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MATRIZES
Matriz quadrada
matrizquadradadeordem 2. 5 1
diagonal principal
matrizquadradadeordem 3.
diagonal principal
diagonal secundária
Matriz linha e matriz coluna
[ 2 - 6 9 5 ] matrizlinha 1 x 4 (1linhae 4 colunas).
matrizcoluna 3 x 1 (3linhase 1 coluna).
Matriz diagonal
Matriz identidade
a 0 ,parai j
a 1 ,parai j Emumamatrizidentidade,temos
ij
ij
Matriz nula
Matriz transposta
5
A^2
5
2
t A
Adição de matrizes
e B
SejamasmatrizesA
⎟
A soma das matrizes A e B é feita da seguinte maneira:
Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes e
A ⎥
B.
A B
3 x 2 2 x 2 3 x 2
Propriedades da multiplicação de matrizes:
- Na multiplicação de matrizes as únicas propriedades válidas são a
associativa e a distributiva.
Matriz inversa
Dada a matriz , calculamos a matriz inversa de A (A ⎥ ⎦
A -1) da seguinte
forma:
1 b 2 d 1b 4d
1 a 2 c 1a 4c
c d
a b
Pela igualdade de matrizes, temos o seguinte sistema:
1 b 4 d 1
1 b 2 d 0
1 a 4 c 0
1 a 2 c 1
Resolvendo-se o sistema, encontramos a = 2, b = -1, c = -½ e d = ½.
Logo, (^) ⎥
⎦
−
2
1 2
1
1
A.
Operações elementares em uma matriz
−
0 1
A
L 12 L 2 - 2L 1 - L 2 L 1 3 L 2
- Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito
de operações elementares, na matriz I.
- A mesma seqüência de operações que transforma a matriz A em In ,
transforma In em A-.
[ ] [ ]
seqüênciadeoperaçõeselementares A |In ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→I |A
Determinantes de 2ª ordem
Seja a matriz ,detA 4 10 - 7 2 40 - 14 36. 2 10
A ⎥ = ⋅ ⋅ = =
- o determinante é a soma dos valores obtidos.
Exemplo:
A , assim:
Propriedades dos determinantes:
- Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M
forem iguais a zero, seu determinante será nulo; ou seja, det M = 0.
- Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma
matriz quadrada M forem iguais, seu determinante será nulo, ou seja, det M
= 0.
- Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas)
proporcionais, seu determinante será nulo, ou seja, det M = 0.
- Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz
quadrada são multiplicados por um mesmo número real k , então seu
determinante fica multiplicado por k.
- Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real
k , o seu determinante fica multiplicado por kn, ou seja, det(kMn) = kn^. det
Mn.
- O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua
transposta, isto é, det M = det (Mt).
- Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma
matriz quadrada M , o determinante da nova matriz obtida é o oposto do
determinante da matriz anterior.
- O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos
da diagonal principal.
- Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-
produto, então det(AB) = (det A)(det B) (teorema de Binet).
- Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos
elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B ,
então det A = det B (teorema de Jacobi).
SISTEMAS LINEARES
Equações lineares
- 3x + 5y = 10 → equação linear de variáveis x e y.
- x + 4y – 3z = 0 → equação linear de variáveis x , y e z.
- 5x + 4y = 12 + x – y → equação linear de variáveis x e y.
Exemplos de sistemas de equações lineares:
- é um sistema linear 2 x 2 nas variáveis x e y.
⎩
x 2 y 5
3 x 5 y 12
- é um sistema linear nas variáveis x , y e z.
⎪ ⎩
x 2 y z 0
2 x y 2 z 9
x 2 y z 8
Genericamente, representamos um sistema linear da seguinte maneira:
m 11 m 2 2 m 3 3 mn n m
21 1 22 2 23 3 2 n n 2
11 1 12 2 13 3 1 n n 1
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
S
M
Resolução de um sistema linear por triangularização ou
escalonamento
Operações
- Permutação de duas equações.
- Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero.
- Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente
multiplicada por um número real diferente de zero.
Sistema compatível
- Determinado: quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas
(não totalmente nulas) quantas são as colunas da matriz dos coeficientes.
- Indeterminado: quando após escalonar obtém-se menos linhas significativas
do que o número de colunas da matriz dos coeficientes. Exemplo.
