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DETERMINANTES DE ORDEM 1
A = [a 11 ] ⇒ det(A) = a 11
DETERMINANTES DE ORDEM 2
a 21 ⋅ a 12 (produto dos elementos da diagonal secundária)
A = ⇒ = a 11 ⋅ a 22 – a 21 ⋅ a 12
a 11 ⋅ a 22 (produto dos elementos da diagonal principal)
Exemplo:
DETERMINANTES DE ORDEM 3
= a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 +
- a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 – a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 – a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31
Os determinantes podem ser definidos a partir de permuta-
ções dos índices das colunas no produto a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 ... ⋅ ann.
No entanto, para obtê-los, usaremos métodos mais prá- ticos que serão apresentados nesta e nas próximas aulas.
REGRA PRÁTICA DE SARRUS (apenas para determinantes de ordem 3): na direção da diagonal secundária:
- a 31 ⋅ a 22 ⋅ a 13 – a 32 ⋅ a 23 ⋅ a 11 – a 33 ⋅ a 21 ⋅ a 12
na direção da diagonal principal:
- a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32
Exemplo:
Exercícios
1. Calcule:
a) =^1 ⋅ 9 – 3^ ⋅^1 Resposta:^^6
b) =
= sen^2 x + cos 2 x Resposta: 1
c) =
Resposta: 0
sen x – cos x cos x sen x
a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a 11 a 12 a 21 a 22
a 11 a 12 a 21 a 22
A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(A) ou por |A|.
Aula 39
DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3)
setor 1101
11010508
2. Mostre que a equação
admite raízes reais, para qualquer constante real m.
x^2 + 0 + m – mx – x – 0 = 0
x^2 – (m + 1)x + m = 0
∆ = [– (m + 1)] 2 – 4m
∆ = (m + 1) 2 – 4m
∆ = m^2 + 2m + 1 – 4m
∆ = (m – 1) 2
Para todo real m, temos ∆ 0
(c.q.d)
- Leia o item 1, cap. 2.
- Leia os exemplos 1 a 5, cap. 2.
- Resolva os exercícios 1 a 3, série 2.
- Resolva os exercícios 4 a 7, série 2.
- Resolva o exercício 10, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
x 0 m 1 x 1 1 1 1
MENOR COMPLEMENTAR
Exemplo:
Considerando a matriz A = e os menores com-
plementares dos elementos da sua primeira linha, temos
D 11 = , D 12 = , D 13 = e, portanto,
D 11 = 6, D 12 = – 1 e D 13 = – 4.
COFATOR
Exemplo:
Considerando os cofatores dos elementos da 1ª linha, no exemplo acima, temos:
A 11 = (– 1)1 + 1^ ⋅ D 11 = (+ 1)(6) = 6
A 12 = (– 1)1 + 2^ ⋅ D 12 = (– 1)(– 1) = 1
A 13 = (– 1)1 + 3^ ⋅ D 13 = (+ 1)(– 4) = – 4
TEOREMA DE LAPLACE
Exemplo: Escolhendo a 1ª- linha no exemplo anterior, temos:
det (A) = a 11 ⋅ A 11 + a 12 ⋅ A 12 + a 13 ⋅ A 13
det (A) = 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ (– 4)
det (A) = 8
Exercícios
1. O valor do determinante é
a) 5 b) – c) 4 d) – 4 e) 1
2 0 – 2 1 0 1 3 1 2 1 0 3 1 1 1 0
O determinante de uma matriz de ordem n, n 2, é a
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Sendo a (^) ij um elemento qualquer de uma matriz A de
ordem n, n 2, chamamos de cofator (ou complemento
algébrico ) de a ij ao produto A ij = (– 1) i + j^ ⋅ Dij.
Seja A uma matriz de ordem n, n 2 e seja aij um ele-
mento qualquer de A. Eliminando a linha i e a coluna j de aij obtemos uma ma- triz de ordem n – 1, cujo determinante Dij é chamado de me- nor complementar de aij.
Aula 40
DETERMINANTES: TEOREMA DE LAPLACE
Sendo A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e k uma constante, temos as seguintes propriedades:
Aula 41
DETERMINANTES: PROPRIEDADES
condição propriedade exemplo
B = At^ (transposta de A)
P1:
det (B) = det (A) A = e B = A t^ = ⇒
det (B) = det (A) = – 2
B é obtida de A, P2:
multiplicando-se uma det (B) = k ⋅ det (A) A = e B = ⇒
fila de A por um det (A) = – 2 e det (B) = 10 ⋅ det (A) = – 20
número k.
B = k ⋅ A
P3:
det (B) = k n^ ⋅ det (A) A = e B = ⇒
det (A) = – 2 e det (B) = 10 2 ⋅ det (A) = – 200
B é obtida de A, P4:
permutando-se duas det (B) = – det (A) A = e B = ⇒
fila paralelas. det (A) = – 2 e det (B) = – det (A) = 2
Há, em A, duas filas
P5:
det (A) = 0 A = ⇒ det (A) = 0
paralelas iguais.
P6: (teorema de Binet):
det (A ⋅ B) = det (A) ⋅ det (B) A = , B = e AB =
det (A) = – 2, det (B) = 3 e det (AB) = – 6
c1: A, B e C diferem em, P7: no máximo, uma fila k.
c2: nesta fila k, cada det (C) = det (A) + det (B) A = , B = , C =
elemento cij é igual a (diferem apenas na 2ª coluna)
aij + bij. det (C) = det (A) + det (B) = 6 + 2 = 8
Todos os elementos de P8:
A situados abaixo ou acima det (A) = a 11 ⋅ a 22 ⋅ ... ⋅ ann = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 = 45 e = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 = 45
da diagonal principal é o produto dos elementos da são nulos. diagonal principal.
Exercícios
1. Sabendo que = 2
Calcule:
= 2 ⋅ 3 (–1) ⋅ =
= (– 6) ⋅ 2 = – 12
2. O determinante vale:
a) 0 b) 1 c) a + b d) a + b + c e) n.r.a.
3. Sendo A uma matriz de ordem 3 e det A = 4, calcule: a) det (A^2 ) b) det (2A)
a) det (A 2 ) = det (A ⋅ A) = det A ⋅ det A
= (det A) 2
= 4^2 = 16
b) det(2A)
↓
ordem 3
2A: as 3 linhas de A ficam multiplicadas por 2.
det (2A): de cada uma das 3 linhas sai um 2 em evi-
dência.
Assim: det (2A) = 2 3 ⋅ det A det (2A) = 8 ⋅ 4
det (2A) = 32
- Leia o item 4, cap. 2.
- Resolva os exercícios 25, 27 e 20, série 2.
- Resolva os exercícios 21, 24, 28 e 29, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
a d d
b e e
c f f
a d 2a
b e 2b
c f 2c
a d 2a + d b e 2b + e c f 2c + f
a d g
b e h
c f i
2a 3d – g
2b 3e – h
2c 3f – i
2a 3d – g 2b 3e – h 2c 3f – i
a d g b e h c f i
- Leia o item 5, cap. 2.
- Resolva os exercícios 30 e 33, série 2.
- Resolva os exercícios 34 e 35, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indi-
camos por A –1^ , tal que:
A ⋅ A –1^ = A –1^ ⋅ A = I (^) n
onde I (^) n é a matriz identidade de ordem n.
OBSERVAÇÃO
Pode-se provar que: 1º-) Se A ⋅ A –1^ = I, então A –1^ ⋅ A = I. 2º-) A é invertível se, e somente se, det A ≠ 0.
3º-) det A –1^ =
Exercícios
1. Determinar x de modo que a matriz
A = seja invertível.
Devemos ter det A ≠ 0
12 – 2x – 3 ≠ 0
2x ≠ 9
x ≠
2. Obtenha a matriz inversa da matriz:
A =
I — det A = 2 → ( ∃ A – 1)
II — seja A–1^ =
A ⋅ A–1^ = I → ⋅ =
a – c = 1 b – d = 0
2c = 0 ∴^ c = 0 2d = 1 ∴ d =
a – 0 = 1 ∴ a = 1 b – = 0 ∴ b =
Resposta: A–1^ =
a – c b – d
2c 2d
a b
c d
a b
c d
2 x 1
2 x 1 1 3 0
det A
Aula 43
MATRIZ INVERSA
3. Seja A =. O valor de x tal que det é:
a) 1 d) 4 b) 2 e) 0 c) 3
det A–1^ = (^) ⇒ det A = x – 1
det A = = 15 – 3 x
Assim:
x – 1 = 15 – 3x
4x = 16 ∴ x = 4
- Leia os itens 1 a 5, cap. 3.
- Resolva os exercícios 2 a 5, série 3.
- Resolva os exercícios 1, 6 e 8, série 3.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
5 x
x – 1
A
x
5 x 3 3
SISTEMA LINEAR
Tratemos, agora, dos sistemas de m equações a n incóg- nitas x 1 , x 2 , ... x (^) n, da forma
em que aij, 1 i m, 1 j n são constantes chamadas
de coeficientes e bi são constantes chamadas de termos inde-
pendentes. Nestas aulas, consideraremos que incógnitas e constantes sejam números reais, embora toda a teoria a ser vista também seja válida com números complexos. Consideraremos, tam- bém, que as incógnitas estejam numa mesma ordem nas equações.
Exemplo:
Da reação química dada por xH 2 + yO 2 → zH 2 O, temos
2x = 2z e 2y = z. Temos o sistema linear de duas equações e três incógnitas
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
exemplo: Note que (0, 0, 0) e (2, 1, 2) são soluções de
.
Na verdade, esse sistema admite infinitas soluções e todas
elas são da forma (2α, α, 2α). Podemos afirmar que o con-
junto solução desse sistema é {(2α, α, 2α)}, em que α ∈ IR.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
Levando em conta o número de soluções, temos a seguinte classificação de sistemas: determinado possível sistema indeterminado impossível
- um sistema possível e determinado (spd) admite uma única solução
2x + 0y – 2z = 0 0x + 2y – 1z = 0
123
Um conjunto ordenado de números (k 1 , k 2 , ... kn) será uma solução do sistema se, e somente se, substituindo x 1 por k 1 , x 2 por k 2 , ... e xn por kn, nas m equações, obtivermos todas as igualdades verificadas.
2x + 0y – 2z = 0 0x + 2y – 1z = 0
123
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a (^) 1nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a (^) 2nxn = b 2 . . am1 x 1 + am2 x 2 + ... + a (^) mn xn = bm
Aula 44
SISTEMAS LINEARES: APRESENTAÇÃO E REGRA DE CRAMER
Exercícios
1. Resolver, aplicando a regra de Cramer:
D = = 2
Dx = = – 2
Dy = = 4
Dz = = 4
Logo, x = = – 1
y = = 2
z = = 2
S = {(– 1, 2, 2)}
2. Para que valores de m o sistema:
é possível e determinado?
a) m ≠ 3 d) m = 6
b) m ≠ – 3 e) ∀m, m ∈ IR
c) m ≠ 6
Devemos ter: D ≠ 0
≠ 0 ∴ 2m – 12 ≠ 0
∴ m ≠ 6
3. Resolver pela Regra de Cramer:
D = = a – b
Dx = = b – a = – (a – b)
Dy = = a 2 – b^2 = (a + b)(a – b)
x = = = – 1
y = = = a + b
S = {(– 1, a + b)}
- Leia os itens 1, 2, 3, 5 e 6, cap. 4.
- Resolva os exercícios 1, 2 e 11( a ), série 4.
- Resolva os exercícios 11( c, d ) e 12, série 4.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
(a + b) (a – b)
a – b
Dy
D
- (a – b)
a – b
Dx
D
a b
b a
b 1
a 1
a 1
b 1
ax + y = b (a ≠ b) bx + y = a
m 3
mx + 3y = 7 4x + 2y = 9
Dz
D
Dy
D
Dx
D
- 2 3 2
- 2 2 – 3
- 2 3 – 3
x + y = 1
- 2x + 3y – 3z = 2 x + z = 1
