1 Investigac¸ ˜ao Operacional-M´etodo Gr´afico
Os problemas de programac¸ ˜
ao linear com duas vari´
aveis podem resolver-se graficamente, uma vez que, neste
caso, a func¸ ˜
ao objectivo define uma recta.
O primeiro passo na resoluc¸ ˜
ao gr´
afica ´
e desenhar o conjunto das soluc¸ ˜
oes admiss´
ıveis, ou geja o conjunto
de pontos que satifaz todas as restric¸ ˜
oes. Um conceito importante em programac¸ ˜
ao linear ´
e o de soluc¸ ˜
ao.
Definic¸ ˜ao 1. Designa-se por soluc¸ ˜ao qualquer conjunto de valores assumidos pelas vari´aveis que satisfazem todas as
restric¸ ˜oes excepto algumas de n˜ao negatividade.
Definic¸ ˜ao 2. Uma soluc¸˜ao admiss´ıvel ´e uma soluc¸ ˜ao que verifica todas as restric¸˜oes de n ˜ao negatividade.
Definic¸ ˜ao 3. O conjunto de todas as soluc¸˜oes admiss´ıveis designa-se por conjunto de soluc¸˜ao admiss´ıveis ou regi ˜ao de
admissibilidade.
Num Problema de programa linear temos caso em
•O problema tem uma ´
unica soluc¸ ˜
ao ´
optima.
•O problema tem m´
ultiploas soluc¸ ˜
oes ´
optimas (uma infinidade). Diz-se que tem soluc¸ ˜
ao ´
optimas alterna-
tivas.
•O problema n˜
ao tem ´
optimo finito. O problema diz-se ilimitado.
•O problema ´
e imposs´
ıvel, n˜
ao tem nenhuma soluc¸ ˜
ao admiss´
ıvel.
1.1 Resoluc¸ ˜ao gr´afica
•Construir um sistema de eixos cartesianos x1,x2.
•Identificar os valores de x1e x2que satisfac¸ ˜
am todas as restric¸ ˜
oes, ou seja, determinar a regi˜
ao admiss´
ıvel.
•Trac¸ a-se a recta que representa z=0 (recta de n´
ıvel 0) e trac¸a-se o gradiente da f.o. na origem dos eixos
que ser´
a perpendicular `
a recta de n´
ıvel 0.
•Finalmente, trac¸a-se uma recta de n´
ıvel sobre a regi˜
ao admiss´
ıvel (paralela `
a recta z=0) e se o problema
´
e de maximizac¸ ˜
ao (minimizac¸ ˜
ao), desloca-se a recta de n´
ıvel, paralelamente, no sentido do gradiente (no
sentido oposto ao do gradiente). O(s) ´
ultimo(s) ponto(s) de intercepc¸ ˜
ao da recta de n´
ıvel com a regi˜
ao
admiss´
ıvel, corresponde(m) `
a soluc¸ ˜
ao ´
optima.
Teorema 1. O conjunto de soluc¸˜oes adimiss´ıveis, de um problema de programac¸ ˜ao linear ´e um conjunto convexo1.
Os pontos extremos s˜
ao os pontos pertencentes ao conjunto de soluc¸ ˜
oes admiss´
ıveis que resultam do cruza-
mento de duas ou mais restric¸ ˜
oes.
Definic¸ ˜ao 4. Um ponto x pertencente a um conjunto convexo diz-se extremos se n˜ao poder ser obtido como combinac¸ ˜ao
linear convexa estrita de quaisquer outros pontos pertencentes ao mesmo conjunto.
Teorema 2. Se existir soluc¸˜ao ´optima do problema de programac¸ ˜ao linear ent ˜ao o valor ´optimo ´e atingido em, pelo menos,
um ponto extremo do conjunto das soluc¸ ˜oes admiss´ıveis.
Definic¸ ˜ao 5. Uma soluc¸˜ao admiss´ıvel finita que torma ´optima a func¸ ˜ao objectivo designa-se por soluc¸ ˜ao ´optima admiss´ıvel.
1Um conjunto ´
e convexo se o segmento de recta unindo quaisque dois pontos pertencentes ao conjunto est´
a contido no conjunto
