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Capítulo 3
O Modelo de Solow:
Equilíbrio de Longo Prazo
Robert Solow, um economista do MIT (Massachusetts Institute of Tech- nology) e prémio Nobel da Economia em 1987, apresentou em 1956 um modelo de crescimento económico de longo prazo que se tornou rapida- mente num dos instrumentos teóricos e empíricos mais utilizados em toda a teoria económica desde então.^1 A explicação do crescimento contida neste modelo pretendia ser uma resposta à que tinha sido apresentada por Harrod e Domar nas décadas de 30 e 40 (a qual irá ser analisada num dos últimos capítulos), e tem como um dos objectivos fundamentais demonstrar que uma economia de mercado pode crescer no longo prazo de forma permanente, sustentada, e exibindo uma trajectória de equi- líbrio relativamente estável mesmo sem a intervenção directa do governo na economia. Contrariamente a este resultado fundamental do modelo de Solow, Harrod e Domar tinham desenvolvido um modelo de longo prazo no qual se reproduzia a perspectiva de Keynes sobre os desequilíbrios de curto prazo e a imperiosa necessidade duma intervenção estabilizadora por parte dos poderes públicos em termos de política económica. Para estes últimos autores, a economia comportava—se no longo prazo de uma forma extremamente instável (com desequilíbrios sucessivamente mais pronun- ciados), requerendo uma intervenção permanente do Governo para evitar que tais desequilíbrios levassem a uma crise económica de proporções in- calculáveis.
Esta visão catastrófica do funcionamento dinâmico de uma economia de mercado parece ser facilmente questionável não só do ponto de vista
(^1) Solow, R. M. (1956). ”A Contribution to the Theory of Economic Growth”, Quar- terly Journal of Economics, 70, 65—94.
teórico mas também do ponto de vista empírico, 2 e é integralmente re- jeitada pelo modelo de Solow. Este modelo pretende dar resposta às três questões fundamentais de qualquer análise dinâmica e que são: (i) existe equilíbrio de longo prazo? (ii) Se existir, o equilíbrio é estável ou instável? Após um choque a economia tem capacidade de regressar ao equilíbrio de longo prazo? (iii) Caso exista, este equilíbrio é único ou múltiplo? Como iremos mostrar neste capítulo, encontraremos uma resposta clara para cada uma destas questões no modelo de Solow, e como estamos a tratar de um modelo económico, o mesmo consegue dar ainda uma resposta a uma quarta questão: O equilíbrio é óptimo do ponto de vista social? As respostas a estas quatro questões são derivadas de um modelo dinâmico relativamente simples e assente em seis hipóteses fundamentais:
(H1) A função de produção apresenta rendimentos constantes à escala relativamente a todos os factores acumuláveis ao longo do tempo, os quais são dois neste modelo: capital (K) e trabalho medido em termos de eficiência (E ≡ LA), sendo (L) serviços do trabalho e (A) o nível do conhecimento tecnológico;
(H2) Existem rendimentos marginais decrescentes na acumulação de cap- ital (K);
(H3) A força de trabalho (L) cresce a uma taxa constante, positiva e exógena;
(H4) O conhecimento tecnológico (A) cresce também a uma taxa con- stante, positiva e exógena. Este factor é tido como um bem público, estando livremente disponível (e sem custos) em toda a economia e mesmo em todo o mundo;
(H5) A taxa de poupança é constante, positiva e exógena (0 < s < 1);
(H6) Os mercados do produto e dos factores produtivos funcionam de forma perfeita. Isto implica que não existem lucros extraordinários e os factores produtivos são remunerados de acordo com as suas respectivas produtividades marginais. (^2) Não existe qualquer indicação empírica de que as crises económicas se ampliam sem limites levando ao big—bang económico. Pelo contrário existe evidência significativa de que as crises económicas de curto prazo são pequenos desvios da economia da sua tra- jectória de crescimento de longo prazo. Estas crises têm um carácter temporário, e anulam—se em vez de se ampliarem. Portanto, é pouco provável que modelos que ap- resentam desequilíbrios crescentes possam representar com fidelidade o funcionamento de uma economia de mercado no seu funcionamento dinâmico de longo prazo.
Isto significa que, por exemplo, duplicar as quantidades de capital e de trabalho (em termos eficientes) aplicados na produção provoca uma du- plicação da quantidade produzida. De forma a simplificar a análise do comportamento do modelo no longo prazo, vamos trabalhar com a função de produção (3.1) reescrita em termos intensivos, para tal dividindo ambos os termos da mesma por AL, o que significa que qualquer variável será dada não em termos do seu valor absoluto mas sim por unidade de trabalho eficiente (ou, simplesmente, em termos de eficiência). Este procedimento apresenta ainda uma outra vantagem, a qual consiste em permitir a comparação de diferentes economias, independentemente dos seus valores absolutos em termos do produto, população, dimensão geográfica, etc.. Dividindo a equação (3.1) por AL iremos obter
Qt AtLt
= F
μ Kt AtLt
AtLt AtLt
ou seja, qt = f (kt, 1) , com qt ≡ (^) AQtLtt e kt ≡ (^) AKtLtt e tendo ainda f 0 (kt) > 0 e f ”(kt) < 0. Como a constante 1 não varia ao longo do tempo, a mesma em nada afecta os resultados e podemos escrever
qt = f (kt) (3.2)
sendo qt o output medido em termos de eficiência e kt o stock de capital medido também em termos de eficiência ou em valores intensivos. Da função de produção em termos intensivos (3.2) podemos também obter o valor do produto marginal do capital medido em termos de eficiên- cia. Este produto marginal dá—nos a variação no produto em termos de eficiência que se obtém quando aumentamos em uma unidade o capital por unidade de trabalho eficiente. Esta informação é dada pela derivada da função de produção (3.2) relativamente a k, a qual em termos gráfi- cos corresponde à tangente a cada um dos pontos da função de produção (Figura 3.1).
3.1.2 Exemplo de uma função de produção: Cobb—Douglas
Uma função de produção que cobre as características que acabámos de referir é uma função denominada por Cobb—Douglas, a qual será talvez a função de produção mais utilizada na teoria económica:
Qt = Ktα (AtLt)^1 −α^ (3.3)
sendo 0 < α < 1. Se dividirmos ambos os lados da mesma por AtLt, podemos apresentá—la na forma intensiva, ou seja
qt = f(k) = ktα
q = f ( k )
k
q
k 1
PMG ( k )
Figura 3.1: a função de produção em termos intensivos
Derivando a expressão da função de produção (3.3) em ordem a Kt, obtemos o valor do produto marginal do capital, o qual é denominado por P MGK. Em termos intensivos este valor é dado pela expressão
P MGK ≡ ∂Qt/∂Kt = αk tα−^1
Note que apesar de não ser necessário apresentar nesta secção o con- ceito de produto marginal do factor trabalho (P MGL), o mesmo pode ser também expresso em termos do stock de capital em termos intensivos. Derivando a expressão da função de produção em valor absoluto em or- dem a Lt, obtemos o valor deste produto marginal, o qual é expresso em termos intensivos por
P MGL ≡ ∂Qt/∂Lt = (1 − α)Atkαt.
3.1.3 O comportamento da procura de bens e serviços
A afectação do rendimento na procura de bens e serviços (Qt) nesta econo- mia é dada pela equação Qt ≡ Ct + St (3.4)
Este resultado demonstra claramente que não temos neste modelo uma função de investimento independente. Podemos também expressar as variáveis acima apresentadas mas em termos intensivos, isto é, dividindo as equações acima por AL. A procura por unidade de trabalho eficiente (qt ≡ Qt/AtLt) virá:
qt = ct + it (3.9)
onde ct é o consumo por trabalhador eficiente (Ct/AtLt) e it é o inves- timento por trabalhador eficiente (It/AtLt). Por sua vez, o consumo em termos de eficiência será dado pela expressão
ct = (1 − s)qt (3.10)
Como qt = f (kt), vide equação (3.2), então ct = (1−s)f (kt). No que diz
respeito ao investimento, em termos absolutos este é dado por It = sQt. Procedendo à divisão desta equação também por AtLt, obtém—se
it = s · f(kt) (3.11)
Podemos representar graficamente o comportamento das três princi- pais variáveis do lado da procura (q, c, i) em virtude de todas elas poderem ser expressas em função do nível do capital em termos de eficiência. Na Figura 3.2 apresenta—se a distribuição da produção entre investimento e consumo, sintetizada pelo conjunto de equações que se encontram na caixa seguinte:
qt = f (kt) , produto
ct = (1 − s) · f (kt) , consumo
it = s · f (kt) , investimento
3.1.4 A evolução dos factores produtivos no tempo
Os níveis iniciais de capital, trabalho e conhecimento tecnológico são da- dos e são positivos K 0 > 0 , L 0 > 0 , A 0 > 0 É também assumido neste modelo que destes três factores produ- tivos, dois deles, o trabalho e o conhecimento tecnológico crescem a taxas
f ( k )
s. f ( k )
k
q
q 1
c
i
k 1
i 1
Figura 3.2: a repartição da produção entre consumo e investi- mento.
constantes e exógenas dadas, respectivamente, por n e m. Estas taxas de crescimento podem ser escritas na forma matemática através das seguintes equações:
L^ ˙t = nLt ⇔
L˙t Lt = n (3.12)
A^ ˙t = mAt ⇔
A˙t At = m (3.13)
onde o ponto (·) por cima de uma variável é usado como forma de sim- plificar a simbologia e representa a derivada da variável relativamente ao tempo, ou seja, no caso acima teremos A˙t ≡ dAt/dt. Por sua vez, o comportamento dinâmico do stock de capital físico (Kt) depende de duas forças: do investimento bruto e da amortização ou depreciação física do capital. Estas duas forças têm o seguinte impacto sobre o stock de capital:
- o investimento bruto (It), no caso de ser positivo faz aumentar o nível de Kt, e no caso de ser negativo provoca uma diminuição neste stock;
Estas cinco equações resumem o modelo de crescimento económico de- senvolvido por Solow.^5 Conforme referimos no início deste capítulo, sendo este um modelo económico dinâmico, a análise do seu comportamento no longo prazo implica dar resposta ao seguinte conjunto de questões funda- mentais: (i) esta economia terá um equilíbrio no longo prazo; (ii) se este equilíbrio existir, será estável ou instável?; (iii) será único ou existirão vários equilíbrios de longo prazo?; (iv) e será um equilíbrio que corre- sponde ao óptimo do ponto de vista social, ou o governo deve intervir sobre esse equilíbrio no sentido de melhorar o bem—estar social? A nossa preocupação imediata consiste em tentar encontrar uma re- sposta para a primeira interrogação. Para tal iremos aplicar um artifício que consiste em utilizar todas as variáveis na sua forma intensiva (isto é, em termos de eficiência), no sentido de reduzir o modelo a uma única equação de movimento. Este procedimento é extremamente útil do ponto de vista da obtenção de uma solução do mesmo mas repare que isto é um mero truque analítico, em nada alterando a essência do modelo como irá facilmente perceber. Podemos estudar o comportamento do modelo utilizando, por exemplo, a variável kt cuja definição vimos ser
kt ≡ Kt AtLt
Kt Et
com Et ≡ AtLt. Como é que esta variável se vai comportar ao longo do tempo? Isto é, qual será o valor da expressão dk/dt, ou simplesmente, k˙t. A variação de k relativamente ao tempo é dada pela sua derivada total relativamente a t. Utilizando a definição de derivada total teremos (vide Figura 3.3)
k^ ˙t = ∂kt ∂Kt
dKt dt
∂kt ∂Et
dEt dt
Calculando as derivadas parciais da equação (3.15), sendo estas dadas por ∂kt/∂Kt = 1/Et e ∂kt/∂Et = −
Kt/E t^2
, e utilizando as definições de dKt/dt ≡ K˙t e dEt/dt ≡ E˙t , podemos então chegar a uma nova expressão para k˙t 6
(^5) Existem ainda duas outras equações que fazem parte do modelo mas que não estão na caixa acima. Estas são o consumo, Ct = b · Qt, e a igualdade automática entre a poupança e o investimento It = St. No entanto estas duas equações estão presentes na função investimento acima apresentada. Portanto, o modelo pode de facto ser resumido pelas cinco equações acima referidas. (^6) De forma a simplicar a exposição vamos omitir o índice do tempo (t) nas expressões seguintes. Somente em situações em que seja mesmo bastante vantajoso, este índice será novamente introduzido nas equações. No entanto, deve ter bem presente que este modelo é um modelo dinâmico, e, portanto todas as suas variáveis evoluem ao longo do tempo, isto é, estão expressas em termos de t.
K
k ∂
∂
dt
dE E
k ∂
dt
K dK
t
E
E
K
k ≡
Figura 3.3: esquema gráfico da derivada total de kt em ordem ao tempo (dkt/dt).
k^ ˙ =^1 E
K˙ +
μ −
K
E^2
E˙
A equação (3.17) pode ser reescrita como
k^ ˙ =
K˙
E
K
E
E^ ˙
E
Sendo a taxa de crescimento de E, por definição, dada por E/E˙ ≡ gE , a última expressão fica
k^ ˙ =
K˙
E
K
E
gE (3.19) Nesta equação temos a variação do capital por unidade de tempo ( K˙), no entanto como vimos atrás (vide equação 3.14) esta variação é dada por K˙ = I − δK. Sabendo também que E ≡ AL e que, portanto, a taxa de crescimento de E é a soma das taxas de crescimento do trabalho e do progresso tecnológico gE = gL + gA = n + m, a expressão (3.19) transforma-se em
k^ ˙ = I^ −^ δK E
− k (n + m) (3.20) Por sua vez o investimento é proporcional ao produto, num montante dado pela taxa de poupança, isto é, I = sQ, o que nos permite escrever
k^ ˙ = sQ E − δ
K
E
− k (n + m) (3.21)
e como Q Ett ≡ qt e K Ett ≡ kt, a expressão anterior passa a ser dada por
k^ ˙ = sq − δk − k (n + m) (3.22)
s. f ( k )
k 1 k
( δ + n + m ) k
A
s. f ( k ) ( δ + n + m ) k
k 2 *k **
B
- -
Figura 3.4: o equilíbrio de longo prazo.
sendo s · f (k∗) o investimento em termos de eficiência e (δ + n + m) k∗^ a necessidade de reposição do capital. Estas duas funções dependem ambas apenas do nível de k∗^ e o equilíbrio entre elas é apresentado no ponto A na Figura 3.4. Queremos também demonstrar que o equilíbrio de longo prazo existe e é único, isto é, que existe um e só um nível de k∗^ para o qual a economia converge no longo prazo, independentemente do seu nível inicial de capital em termos de eficiência. Vamos utilizar a Figura 3.4 para responder a esta questão. Níveis de capital por unidade de trabalho eficiente inferiores ao nível de equilíbrio de longo prazo (por exemplo, kt = k 2 ), representam situações em que o investimento é superior à necessidade de reposição do capital por unidade de trabalho eficiente. Como para k 2 a função s · f (k 2 ) es- tará acima da recta (δ + n + m) k 2 , então k˙ 2 > 0 , e, portanto, estaremos numa situação em que o stock de capital em termos de eficiência estará a crescer ao longo do tempo. Esta acumulação de capital vai assumindo montantes cada vez menores à medida que nos aproximamos do stock de equilíbrio, k∗, já que a diferença entre as duas funções se vai reduzindo progressivamente ano após ano. Por outro lado, níveis de capital por unidade de trabalho eficiente superiores ao nível de equilíbrio de longo prazo (por exemplo, kt = k 1 ),
k *****^ k
k
B A
0
- -
Figura 3.5: diagrama ou linha de fase.
representam situações em que a necessidade de reposição do capital é superior ao montante de investimento – a recta (δ + n + m) k está acima da função s · f (k) – o que significa que o stock de capital por unidade de trabalho eficiente está a decrescer isto é, k˙ 1 < 0. Estes decréscimos vão-se tornando cada vez menores à medida que o stock de capital por unidade de trabalho eficiente se aproxima de k∗^ e anulam-se no ponto A. A Figura 3.4 permite—nos concluir que, independentemente do ponto de partida, a economia tenderá para o nível de capital por unidade de tra- balho eficiente de equilíbrio de longo prazo (k∗). Portanto, este equilíbrio é único, já que apenas existe um nível de kt = k∗. Desta forma podemos a partir da análise gráfica dar resposta à primeira das três questões colo- cadas: ”existe equilíbrio de longo prazo e é único?”. A resposta é afir- mativa. No entanto, é também necessário saber se este equilíbrio, apesar de existir e ser único, é estável ou instável. Isto é, se a economia sofrer um choque de natureza temporária, por exemplo, uma catástrofe natural ou uma guerra, voltará ao seu equilíbrio de longo prazo inicial? Vamos uti- lizar a Figura 3.4 para responder a esta questão. Suponha que a economia se encontrava no ponto A, e que a mesma sofre um enorme sismo levando a uma redução drástica do montante do stock de capital por trabalhador eficiente. Após o terramoto o nível de k passa de k∗^ para k 2. Como cer-
independentemente do ponto de partida, a economia converge para uma trajectória de crescimento equilibrado.
3.2.3 Caracterização do crescimento no ELP
Outra questão que se coloca é como o modelo se comporta quando k = k∗? Isto é, quando a economia entra na trajectória de equilíbrio de longo prazo, o que acontece às principais variáveis endógenas? Como se com- portam Qt, Ct, Kt, Qt/Lt, etc., no equilíbrio de longo prazo? Por definição, como no equilíbrio de longo de prazo k˙t = 0, então a taxa de crescimento do capital por unidade de trabalho eficiente corre- sponde a gk = kk˙ = (^0) k = 0. Portanto
gk = 0
A partir daqui, podem—se deduzir as taxas de crescimento das restantes variáveis já que estas também se encontrarão na trajectória de equilíbrio de longo prazo, isto é, na trajectória onde se verifica k˙t = 0. A taxa de crescimento do capital em termos absolutos, e recordando que por definição K ≡ kE, será necessariamente a soma da taxa de crescimento do capital por unidade de trabalho eficiente, gk , (que é nula) e da taxa de crescimento do trabalho em termos eficientes, gE. Portanto, como esta última é igual à soma da taxa de crescimento do trabalho e da taxa de crescimento do progresso tecnológico, isto é, gE = n + m, teremos, gK = gk + gE = 0 + (n + m), daqui resultando
gK = n + m
Como a função de produção é homogénea de grau um relativamente a K e AL, o produto terá forçosamente de crescer à mesma taxa destes dois factores produtivos. Estas taxas de crescimento são dadas por gK = gE = n + m e= n + m. Assim, teremos:^7
gQ = n + m
Como Ct = b · Qt, sendo b uma constante, então gC = gQ = n + m. Portanto, como as variáveis expressas em termos de valores absolutos crescem todas à mesma taxa, podemos definir g como sendo a taxa de crescimento de longo prazo da economia, em que g = gK = gC = gQ = n + m. (^7) Este resultado pode ser facilmente demonstrado se utilizarmos uma função de produção tipo Cobb-Douglas: Qt = Kαt (AtLt)^1 −α. Portanto, gQ = αgK + (1 − α) (gA + gL ) = α (n + m) + (1 − α) (n + m) = n + m.
Por outro lado, sabemos que as taxas de crescimento da população e do conhecimento tecnológico são (por hipótese do modelo) exógenas e constantes: gL = n
gA = m
Falta-nos apenas conhecer as taxas de crescimento do capital e do produto por trabalhador, ou seja, em termos per capita. Estas serão iguais à taxa de crescimento do capital ou do produto (conforme se trate de uma ou de outra) à qual se subtrai a taxa de crescimento da população
gK/L = gK − gL = n + m − n = m
gQ/L = gQ − gL = n + m − n = m Podemos retirar daqui mais três conclusões relativamente ao modelo de Solow (vide Caixa seguinte):
Conclusão 3.3 No equilíbrio de longo prazo, cada variável cresce a uma taxa constante.
Conclusão 3.4 No equilíbrio de longo prazo, o produto per capita e o capital per capita crescem apenas se existir crescimento no nível do conhecimento tecnológico, isto é, se m > 0. Portanto, a melhoria das condições médias de vida depende inteiramente da taxa de crescimento da tecnologia.
Conclusão 3.5 O crescimento económico não depende de qualquer força económica de natureza endógena. Como a taxa de crescimento da pro- dução é igual a n + m, e estas duas taxas são assumidas como exógenas pelo modelo, então a política económica pouco ou nada pode fazer no sentido de fomentar o crescimento económico no longo prazo.
Taxas de crescimento no equilíbrio de longo prazo
variáveis exógenas variáveis endógenas
gL gA gk = gq gK/L = gQ/L gK = gQ = = = = = n m 0 m n + m
f ( k )
s ****^. f** ( k )
k
( s δ^.^ + n + mf^ (^ k^ ) ) k^ (^ δ^ + n + m^ )^ k
k *^ *
A
f ( _k_** ) B
_i_**^ •
-
Figura 3.6: a regra dourada da acumulação de capital.
Para maximizar o consumo per capita devemos maximizar a função (3.26), o que pode ser feito calculando a sua derivada em ordem a k∗^ e igualando—a a zero. O resultado será dado por
f 0 (k) = (δ + n + m) (3.27) Como f 0 (k) é a produtividade marginal do capital, P MGk, assim o que a regra de ouro impõe é que a produtividade marginal do capital, líquida das taxas de depreciação do capital, de crescimento populacional e de crescimento do progresso tecnológico, seja nula:
P M G(k) = δ + n + m (3.28) Graficamente, o consumo atinge o seu máximo no ponto em que a inclinação da tangente à função de produção seja igual à inclinação da função (δ + n + m) k. Desta forma, maximiza—se a distância entre a função de produção f (k) e a recta que nos dá a necessidade de reposição do capital (δ + n + m) k, tal como está representado na Figura 3.6. Note que a linha picotada é paralela à função (δ + n + m) k, de forma a indicar o ponto onde a distância entre f (k) e s · f(k), isto é, o consumo por trabalhador eficiente, é máxima. A regra de ouro dá resposta à última das três questões colocadas inicialmente à análise dinâmica económica: qual é o equilíbrio de longo
prazo que é óptimo do ponto de vista social? Existe um nível de cap- ital por trabalhador eficiente associado a um equilíbrio de longo prazo que é óptimo do ponto de vista social, sendo este aquele que maximiza o consumo da colectividade. Este equilíbrio é alcançado se se conseguir alterar a taxa de poupança para um nível que maximize o consumo, tendo como restrição o facto de que a produção que se destina ao consumo de- pender do nível de investimento da economia e, portanto, dessa mesma taxa de poupança. No entanto, não existem garantias de que a taxa de poupança que permite obter a maximização do bem—estar seja automati- camente alcançada pelos agentes económicos privados, pelo que se torna necessário a intervenção do Governo na economia de forma a evitar—se desperdício de recursos económicos, isto é, de forma a atingir—se a regra dourada na acumulação de capital. Dito de outra forma: enquanto que a política económica não pode afectar a taxa de crescimento económico de longo prazo – já que esta é determinada pela soma de duas forças exógenas ao funcionamento da economia (g = n + m) – ela pode evitar que a economia cresça à mesma taxa g = n + m mas tenha uma taxa de poupança mais elevada do que a necessária para maximizar o consumo. É óbvio que, se a economia tiver a mesma taxa de crescimento, quanto menor for a taxa de poupança mais benéfica para o bem—estar será esta situação porque aumenta o nível do consumo per capita. No caso em que a taxa de poupança seja mais baixa do que aquela que corresponde à regra dourada, então um aumento da referida taxa permitirá aumentar o consumo per capita no longo prazo. Depois da discussão da regra dourada na acumulação de capital podemos apresentar mais uma conclusão do modelo de Solow:
Conclusão 3.6 A regra dourada na acumulação de capital é passível de ser alcançada no modelo de Solow. No entanto, é pouco provável que os agentes privados da economia atinjam automaticamente (isto é, por iniciativa individual) uma taxa de poupança que maximize o consumo entre vários equilíbrios de longo prazo possíveis. Portanto, o Governo não afecta a taxa de crescimento económico de longo prazo, mas pode intervir de forma a maximizar o consumo na economia.
3.4 ELP e Distribuição de Rendimento
O modelo de Solow permite também analisar a evolução da remuneração dos factores produtivos no equilíbrio de longo prazo. Como o mercado de factores é competitivo, ambos os factores que recebem remuneração pela sua contribuição para a produção, trabalho (L) e capital (K), são remu- nerados de acordo com a sua produtividade marginal. Contrariamente a
