Operações Básicas em Conjuntos e Números Reais, Notas de aula de Materiais

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Pré-cálculo

Um Livro Colaborativo

22 de março de 2022

Organizadores

Francieli Triches - UFSC

Helder Geovane Gomes de Lima - UFSC

ii

Licença

Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Para ver uma cópia desta licença, visite https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ ou envie uma carta para Cre- ative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.

iv

Nota dos organizadores

Nosso objetivo é de fomentar o desenvolvimento de materiais didáticos pela colaboração entre professores e alunos de universidades, institutos de educação e demais interessados no estudo e aplicação da matemática nos mais diversos ramos da ciência e tecnologia. Para tanto, disponibilizamos em repositório público GitHub (https://github. com/reamat/PreCalculo) todo o código-fonte do material em desenvolvimento sob licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC- BY-SA-4.0). Ou seja, você pode copiar, redistribuir, alterar e construir um novo material para qualquer uso, inclusive comercial. Leia a licença para maiores infor- mações. O sucesso do projeto depende da colaboração! Participe diretamente da escrita dos recursos educacionais, dê sugestões ou nos avise de erros e imprecisões. Toda a colaboração é bem vinda. Veja mais sobre o projeto em:

https://www.ufrgs.br/reamat

Desejamos-lhe ótimas colaborações!

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vii

motivações para estudar determinados conteúdos, além de exercícios de concursos públicos que cobram certos conteúdos. Nos Apêndices vocês encontram alguns temas que não estão na ementa de Pré- cálculo mas que podem ser úteis para vocês em outras disciplinas, ou eventualmente considerados como de conhecimento de todos em alguns exercícios mesmo durante este curso. Como a apostila está em fase de construção caso vocês encontrem alguma imprecisão, por favor me avisem pelo e-mail [email protected], para que eu possa corrigir, logo em seguida vocês receberão uma nova versão. Bons estudos!

Licença CC BY-SA-4.0. Contato: [email protected]

Sumário

Capa i

Organizadores ii

Colaboradores iii

Licença iv

Nota dos organizadores v

Prefácio vi

Sumário xii

I Aritmética Básica 1

1 Teoria de conjuntos 3 1.1 Operações entre conjuntos....................... 6 1.2 Cardinalidade de conjuntos....................... 10 1.3 Conjunto das partes.......................... 10 1.4 Propriedades das operações entre conjuntos.............. 12 1.5 Exercícios................................ 13

2 Conjuntos numéricos 14 2.1 Conjunto dos Números Naturais.................... 14 2.2 Conjunto dos Números Inteiros.................... 14 2.3 Conjunto dos Números Racionais................... 15 2.3.1 Dízimas periódicas e não-periódicas.............. 15 2.4 Conjunto dos Números Irracionais................... 17 2.5 Conjunto dos Números Reais...................... 18 2.5.1 Relação de Ordem, Reta Real e o Valor Absoluto...... 18

viii

• 2.6 Conjunto dos números Complexos
• 2.7 Subconjuntos numéricos e suas representações
• 2.8 Operações com conjuntos numéricos
• 2.9 Exercícios
• 3 Divisibilidade
  • 3.1 MDC e MMC
  • 3.2 Exercícios
• 4 Operações numéricas
  • 4.1 Operações em N
  • 4.2 Operações em Z
  • 4.3 Operações em Q
  • 4.4 Operações em I e R
  • 4.5 Exercícios
• 5 Potenciação
  • 5.1 Potência com expoente natural
  • 5.2 Potência com expoente inteiro
  • 5.3 Raízes
  • 5.4 Potência com expoente racional
  • 5.5 Potência com expoente irracional
  • 5.6 Potência com expoente real
  • 5.7 Exercícios
• 6 Expressões algébricas
  • 6.1 Operações algébricas
  • 6.2 Binômio de Newton
  • 6.3 Expressões algébricas racionais
  • 6.4 Expressões algébricas modulares
  • 6.5 Expressões algébricas radicais ou irracionais
  • 6.6 Exercícios
• 7 Polinômios
  • 7.1 Exercícios
• 8 Equações
  • 8.1 Equações do 1º grau
  • 8.2 Equações do 2º grau
    • 8.2.1 Caso b =
    • 8.2.2 Caso c =
    • 8.2.3 Caso b = c = 0 e a 6 =
    • 8.2.4 Equação completa ax^2 + bx + c = x Pré-cálculo
    • 8.2.5 Caso (x + a) · (x + b) =
    • 8.2.6 Exemplo de aplicação das equações do 2º grau
  • 8.3 Equações exponenciais
  • 8.4 Exercícios
• 9 Inequações
  • 9.1 Inequações de 1º grau
  • 9.2 Inequações de 2º grau
  • 9.3 Inequações exponenciais
  • 9.4 Exercícios
• 10 Equações e inequações
  • 10.1 Equações modulares
  • 10.2 Inequações modulares
  • 10.3 Equações racionais
  • 10.4 Inequações racionais
  • 10.5 Equações radicais ou irracionais
  • 10.6 Inequações radicais ou irracionais
  • 10.7 Exercícios
• II Funções Reais
• 11 Funções
  • 11.1 Definição de funções
    • 11.1.1 Propriedades
    • 11.1.2 Operações com funções
  • 11.2 Tipos de funções
    • 11.2.1 Função constante
    • 11.2.2 Função identidade
    • 11.2.3 Funções polinomiais de grau n
    • 11.2.4 Função modular
    • 11.2.5 Mais algumas funções interessantes
  • 11.3 Algumas propriedades das funções
    • 11.3.1 Função inversa
  • 11.4 Mudando os gráficos das funções
    • 11.4.1 Translação do gráfico das funções
    • 11.4.2 Reflexão do gráfico das funções
  • 11.5 Exercícios
• 12 Trigonometria SUMÁRIO xi
  • 12.1 Triângulo retângulo
  • 12.2 Círculo trigonométrico
  • 12.3 Identidades trigonométricas
  • 12.4 Exercícios
• 13 Funções trigonométricas
  • 13.1 Exercícios
• 14 Funções exponenciais e logarítmicas
  • 14.1 Funções exponenciais
  • 14.2 Funções logarítmicas
  • 14.3 Exercícios
• III Apêndices
• A Programa do curso
• B Tabuada
• C Regras de Divisibilidade
• D Símbolos matemáticos
• E Razão e proporção
  • E.1 Razão
    • E.1.1 Algumas razões especiais
  • E.2 Proporção
• F Regra de três
  • F.1 Regra de 3 simples
    • F.1.1 Regra de 3 simples e direta
    • F.1.2 Regra de 3 simples e inversa
  • F.2 Regra de 3 composta
• G Porcentagem
• H Matemática Financeira
  • H.1 Porcentagem no mundo das finanças
  • H.2 Matemática financeira
    • H.2.1 Taxa de juros i
  • H.3 Regimes de formação de juros
    • H.3.1 Juros simples xii Pré-cálculo
    • H.3.2 Juros compostos
• I Sistema Linear
  • I.1 Sistema de duas equações lineares
  • I.2 Sistema de três equações lineares
• J Geometria
  • J.1 Circunferência
  • J.2 Polígonos
    • J.2.1 Classificação dos Quadriláteros
    • J.2.2 Classificação dos Triângulos
    • J.2.3 Perímetro
    • J.2.4 Área
  • J.3 Sólidos
    • J.3.1 Volume
• Respostas dos Exercícios
• Referências Bibliográficas
• Índice Remissivo
• 1.1 Produto cartesiano dos conjuntos A e B. Lista de Figuras
• 2.1 Linha do tempo história geral
• 2.2 Termômetros apresentando a temperatura em graus Celsius
• 2.3 Reta Real
• 2.4 Representação conjuntos numéricos
• 3.1 Representação conjuntos numéricos
• 11.1 Gráfico da função f
• 11.2 Gráfico da função f (x) =
• 11.3 Gráfico da função Id(x) = x
• 11.4 Coeficiente angular
• 11.5 Gráficos de funções do 2º grau
• 11.6 Gráficos de funções do 3º grau
• 11.7 Gráfico da função módulo
• 11.8 Gráfico da função módulo
• 11.9 Função raiz quadrada
• 11.10Função raiz cúbica
• 11.11Função recíproca
• 11.12Função floor
• 11.13Função ceil
• 11.14Composta das funções f e g
• 11.15Translação no eixo y
• 11.16Translação no eixo x
• 11.17Reflexão no eixo x
• 11.18Reflexão no eixo y
• 12.1 Triângulo retângulo
• 12.2 Círculo trigonométrico
• 13.1 Gráfico da função f (x) = sen(x)

xiv Pré-cálculo

13.2 Gráfico da função f (x) = cos(x).................... 165 13.3 Gráfico da função f (x) = tan(x).................... 166 13.4 Gráfico da função f (x) = csc(x).................... 167 13.5 Gráfico da função f (x) = sec(x).................... 167 13.6 Gráfico da função f (x) = cot(x).................... 168 13.7 Gráfico da função f (x) = arcsen(x).................. 169 13.8 Gráfico da função f (x) = arccos(x).................. 169 13.9 Gráfico da função f (x) = arctan(x).................. 170

14.1 Gráficos da função f (x) = 2x^...................... 172

14.2 Gráficos da função f (x) =

)x

................... 173

14.3 Comparando gráficos de funções exponenciais............ 173 14.4 Gráficos da função f (x) = ex^...................... 174 14.5 Gráficos da função h(x) = log 2 (x)................... 176 14.6 Gráficos da função h(x) = log 1 / 2 (x).................. 177 14.7 Comparando gráficos de funções logarítmicas............. 177 14.8 Gráficos da função h(x) = ln(x).................... 178 14.9 Gráficos das funções exp e log de base 2............... 180 14.10Gráficos das funções exp e log de base 12............... 181 14.11Gráficos das funções exp e log de base e............... 182

I.1 Sistema possível Indeterminado.................... 213 I.2 Sistema impossível........................... 214 I.3 Sistema possível determinado..................... 215

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Capítulo 1

Teoria de conjuntos

Chamamos de conjunto uma coleção de objetos que satisfazem uma proprie- dade comum. Usaremos letras maiúsculas A, B,... para representar conjuntos, e letras minúsculas a, b,... para representar seus elementos. A notação x ∈ A (lê-se “x pertence a A”) significa que x é um elemento de A. A notação x /∈ A (lê-se “x não pertence a A”) significa que x não é um elemento de A. Dados os elementos a, e, i, o, u indica-se com {a, e, i, o, u} o conjunto que é for- mado por estes elementos. Assim, por exemplo, V = {a, e, i, o, u} é o conjunto das vogais do alfabeto português. Quando representamos um conjunto desta forma dizemos que estamos representando o conjunto por enumeração de seus elementos. Se denotarmos por U o conjunto formado pelas letras do alfabeto português, e considerarmos que as vogais a, e, i, o, u fazem parte deste alfabeto, podemos repre- sentar o conjunto V na forma:

V = {x ∈ U | x é uma vogal}, (1.1)

em que x representa um elemento qualquer do conjunto U. Esta segunda descrição do conjunto V é uma forma usual de descrever conjuntos na matemática. Perceba que nela começamos pensando em um conjunto “grande” U (que chamamos de conjunto universo) e em uma propriedade P , bem particular, que alguns elementos deste conjunto satisfazem, e assim obtemos o conjunto V. Além de relacionar elementos com conjuntos podemos relacionar dois conjuntos. Uma forma de fazer isso é através da relação de inclusão, que é descrita da seguinte forma: dados dois conjuntos M e N , diremos que M está contido em N se todo elemento de M é também um elemento de N. Neste caso, escrevemos M ⊂ N. Note que em nosso exemplo anterior V ⊂ U , já que todas as vogais listadas também são letras do alfabeto português. Outro exemplo: como a é um elemento de V , dizer que a ∈ V é equivalente a afirmar que {a} ⊂ V.

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Notações:

• Elemento a pertence ao conjunto A: a ∈ A.
• Elemento a não pertence ao conjunto A: a /∈ A.
• Conjunto A está contido no conjunto B: A ⊂ B.
• Conjunto A contém o conjunto B: A ⊃ B.
• Conjunto A é subconjunto próprio do conjunto B: A B.
• O conjunto que não contém nenhum elemento será chamado de conjunto vazio e denotado por ∅ ou {}.

Exemplo 1.0.1. Sejam A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 3 , 4 }. Então 1 ∈ A, mas 1 ∈/ B. Além disso, temos que B ⊂ A (ou ainda, que A ⊃ B), pois todos os elementos de B são também elementos de A.

As relações entre conjuntos podem ser representadas através de diagramas de Venn-Euler (também conhecidos como diagramas de Venn), nos quais basicamente desenhamos um retângulo para representar o conjunto universo, dentro deste re- tângulo desenhamos um círculo para representar cada conjunto, e dentro de cada círculo escrevemos os elementos que pertencem ao conjunto correspondente.

Exemplo 1.0.2. Consideremos o conjunto das vogais como sendo nosso conjunto universo. Dentro dele podemos considerar os conjuntos A = {a, e, i}, e B = {a, o, u}. Estes conjuntos serão representados através do seguinte diagrama de Venn-Euler:

e i o u

A B

a

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6 Pré-cálculo

1.1 Operações entre conjuntos

Dados conjuntos arbitrários A e B dentro do conjunto universo U , definimos as seguintes operações entre estes conjuntos:

• União: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

A B

• Interseção: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.

A B

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