PROF. GILBERTO SANTOS JR

MATRIZES

SUMÁRIO

1 . INTRODUÇÃO ............................................. 1

2 . DEFINIÇÃO ................................................ 1

3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ ....... 2

4 . MATRIZES ESPECIAIS ................................. 2

4.1 MATRIZ QUADRADA ................................... 2

4.2 MATRIZ IDENTIDADE ................................. 2

4.3 MATRIZ NULA ............................................ 2

4.4 MATRIZ TRANSPOSTA................................. 2

5 . IGUALDADE DE MATRIZES ........................... 3

6 . ADIÇÃO DE MATRIZES ................................ 3

7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES .......................... 3

8 . MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ ..... 3

9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ..................... 4

10 . MATRIZ INVERSA ...................................... 4

Referências ..................................................... 8

1 . INTRODUÇÃO

Muitas vezes, para designar com clareza

certas situações é necessário um grupo ordenado

de números que se apresentam dispostos em li-

nhas e colunas, formando o que se chama matriz.

Observe por exemplo a seguinte situação:

As vendas de uma editora em relação aos

livros de Matemática, Física e Química, no primeiro

trimestre de um ano, podem ser expressas pela

tabela a seguir.

Janeiro

Fevereiro

Março

Matemática

20000

32000

45000

Física

15000

18000

25000

Química

16000

17000

23000

Se quisermos saber:

 Quantos livros de Matemática foram vendidos

em Fevereiro, basta olharmos o número que está

na primeira linha e na segunda coluna;

 Quantos livros de Física foram vendidos em Ja-

neiro, basta olharmos o número que está na se-

gunda linha e na primeira coluna;

 Quantos livros de Química foram vendidos nos 3

meses, basta somarmos os números da tercei-

ra linha. E assim por diante.

Uma tabela desse tipo, em que os números

estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, de-

nomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e

podemos representá-la por:













230001700016000

250001800015000

450003200020000













230001700016000

250001800015000

450003200020000

2 . DEFINIÇÃO

Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)

qualquer tabela retangular formada por m li-

nhas e n colunas, sendo m e n números inteiro

maior que zero.

Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou

de ordem m × n.

Exemplo: A2 × 3 =













015

243

é uma matriz de or-

dem dois por três.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Os estudantes de um colégio responderam a

seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou

Português?” Cada estudante escolheu uma única

matéria. As respostas foram computadas e alguns

dados colocados no quadro:

Sexo

Matéria

Masculino

Feminino

Matemática

137

Português

105

117

a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?

b) Quantos estudantes do sexo feminino respon-

deram à pergunta? R: a) 235 alunos; b) 215 alunos

c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à

pergunta? R: 457 alunos

2) Observe a matriz seguinte e responda:













258114

212617

9731

51010

a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4

b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5

c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8

d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª

coluna? R: 3

e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5

f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11

g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª

coluna? R: 20

EXERCÍCIO DE VESTIBULAR

3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por

estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em

horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos

gastam seu tempo, tanto durante a semana (de

segunda-feira a sexta-feira), como no fim de

semana (sábado e domingo). A seguinte tabela

ilustra os resultados da pesquisa. R: (e)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR

MATRIZES

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................. 1

2. DEFINIÇÃO ................................................ 1

3. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ ....... 2

4. MATRIZES ESPECIAIS ................................. 2

4.1 MATRIZ QUADRADA ................................... 2

4.2 MATRIZ IDENTIDADE ................................. 2

4.3 MATRIZ NULA ............................................ 2

4.4 MATRIZ TRANSPOSTA................................. 2

5. IGUALDADE DE MATRIZES ........................... 3

6. ADIÇÃO DE MATRIZES ................................ 3

7. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES .......................... 3

8. MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ ..... 3

9. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES..................... 4

10. MATRIZ INVERSA ...................................... 4

Referências ..................................................... 8

1. INTRODUÇÃO

Muitas vezes, para designar com clareza

certas situações é necessário um grupo ordenado

de números que se apresentam dispostos em li-

nhas e colunas, formando o que se chama matriz.

Observe por exemplo a seguinte situação:

As vendas de uma editora em relação aos

livros de Matemática, Física e Química, no primeiro

trimestre de um ano, podem ser expressas pela

tabela a seguir.

Janeiro Fevereiro Março Matemática 20000 32000 45000 Física 15000 18000 25000 Química 16000 17000 23000

Se quisermos saber:

 Quantos livros de Matemática foram vendidos

em Fevereiro, basta olharmos o número que está

na primeira linha e na segunda coluna ;

 Quantos livros de Física foram vendidos em Ja-

neiro, basta olharmos o número que está na se-

gunda linha e na primeira coluna ;

 Quantos livros de Química foram vendidos nos 3

meses , basta somarmos os números da tercei-

ra linha. E assim por diante.

Uma tabela desse tipo, em que os números

estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas , de-

nomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e

podemos representá-la por:

16000 17000 23000

15000 18000 25000

20000 32000 45000

ou

16000 17000 23000

15000 18000 25000

20000 32000 45000

2. DEFINIÇÃO

Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)

qualquer tabela retangular formada por m li-

nhas e n colunas, sendo m e n números inteiro

maior que zero.

Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou

de ordem m × n.

Exemplo: A2 × 3 = 

é uma matriz de or-

dem dois por três.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Os estudantes de um colégio responderam a

seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou

Português?” Cada estudante escolheu uma única

matéria. As respostas foram computadas e alguns

dados colocados no quadro:

Sexo

Matéria Masculino Feminino

Matemática 137 98

Português 105 117

a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?

b) Quantos estudantes do sexo feminino respon-

deram à pergunta? R: a) 235 alunos; b) 215 alunos

c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à

pergunta? R: 457 alunos

2) Observe a matriz seguinte e responda:

a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4

b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5

c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8

d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª

coluna? R: 3

e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5

f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11

g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª

coluna? R: 20

EXERCÍCIO DE VESTIBULAR

3) (Enem-2012) Uma pesquisa realizada por

estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em

horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos

gastam seu tempo, tanto durante a semana (de

segunda-feira a sexta-feira), como no fim de

semana (sábado e domingo). A seguinte tabela

ilustra os resultados da pesquisa. R: (e)

De acordo com esta pesquisa, quantas horas de

seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na

semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas

atividades escolares? R: (e)

(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27

3. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MA-

TRIZ

O elemento genérico de uma matriz A será

indicado por aij em que i representa a linha e j a

coluna na qual o elemento se encontra. Uma ma-

triz A , do tipo m × n será escrita, genericamente,

assim:

A =

m1 m2 m3 mn

31 32 33 3n

21 22 23 2n

11 12 13 1n

a a a a

ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se: ma-

triz A , dos elementos aij , do tipo m × n.

Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que aij

= i + j.

Resolução:

A matriz é do tipo 2 x 2 então, generica-

mente,

21 22

11 12

a a

Resta descobrir quem são esses termos a 11 ,

a 12 , a 21 e a 22 usando a sentença aij = i + j. Então,

usando os cálculos auxiliares:

a 11 = 1 + 1 = 2

a 12 = 1 + 2 = 3

a 21 = 2 + 1 = 3

a 22 = 2 + 2 = 4

Logo a matriz 

21 22

11 12

a a

é igual a 

EXERCÍCIOS BÁSICOS

4) Escreva as matrizes:

a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R = ( )

b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R = ( )

c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j. R = ( )

d) C = (cij)3 × 3 tal que

c 1 parai j

c 0 parai j

ij. R = ( )

e) D = (dij)2 × 4, com dij = i-j R = ( )

4. MATRIZES ESPECIAIS

4.1 MATRIZ QUADRADA

É toda matriz cujo número de linhas é igual ao

número de colunas.

Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois por

dois ou simplesmente ordem 2.

A2 × 2 = 

ou simplesmente, A 2 = 

Observação : Numa matriz quadrada A de ordem

n , os elementos aij tais que i = j formam a diago-

nal principal da matriz, e os elementos aij tais

que i + j = n + 1 formam a diagonal secun-

dária.

31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

diagonal principal

diagonal secundária

4.2 MATRIZ IDENTIDADE

É uma matriz quadrada de ordem n em que

todos os elemento da diagonal principal são iguais

a 1 e os outros elementos são iguais a zero , seu

símbolo é igual a In.

Exemplos: I 2 = 

, I 3 =

4.3 MATRIZ NULA

É qualquer matriz que possui todos os ele-

mentos iguais a zero. Simboliza-se a matriz nula

de ordem m × n por 0 m × n e a de ordem n por 0 n.

Exemplos: 0 3 × 2 =

, 01 × 4 = 0 0 0 0 

4.4 MATRIZ TRANSPOSTA

Seja A uma matriz de ordem m × n deno-

mina-se transposta de A a matriz de ordem n ×

m obtida, isto é, trocando-se ordenadamente as

linhas pelas colunas.

Indica-se transposta de A por A

Exemplo: Seja a matriz A =

a sua trans-

posta é At^ =



b) -2B = R: ( )

c) A

= R: ( )

d) 2A + B = R: ( )

e) 5A – 0 2 x 3 = R: ( )

13) Se A = 

, B = 

e C = 

calcule 3A + 2B - 4C. R: ( )

9. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma

matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto da

matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do

tipo m x p tal que o elemento cij é calculado

multiplicando-se ordenadamente os elementos

da linha i, da matriz A , pelos elementos da

coluna j , da matriz B , e somando-se os produ-

tos obtidos.

Para dizer que a matriz C é o produto de A por

B , vamos indicá-la por AB.

Observe que só definimos o produto AB de

duas matrizes quando o número de colunas de A

for igual ao número de linhas de B ; além disso,

notamos que o produto AB possui o número de

linhas de A e o número de colunas de B.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

14) Determine os produtos:

a) 

= R: ( )

b) 

= R: ( )

c) 

.I 2 = R: ( )

d) 

= R: [ ]

e)

= R: [ ]

f) 

= R: ( )

15) O quadro abaixo registra os resultados obti-

dos por quatro times em um torneio em que todos

se enfrentam uma vez:

Vitórias Empates Derrotas América 0 1 2 Botafogo 2 1 0 Nacional 0 2 1 Comercial 1 2 0

a) Represente a matriz A = (aij) correspondente.

b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3

c) O que representa o elemento a 23 da matriz A?

R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo

d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitó-

ria do Comercial? R: a 41

e) Considerando que um time ganha três pontos

na vitória e um ponto no empate, calcule, fazendo

uma multiplicação de matrizes, quantos pontos fez

cada time. R: ( ); América: 1pt, Bota Fogo: 7 pts, Nacional: 2 pts e Comercial: 5 pts

f) Qual foi a classificação final do torneio? R: Bota Fogo

campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América 4º lugar

16) Para a fabricação de caminhões, uma in-

dústria montadora precisa de eixos e rodas para

seus três modelos de caminhões, com a seguinte

especificação:

Componentes/modelos A B C Eixos 2 3 4 Rodas 4 6 8

Para os primeiros meses do ano, a produção da

fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

Modelo/Meses Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15

Usando a multiplicação de matrizes, responda:

nessas condições, quantos eixos e quantas rodas

são necessários em cada um dos meses para que

a montadora atinja a produção planejada? R: 215 eixos e

430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308 rodas no mês de Fevereiro.

10. MATRIZ INVERSA

Dada uma matriz quadrada A , de ordem n , se

X é uma matriz tal que AX = In e XA = In,

então X é denominada matriz inversa de A e

é indicada por A-1.

Quando existe a matriz inversa de A , dize-

mos que A é uma matriz inversível ou não-

singular.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

17) Determine, se existir, a inversa de cada uma

das seguintes matrizes:

a) A = 

R: ( ) c) A = 

R: ( )

b) A = 

R: ( )

(Veja a resolução )

d) A = 

R: ( )

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

18) Um técnico de basquetebol descreveu o de-

sempenho dos titulares de sua equipe em sete

jogos através da matriz:

Cada elemento aij dessa matriz é um número de

pontos marcados pelo jogador de número i no jo-

go j.

a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3

no jogo 5? R: 14

b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? R: 90

c) Quantos pontos marcou o jogador de número 2

em todos os jogos? R: 128

19) Obtenha , , de modo que a matriz:

A =

0 x -6 x 8

x 5 x 6 0 2

Seja igual à matriz nula de ordem 2. R: S = {2, 3, 4}

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

20) (Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz qua-

drada de ordem 2 tal que aij =

i 1 parai j

2 parai j 2

i j

Nessas condições: R: (c)

(a) A = 

(c) A = 

(e) n.d.a.

(b) A = 

(d) A = 

21) (FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij)

estão assim definidas: R: (d)

a 0 s ei j

a 1 s ei j

ij 

b 0 s ei j 4

b 1 s ei j 4

em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

22) (Enem-2012) Um aluno registrou as notas

bimestrais de algumas de suas disciplinas numa

tabela. Ele observou que as entradas numéricas da

tabela formavam uma matriz 4 x 4, e que poderia

calcular as médias anuais dessas disciplinas usan-

do produto de matrizes. Todas as provas possuíam

o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é

mostrada a seguir.

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz

obtida a partir da tabela por: R: (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 4 4 4 4

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2                      

1 4 1 4 1 4 1 4                      

23) (Unificado-RJ) Cláudio anotou suas médias

bimestrais de matemática, português, ciências e

estudos sociais em uma tabela com quatro linhas

e quatro colunas, formando uma matriz, como

mostra a figura: R: (e)

1º b 2º b 3º b 4º b Matemática 5,0 4,5 6,2 5, Português 8,4 6,5 7,1 6, ciências 9,0 7,8 6,8 8, est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,

Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o

mesmo peso, isto é, para calcular a média anual

do aluno em cada matéria basta fazer a média

aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar

uma nova matriz cujos elementos representem as

médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima

apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:

(a) (b) (c) (d) (e) 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 4 4 4 4

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2                      

1 4 1 4 1 4 1 4                      

24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo

das porções de arroz, carne e salada usados num

restaurante. A matriz P fornece o número de por-

ções de arroz, carne e salada usados na composi-

ção dos pratos tipo P 1 , P 2 , P 3 desse restaurante.

salada

carne

arroz

C

P 3

P 2

P 1

prato

P

arrozcarne salada

A matriz que fornece o custo de produção, em

reais, dos pratos P 1 , P 2 , P 3 é: R: (a)

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

25) (UNAMA-2006/2) Nas matrizes

Z R$ 6. 000 , 00

Y R$ 5. 800 , 00

X R$ 5. 600 , 00

Modelo PreçoUnitário

A^ e

2 ºTrimestre 15 20 40

1 ºTrimestre 25 30 50

Trimestre\Modelo X Y Z

B^ estão repre-

sentados os preços unitário das motonetas em

função do modelo e a quantidade vendida no 1º e

2º trimestres de 2006 por uma revendedora de

motonetas, respectivamente. Com base nesses

dados, podemos afirmar que a receita obtida por

(a) Na safra, com a venda de 20 kg de manga,

25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pedro arre-

cadou t = R$ 85,.

(b) Na entressafra, com a venda de 10 kg de

manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, An-

tônio arrecadou z = R$ 110,.

(c) Na safra, com a venda de 25 kg de manga,

20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu, João u =

R$110,.

(d) Na entressafra, com a venda de 20 kg de

manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, Jo-

ão arrecadou w = R$ 170,

(e) Na entressafra, com a venda de 15 kg de

manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu,

Pedro arrecadando y = R$ 170,.

30) (IFPA-2011) Considere três dias da semana,

D1, D2 e D3, e três medidas de temperaturas fei-

tas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A matriz a se-

guir descreve a medida de temperatura verificada

nesses três dias da semana. Cada elemento aij da

matriz indica a quantidade de temperatura em

graus Celsius Ti em cada dia Dj , sendo i {1, 2,

3} e j {1, 2, 3}.

Analisando a matriz, não podemos afirmar que

(a) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C.

(b) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C.

(c) a média das temperaturas, no dia D3, é de

30°C.

(d) a soma das temperaturas Ti verificadas nos

dias Di , i = 1, 2, 3 é, aproximadamente, 30,8°C.

(e) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia

D1, é 54°C. R: (d)

EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS

DE VESTIBULARES

31) (UFES) Os valores de x e y que satisfazem a

equação matricial: R: (b)

4 2 x

x - 2

1 - y

3 y 7

são:

(a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1

(b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2

32) (FGV-SP) Sendo A =

, obtenha a ma-

triz A^2 + A^3.

33) (Unifor-CE) Os números reais x e y que sa-

tisfazem o sistema matricial 

são tais que seu produto é igual a: R: (c)

(a) – 2 (b) – 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2

34) (PUC-SP) São dadas as matrizes A = (aij) e

B = (bij), quadradas de ordem 2 , com aij = 3i +

4j e bij = -4i – 3j. Se C = A + B , então C

é igual

a:

(a) 

(c) 

(e) 

(b) 

(d) 

R: (e)

35) (PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2, onde

aij =

i-js ei j

i js ei j

. Se A

é a matriz transposta de A,

então a matriz B = A

- A t

é igual a:

(a) 

(c) 

(e) 

(b) 

(d) 

R: (c)

EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE

VESTIBULARES

36) (UFPA-2001) Numa farmácia de manipula-

ção, para fazer dois tipos de medicamentos (I e

II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e

C, expressas na tabela abaixo, em gramas:

A B C

I 10 30 60

II 20 50 30

As substâncias podem ser compradas em dois for-

necedores: F1 e F2. O custo por grama das subs-

tâncias em cada fornecedor está expresso em re-

ais na tabela a seguir:

F1 F

A 4 2

B 5 4

C 3 5

Após construir a matriz cujos elementos indicam o

preço de custo dos medicamentos pelo fornecedor,

calcule os valores das despesas se a compra for

toda feita no mesmo fornecedor. Considerando

que o pagamento é feito à vista, determine como

o farmacêutico pode combinar a compra das três

substâncias de modo a gastar o mínimo possível.

37) (UF-MT) Os aeroportos 1 , 2 e 3 estão inter-

ligados por vôos diretos e/ou com escalas.

A = (aij) , abaixo, descreve a forma de interli-

gação dos mesmos, sendo que:

 aij = 1 significa que há vôo direto (sem escala)

do aeroporto i para o aeroporto j ;

 aij = 0 significa que não há vôo direto do aero-

porto i para o aeroporto j.

A diagonal principal de A é nula, significando que

não há vôo direto de um aeroporto para ele mes-

mo.

A =

Seja A

= A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que há

vôo do aeroporto i para o aeroporto j com uma

escala. Com base nessas informações, julgue os

itens.

a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aeroporto

3 , mas não há vôo direto do aeroporto 3 para o 1.

b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com

uma escala.

EXERCÍCIOS EXTRAS

38) Dois alunos A e B , apresentaram a seguinte

pontuação em uma prova de português e em outra

de matemática:

Português Matemática aluno A 4 6 aluno B 9 3

a) Se o peso da prova de português é 3 e o da

prova de matemática é x , obtenha, através de

produto de matrizes, a matriz que fornece a pon-

tuação total dos alunos A e B.

b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B

apresentam mesma pontuação final?

39) Um fast-food de sanduíches naturais vende

dois tipos de sanduíche, A e B , utilizando os in-

gredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas se-

guintes quantidades (em gramas) por sanduíches:

Sanduíche A Sanduíche B queijo 18g 10g salada 26g 33g rosbife 23g 12g atum - 16g

Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches

do tipo A e 10 sanduíches do tipo B. Qual foi a

quantidade necessária de cada ingrediente para a

preparação desses 16 sanduíches? Represente-a

na forma de produto de matrizes.

40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa

utilizando materiais diferentes. Considere a matriz

A = (aij) abaixo,

A =

, na qual aij representa quantas uni-

dades do material j serão empregadas para fabri-

car uma roupa do tipo i.

a) Quantas unidades do material 3 serão em-

pregadas na confecção de uma roupa do tipo 2?

b) Calcule o total de unidades do material 1 que

será empregado para fabricar cinco roupas do tipo

1 , quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo

Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas.

Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo

Matrizes- exercícios, Exercícios de Matemática

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PROF. GILBERTO SANTOS JR

MATRIZES

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................. 1

2. DEFINIÇÃO ................................................ 1

3. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ ....... 2

4. MATRIZES ESPECIAIS ................................. 2

4.1 MATRIZ QUADRADA ................................... 2

4.2 MATRIZ IDENTIDADE ................................. 2

4.3 MATRIZ NULA ............................................ 2

4.4 MATRIZ TRANSPOSTA................................. 2

5. IGUALDADE DE MATRIZES ........................... 3

6. ADIÇÃO DE MATRIZES ................................ 3

7. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES .......................... 3

8. MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ ..... 3

9. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES..................... 4

10. MATRIZ INVERSA ...................................... 4

Referências ..................................................... 8

1. INTRODUÇÃO

Muitas vezes, para designar com clareza

certas situações é necessário um grupo ordenado

de números que se apresentam dispostos em li-

nhas e colunas, formando o que se chama matriz.

Observe por exemplo a seguinte situação:

As vendas de uma editora em relação aos

livros de Matemática, Física e Química, no primeiro

trimestre de um ano, podem ser expressas pela

tabela a seguir.

Se quisermos saber:

 Quantos livros de Matemática foram vendidos

em Fevereiro, basta olharmos o número que está

na primeira linha e na segunda coluna ;

 Quantos livros de Física foram vendidos em Ja-

neiro, basta olharmos o número que está na se-

gunda linha e na primeira coluna ;

 Quantos livros de Química foram vendidos nos 3

meses , basta somarmos os números da tercei-

ra linha. E assim por diante.

Uma tabela desse tipo, em que os números

estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas , de-

nomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e

podemos representá-la por:

ou

2. DEFINIÇÃO

Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)

qualquer tabela retangular formada por m li-

nhas e n colunas, sendo m e n números inteiro

maior que zero.

Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou

de ordem m × n.

Exemplo: A2 × 3 = 

é uma matriz de or-

dem dois por três.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Os estudantes de um colégio responderam a

seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou

Português?” Cada estudante escolheu uma única

matéria. As respostas foram computadas e alguns

dados colocados no quadro:

Sexo

Matéria Masculino Feminino

Matemática 137 98

Português 105 117

a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?

b) Quantos estudantes do sexo feminino respon-

deram à pergunta? R: a) 235 alunos; b) 215 alunos

c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à

pergunta? R: 457 alunos

2) Observe a matriz seguinte e responda:

a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4

b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5

c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8

d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª

coluna? R: 3

e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5

f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11