Maximo e minimo de uma função (resumo), Esquemas de Economia

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Modelo Ramsey/Cass/Koopmans

( material de apoio, em elaboração)

D. Romer

Advanced Macroeconomics

4 th^ edition

Cap.2 - com adendos do Cap.

2 Modelo de Crescimento Econômico Mainstream

• Considerando as medidas de bem-estar, existem enormes diferenças no padrão de vida através do tempo e das nações.
• Analisando as rendas médias reais de vários países (Penn World Table - https://pwt.sas.upenn.edu), ao longo do tempo, podemos identificar milagres (tigres asiáticos, ...) e desastres (Argentina, ...) de crescimento. Também identificamos estagnação a níveis de subsistência (Chad, Gana, ...).
• O objetivo maior da pesquisa em crescimento é determinar se há possibilidades para aumentar o crescimento global ou trazer padrões de vida em países pobres para mais próximo do nível dos líderes mundiais.
• O primeiro modelo de crescimento mainstream é o Modelo de Solow (também conhecido por Modelo de Sollow-Swan) desenvolvido por Robert Solow (Prêmio Nobel) e T. W. Swan em
• O que pode sustentar o crescimento? A resposta de Solow foi: qualquer coisa que permita aumentar a produção agregada sem necessariamente adicionar mais trabalho e mais capital. Solow chamou esta fonte de riqueza de “ progresso tecnológico ”. Para Solow, progresso tecnológico é exógeno.

4 Modelos de Crescimento Econômico Exógenos – Ramsey vs Diamond

• Dois modelos principais: Ramsey(1928)/Cass(1965)/Koopmans(1965) e Diamond(1965)
• A diferença entre eles é que o primeiro considera famílias com vida infinita e o segundo considera a superposição de gerações de família com horizontes finitos ( i.e. novos indivíduos estão continuamente nascendo e indivíduos idosos estão continuamente morrendo).
• Pelas razões acima, RamseyCassKoopmans é um Modelo de Horizonte Infinito ( Infinite- Horizon Model ) e Diamond é um Modelo de Gerações Sobrepostas ( Overlapping- Generations Model ). Peter Diamond ganhou Prêmio Nobel em 2010 (por outro trabalho).
• O modelo RamseyCassKoopmans é baseado no trabalho de Frank Ramsey (A Mathematical Theory of Saving, Economic Journal, 1928) com extensões de David Cass e Tjalling Koopmans em 1965.
• A importância do modelo RamseyCassKoopmans é porque fornece uma elegante solução matemática para explicar o processo de decisão dos agentes- famílias e firmas, baseado em comportamento otimizador. Este modelo é referência importante para demais modelos atuais, como a teoria de Real-Business-Cycle.

5 Função Utilidade: vários tipos

• Admitimos que a quantidade de satisfação, felicidade, utilidade, de um membro de família

depende do consumo. Definimos, então, a função utilidade u :, ou mais precisamente a

função utilidade instantânea ( i.e. a utilidade em uma data dada) u ( C ( t )):

• Na função acima, a primeira derivada ( i.e. a utilidade marginal) é positiva, isto é: mais é melhor! Já a segunda derivada é negativa, isto é, u ( C ( t )) cresce a uma taxa descrescente (... a primeira unidade de uma fruta que uma pessoa come aumenta a utilidade, a satisfação, mais do que a segunda unidade da mesma fruta).
• Tipos de função utilidade (com u ’  0 e u ’’  0 ):
  • Log:  Exponencial:
  • Linear:
  • CRRA:

u

C(t) C ( t ) u’t 𝑢𝑡 ′

′

′′

𝑢 𝐶 = ln 𝐶

1 −𝜃

a primeira derivada é chamada de

utilidade marginal

  0 : se torna tipo linear

  1 : tipo Log (a demonstração usa lim )

𝜃→ 1

−𝜃𝐶

7 Função Utilidade e Comportamento de Risco

• O que é curvatura?
  • Uma semi-esfera tem uma certa forma, ou seja: tem uma certa curvatura. Todas as funções que têm uma mesma forma básica são ditas terem a mesma propriedade de curvatura. A rigor, a curvatura mede o quão rápido uma curva está mudando de direção em um dado ponto ( i.e. como a primeira variável está variando). A curvatura de uma reta é 0 (zero). A curvatura de um círculo de raio a é 1/ a. Em termos de função utilidade, a curvatura é a maneira como a utilidade marginal muda.
• Quanto mais alta é a curvatura, maior é a aversão ao risco. Entretanto, como funções utilidade não são unicamente definidas, precisamos de uma medida (diferente da curvatura em geometria) que forneça um mesmo resultado de aversão a risco para uma grande família de curvas. Uma dessas medidas é a Relative Risk Aversion ( RRA ):
• Por exemplo, para funções do tipo exponencial 𝑢 𝐶 = 1 − 𝑒 −𝜃𝐶 temos 𝑅𝑅𝐴 = 𝐶𝜃 e para as funções 𝑢 𝐶 = 𝐶^1 −𝜃 1 −𝜃 com 𝜃 > 0 temos 𝑅𝑅𝐴 = 𝜃. Quando uma função utilidade tem RRA = constante ( i.e. a aversão ao risco é constante e independente de C ), dizemos que ela é uma função CRRA ( Constant Relative Risk Aversion ).

′′

𝑢′^ 𝐶

𝑢′′^ 𝐶 = −𝜃^2 𝑒−𝜃𝐶

𝑢′^ 𝐶 = 𝜃𝑒−𝜃𝐶

8 Modelo de Crescimento Ramsey  Cass  Koopmans

• Existe um número muito grande de famílias idênticas e o tamanho de cada família cresce a uma taxa n. A equação diferencial que descreve o crescimento exponencial da população é:
• Sejam:
• A função utilidade instantânea de cada membro da família é 𝑢 𝐶 𝑡 e a função utilidade instantânea da população é, pela Eq. 1: 𝑈 𝐶 𝑡 = 𝑢 𝐶 𝑡 𝐿 𝑡 𝐻 [Eq. 2]

= 𝑛𝐿 , que integrando,

𝐿 0 𝐿

0 𝑡

𝑛𝑑𝑡, dá

∴ ln

= 𝑛𝑡. Exponenciando:^ 𝐿^ 𝑡^ =^ 𝐿 0 𝑒 𝐿 0 =^ 𝐿^0 =^1

𝑛𝑡 , onde [Romer eq.1.13]

𝐿 𝑡 : população total da economia

n : taxa que cresce a população 𝐶 𝑡 : consumo total

H : número de famílias então, o consumo per capita é

e o consumo por membro de família C ( t ) é:

, donde: 𝐶 𝑡 = 𝐶 𝑡

[Consumo Total Eq. 1] ou, o que é o mesmo: consumo por trabalhador Regras de integração: 1 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 , 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 e (^) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑥=𝑏 𝑥=𝑎 (^) = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 onde a e b são constantes; e propriedades de logaritmos: ln 𝑥 𝑦 = ln 𝑥 − ln 𝑦 e, por definição, 𝑦 = ln 𝑥 ↔ 𝑒𝑦^ = 𝑥

ln 𝐿

𝐿

𝑡

𝑡= 0 ∴ ln 𝐿 − ln 𝐿

0 =^ 𝑛𝑡

10 Modelo de Crescimento Ramsey  Cass  Koopmans – lifetime utility

• A família com vida infinita da Eq. 4 (eq. 2.1 do Romer) significa que a geração atual é seguida de seus descendentes, com transferências intergeracionais baseadas no altruísmo. A Eq. 4 é chamada de lifetime utility.
• Lembre que a taxa de desconto  (ou seja, o grau de impaciência) representa a taxa de

preferência temporal pelo consumo presente e, portanto, é positiva. E quando  aumenta,

menos a família valoriza o consumo futuro em relação ao consumo presente.

• O modelo RamseyCassKoopmans não considera incertezas e expectativas. Portanto, a

utilidade das famílias com relação ao risco não é diretamente relevante, mas  na função

utilidade CRRA 𝑢 𝐶 = 𝐶^1 −𝜃 1 −𝜃

determina o comportamento da família. Por exemplo, se   

(isto é, u ( C ) tende ao tipo linear), a família está disposta a aceitar grandes oscilações no

consumo para tirar vantagens de pequenas diferenças entre a taxa de desconto  e a taxa

de retorno r sobre a poupança.

11 Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – Produção e Estoques

• Assim como no modelo de Solow, a função de produção é 𝑌 𝑡 = 𝐹 𝐾 𝑡 , 𝐴 𝑡 𝐿 𝑡 , onde: K é capital; A é conhecimento ou a efetividade de trabalho ; e L é trabalho. O produto 𝐴 𝑡 𝐿 𝑡 é chamado de trabalho efetivo.
• Os níveis iniciais de capital, trabalho e conhecimento são considerados dados e são assumidos serem estritamente positivos. Trabalho e conhecimento crescem a taxas constantes (eqs. 1.8 e 1.9 do Romer):
• Uma hipótese crítica é que a função de produção tem retornos constantes. Isto é, dobrando as quantidades de capital K e de trabalho efetivo AL ( e.g. dobrando K e L , mas com A mantido fixo) também dobra a quantidade produzida. Matematicamente, multiplicando-se por uma constante c , temos: 𝐹 𝑐𝐾, 𝑐𝐴𝐿 = 𝑐𝐹 𝐾, 𝐴𝐿 𝑐 ≥ 0 – ( eq. 1.2 Romer)
• a hipótese de retornos constantes pode ser pensado como uma combinação de duas hipóteses separadas. A primeira é que a economia é grande o bastante de maneira que os ganhos a partir de especialização foram exauridos. Em contraste, numa economia muito pequena, provavelmente há possibilidades suficientes para mais especialização de maneira que dobrando as quantidades de capital e trabalho mais do que dobra a produção. A segunda é que insumos outros que não sejam capital, trabalho e conhecimento são relativamente sem importância.

𝐿 𝑡 = 𝑛𝐿 𝑡 e 𝐴 𝑡 = 𝑔𝐴 𝑡

ponto indica derivada em relação ao tempo: 𝑋 𝑡 é a notação para 𝑑𝑋 𝑡 𝑑𝑡

[Eq. 5a e 5b]

[Eq. 6]

13 Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – Comportamento das Firmas

• Hipóteses para o comportamento das firmas:
• Em qualquer ponto do tempo, as firmas usam estoques de trabalho e capital, paga a eles seus produtos marginais ( i.e. remunera cada um deles segundo a produtividade marginal de cada um deles) e vende a produção resultante.
• Porque a função de produção tem retornos constantes e a economia é competitiva, as firmas ganham lucros zero. Isto significa que a remuneração do capital é a própria produtividade marginal do capital 𝑓 ′ 𝑘. Outra consequência é que, porque não existe depreciação, a taxa real de retorno sobre o capital iguala aos seus ganhos por unidade de tempo, isto é, a taxa de juros reais no tempo t é (eq. 2.3 do Romer):
• Como a firma remunera segundo a produtividade marginal, o salário real no tempo t é o próprio produto marginal de trabalho (Eq. 7) (eq. 2.4 Romer):
• e o salário por unidade de trabalho efetivo é (eq. 2.5 do Romer):

′

𝑘 𝑡 [Eq.^ 8]

′

𝑘 𝑡 [Eq. 9]

′

𝑘 𝑡 [Eq. 10]

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Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – Restrição Orçamentária das Famílias

• A taxa de juros reais r e o salário por unidade de trabalho efetivo w são considerados dados.
• A restrição orçamentária da família é que o valor presente de seu consumo de vida inteira ( lifetime comsumption ) não pode exceder sua riqueza inicial mais o valor presente da sua renda de trabalho de vida inteira ( lifetime labor income ).
• Porém, a taxa de juros reais r pode variar com o tempo. Temos, portanto, 𝑟 𝑡 como a taxa de retorno instantânea (é o retorno real).
• Vamos definir 𝑅 𝑡 = 𝜏= 0 𝑡 𝑟 𝜏 𝑑𝜏 e verificar que com R ( t ), no período [0, t ], uma unidade de bem investido no tempo 0 conduz a 𝑒 𝑅 𝑡 unidades do bem no tempo t.
• Equivalentemente, o valor de 1 unidade em t em termos de produção em t = 0 é 𝑒 −𝑅 𝑡 . Isto é, 𝑒 −𝑅 𝑡 é o termo utilizado para calcular o valor presente de 1 unidade.
• Se 𝑟 𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑟, então 𝑅 𝑡 = 𝑟𝑡 ; e fica fácil verificar que o valor presente de 1 unidade de output é 𝑒 −𝑟𝑡 . Porém, de uma maneira geral: 𝑒 −𝑅 𝑡 .
• Na utility function U (Eq. 4) poderíamos ter condiderado 𝑒 −𝑃 𝑡 ao invés de 𝑒 −𝜌𝑡

com 

constante.

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Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – Restrição Orçamentária das Famílias

𝑅 𝑠

[Eq. 11] [ (2.6) do Romer]

[Romer, pag. 52]

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Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – Restrição Orçamentária das Famílias

[Romer, pag. 53]

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Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – A Dinâmica de c

• c ( t ) é o consumo por unidade de trabalho efetivo
  • Lembrando: A ( t ) é o “conhecimento” no tempo t , que é chamado de “efetividade de trabalho”, e A ( t ) L ( t ) representa “trabalho efetivo”. Portanto, 𝑐 𝑡 = 𝐶 𝑡 𝐴 𝑡 , onde^ C ( t )^ é o consumo por trabalhador.
• 𝑦 𝑡 = 𝑓 𝑘 𝑡 é a função de produto na forma intensiva, onde 𝑘 𝑡 = 𝐾 𝑡 𝐴 𝑡 𝐿 𝑡 é a quantidade de capital K ( t ) por unidade de trabalho efetivo.
• O comportamento de uma economia pode ser convenientemente descrita em termos da evolução de c ( t ) e k ( t ).
• A evolução de c ( t ) é descrita pela Equação de Euler (Eq. 2.20 do Romer):
• onde  é a taxa de retorno (também chamada de taxa de desconto ou grau de impaciência),

g é a taxa de crescimento do conhecimento A ,  é a constante que determina o tipo de

comportamento de aversão ao risco das famílias (  = 0 seria neutralidade com relação ao

risco) e r ( t ) é a taxa de juros reais dada.

• Lembrando que a hipótese da produção ter retornos constantes e da economia ser competitiva implica na remuneração do capital ser a própria produtividade marginal do capital 𝑓 ′ 𝑘 e (porque não existe depreciação) a taxa de juros reais ser igual aos ganhos 𝑓 ′ 𝑘 : 𝑟 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑘 𝑡 (Eq.8 do slide 13).

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Modelo Ramsey  Cass  Koopmans – A Dinâmica de c

• Levando 𝑟 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑘 𝑡 do slide anterior para a Eq. de Euler, temos:
• Portanto 𝑐 𝑡 = 0 quando: 𝑓 ′ 𝑘 𝑡 = 𝜌 + 𝜃𝑔
• Então, se k* denota este valor de k , temos que:
  • se 𝑘 > 𝑘 ∗ então 𝑓 ′ 𝑘 𝑡 < 𝜌 + 𝜃𝑔 e, portanto, 𝑐 𝑡 < 0 ( i.e. c move-se para cair)
  • se 𝑘 < 𝑘 ∗ então 𝑓 ′ 𝑘 𝑡 > 𝜌 + 𝜃𝑔 e, portanto, 𝑐 𝑡 > 0 ( i.e. c move-se para crescer

′

′

[Eq. 25a]

• 𝑐 𝑡 = 0 também quando 𝑐 𝑡 = 0 (i.e. ao longo do eixo horizontal k ); mas, numa situação de equilíbrio, c nunca deve ser zero. Trata-se, portanto, de uma condição irrelevante para o modelo.
• Na figura ao lado, a reta vertical 𝑐 = 0 separa duas regiões: a região onde a direção de movimento de c é crescente (para cima); e a região que o movimento de c é decrescente (para baixo).
• Os movimentos para cima, por exemplo, podem ser feitos de mais de uma maneira (veja as duas curvas à esquerda da reta vertical). Isto é, nada está dito sobre o que ocorre com relação a k.

[Eq. 25b]