¸c˜ao pr´e-fixada, ou nota¸c˜ao polonesa, que consiste em colocar os s´ımbolos na frente das f´ormulas e vari´aveis. Por exemplo, no lugar de x ∈ y escrever´ıamos ∈ xy, no lugar de x = y seria = xy, em vez de (A) ∧ (B) ter´ıamos ∧AB. As f´ormulas que acabamos de escrever ficariam →∈ xy∨ = xz ∈ zx ou ∨ →∈ xy = xz ∈ zx. Essa nota¸c˜ao ´e elegante e evidencia a quest˜ao da unicidade, pois basta observarmos o primeiro s´ımbolo para reconhecermos o formato da f´ormula. Por´em, como o leitor deve ter percebido, a leitura e compreens˜ao das f´ormulas escritas nessa nota¸c˜ao n˜ao s˜ao nada intuitivas, e se tornam piores para f´ormulas longas 2.

(^2) Quem j´a usou a calculadora financeira HP12C deve se lembrar que ela usa uma nota¸c˜ao seme-

2.6. ABREVIATURAS 19

todo mundo do pr´edio foi `a feira, ent˜ao a frase fica mais completa, e ganha o status de senten¸ca, que permite averiguar se a frase ´e verdadeira ou falsa. Digamos, ent˜ao, que acrescentemos um quantificador no nosso exemplo. A f´ormula ∀x¬(x ∈ y) tem apenas uma vari´avel livre: que ´e y. A vari´avel x n˜ao ocorre livre, pois s´o ocorre no escopo dela pr´opria. A f´ormula significa “para todo x, x n˜ao pertence a y”, ou, colocada de outra forma, “y n˜ao possui elementos”, ou, simplesmente “y ´e um conjunto vazio”. Observamos que, para julgarmos a f´ormula como verdadeira ou falsa, basta agora conhecermos quem ´e y. Em outras palavras, a f´ormula em quest˜ao nos dita uma propriedade a respeito de y, enquanto a f´ormula ¬(x ∈ y) dita uma propriedade a respeito de x e de y. Se, por´em, escrevemos ∃y∀x¬(x ∈ y), n˜ao h´a mais vari´aveis livres nessa f´ormula. Essa ´e uma senten¸ca, cujo significado n˜ao depende mais de interpretarmos as vari´aveis. Essa senten¸ca diz que existe um conjunto vazio, que veremos ser verdadeira. Se es- crevˆessemos ∀y∀x¬(x ∈ y) ter´ıamos um significado totalemnte diferente, que seria todo conjunto ´e vazio. Claramente essa ´e uma senten¸ca falsa. Mas ´e uma senten¸ca, pois os s´ımbolos est˜ao dispostos numa ordem que faz sentido e n˜ao apresenta vari´aveis livres. Se A ´e uma f´ormula e x e y s˜ao vari´aveis, denotamos por Ayx a f´ormula obtida ao substituirmos toda ocorrˆencia livre da vari´avel x pela vari´avel y. Por essa nota¸c˜ao, A ´e senten¸ca se Ayx ´e igual a A, para todas vari´aveis x e y.

Frequentemente denotamos por P (x) uma f´ormula que tem x como (´unica) vari´avel livre, ou por P (x, y) uma f´ormula que tem duas vari´aveis livres, x e y (e analogamente para outras quantidades de vari´aveis livres). Nesse caso, P (y) denota P (x)yx.

O motivo de utilizarmos a letra P nessa nota¸c˜ao ´e justamente pelo fato de P (x) designar uma propriedade de x. Veremos mais para frente como criar f´ormulas para representar propriedades como “x ´e um conjunto infinito”, ou “x ´e enumer´avel”.

2.6 Abreviaturas

A medida que desenvolvemos assuntos mais complexos, as f´^ ` ormulas v˜ao se tornando demasiadamente longas e ileg´ıveis. Para resolver isso, introduzimos novos s´ımbolos que funcionam como abreviaturas para express˜oes maiores. O importante ´e que o processo de convers˜ao da linguagem abreviada para a linguagem da l´ogica de primeira ordem seja perfeitamente claro.

Comecemos a exemplificar isso com o s´ımbolo de inclus˜ao. Dizemos que x est´a contido em y se todo elemento de x pertence a y. A f´ormula para designar inclus˜ao ´e ∀z((z ∈ x) → (z ∈ y)). Observe que essa f´ormula tem duas vari´aveis livres, x e y. Abreviamos essa f´ormula como x ⊂ y.

Assim como o s´ımbolo de pertinˆencia, a inclus˜ao ´e um predicado bin´ario (ou s´ımbolo relacional bin´ario), pois relaciona uma propriedade entre dois objetos do universo (no caso, o universo dos conjuntos). Poder´ıamos ter introduzido o s´ımbolo de inclus˜ao entre os s´ımbolos primitivos, como o de pertinˆencia. Mas como a inclus˜ao ´e perfeitamente defin´ıvel a partir da pertinˆencia e dos demais s´ımbolos l´ogicos, ´e tecnicamente mais f´acil utilizarmos o s´ımbolo de inclus˜ao apenas como abreviatura.

20 CAP´ITULO 2. L OGICA DE PRIMEIRA ORDEM´

Outras abreviaturas s˜ao um pouco mais sutis na transcri¸c˜ao. Por exemplo, o conjunto vazio ´e denotado por ∅. A rigor, para utilizarmos a express˜ao o conjunto vazio e denot´a-lo por um s´ımbolo, antes precisar´ıamos mostrar que ele existe e ´e ´unico. Aceitemos esse fato, por enquanto, antes de o provarmos num momento oportuno. Saber utilizar corretamente essa abreviatura requer um pouco mais de aten¸c˜ao. Primeiro notemos que, ao contr´ario da inclus˜ao, o conjunto vazio n˜ao se refere a uma rela¸c˜ao entre objetos, mas a um objeto em particular, e, ao contr´ario das vari´aveis, se refere a um objeto bem definido. Corresponde a um nome pr´oprio na linguagem cotidiana. A esse tipo de s´ımbolo, na l´ogica, chamamos de constante. Assim como as vari´aveis, as constantes s˜ao termos, isto ´e, se referem a objetos do universo. Podemos utiliz´a-las no lugar de uma vari´avel em f´ormulas atˆomicas. Por exemplo, ∅ ∈ x ´e uma f´ormula na linguagem abreviada. Para encontrarmos o correspondente na linguagem original, precisamos explicar quem ´e ∅. Para isso, tomamos uma vari´avel que n˜ao est´a na f´ormula (y, por exemplo) e escrevemos da seguinte forma: ∀y((∀x¬(x ∈ y)) → y ∈ x)

Um importante detalhe da f´ormula acima ´e que a ocorrˆencia n˜ao-livre da vari´avel x n˜ao mant´em qualquer rela¸c˜ao com a ocorrˆencia livre que ocorre a seguir (se quise- rem, podem substituir x por z, tanto na primeira ocorrˆencia, em x ∈ y quanto ap´os o ∀). A f´ormula significa, numa interpreta¸c˜ao literal, “para todo y, se y n˜ao possui elementos, ent˜ao y ´e pertence a x”, ou, “para todo y, se y ´e vazio, ent˜ao y pertence a x”, ou, simplesmente, “o conjunto vazio pertence a x”. Notem que essa f´ormula apresenta x como a ´unica vari´avel livre. Descrevemos, a seguir, o processo formal dessa abreviatura:

Seja B a sequˆencia de s´ımbolos obtida ao substituirmos todas as ocorrˆencias livres de uma vari´avel x numa f´ormula A pelo s´ımbolo ∅. Ent˜ao B designar´a a f´ormula ∀x((∀y¬(y ∈ x)) → (A).

Outro exemplo que citaremos aqui ´e da uni˜ao de conjuntos. A express˜ao x ∪ y representa o conjunto formado pelos elementos que pertencem x ou a y. Ou seja, ∀z(z ∈ x ∪ y ↔ ((z ∈ x) ∨ (z ∈ y)). Desta vez, essa abreviatura trata-se de um s´ımbolo funcional bin´ario, pois associa a cada dois objetos do universo um terceiro. Outros exemplos de s´ımbolos funcionais bin´arios s˜ao as opera¸c˜oes + e × na aritm´etica. Eis o detalhamento do processo de abreviatura:

Sejam A uma f´ormula e x, y, z vari´aveis distintas. Seja B a sequˆencia de s´ımbolos obtida ao substituirmos toda ocorrˆencia livre de z em A por x ∪ y. Ent˜ao B designa a f´ormula

∀z(∀w((w ∈ z) ↔ ((w ∈ x) ∨ (w ∈ y))) → A)

Para algumas finalidades – como no estudo da metamatem´atica ou na elabora¸c˜ao do sistema de axiomas, como ser´a feito na se¸c˜ao seguinte – conv´em reduzirmos os